随机事件与概率.doc

第1章 随机事件与概率一随机试验和随机事件1 必然现象：在一定条件下必然出现的现象（我们可以说他在这个条件下出现的概率100%）。2 随机现象：在一定条件下可能出现，也可能不出现的现象（我们可以说他在这个条件下出现的概率不是100%）。3 随机试验：通常用E表示，必须满足3个特点： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）每次试验的结果不见得相同，但所有的结果都在明确的范围内； （3）每次试验之前不能确定哪个结果会出现。4 样本空间：随机试验E的所有可能结果所组成的集合成为E的样本空间，常记作。5 样本点：中的元素，即随机试验E的每个结果称为样本点，常记作，于是。注释：那么根据必然现象的定义，在样本空间范围内，因为是所有可能性结果的集合，那么每个样本点即每次试验的结果都是必然的现象。然而对与代表其中的每一个结果的样本点，每次试验又是随机的现象，不可预知具体结果，样本空间里的每个都有可能发生。6 随机事件：样品空间的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为随机事件，常用大写字母ABA等表示。一个样本点组成的单点集称为基础事件，多于一个样本点组成的集合称作复合事件。在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称为这个事件发生。显然，和空集都是的子集，从而也是事件， 称为必然性-每次试验中一定发生的事件，空集称为不可能事件-每次试验中一定不发生的事件。2 事件的关系及运算 事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按集合间的关系和运算来处理。1 包含关系 若事件A（别忘了是个集合，而不是我们常说的一件事）发生，必然导致事件B发生，即A为B的子集，则称事件B包含事件A。记作：A属于（符号打不出来）B。 注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间的子集。2 相等 若两个事件A,B满足：A属于B切B属于A，则称A与B相等。记作A=B.。此时A与B包含的样本点完全相同。 注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间的子集。3 和（并） 事件A,B中至少有一个发生的事件，称为A与B的和，记作AB（或A+B）即AB=：A或B 注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间的子集。4 积（交） 事件A与B同时发生的事件，称为A与B的积（交），记作AB（或AB）。即AB=：A且B 注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间的子集。5 差 事件A发生，但B不发生的事件，称为A与B的差，记作A-B，即A-B=：A但不B，就像套在一起的圆环，交叉部分就是A与B的差。 注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间的子集。6 互不相容（互斥） 若事件A与B不能同时发生，即AB=，则称A与B互不相容（互斥），记作AB=或AB=。 注：A和B一定不要忘了是事件，是集合，是样本空间的子集。7 对立（互逆） 若A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A，B满足AB=且AB=，则称A与B互为对立事件（或互逆事件），记作A=B非（非的横档不会弄到B头上）或B=A非。即A的对立事件A非就是A不发生的事件。8 完全（备）事件组 若有限个或可列个事件AI，A2，A3，。An.满足AiAj=(即任意俩事件互斥），且这些事件的和=，则这些事件构成一个完全事件组或完备事件组。三 事件的概率及其性质 概率是事件发生的可能性的定量描述，是事件的本质特征，它客观存在，我们常用P（A）表示事件A的概率。1 概率的统计定义 在相同条件下，独立重复进行n次试验，则事件A在n次试验中发生的频次，记作A。比值fn(A）=A/n称为事件A发生的频率，当试验次数n增大时，fn(A）呈现出某种稳定性，即它在某一常数p附近波动，切n越大，波动的幅度越小，则称p为事件A发生的概率，显然，P固然存在，但现实生活中无法明确地确定它，于是多用fn(A）的近似计算作为p的估值。2 概率的公理化定义（这是对概率的抽象解释，这个可以不用理解） 若试验E的样本空间，对E的任意一个事件A，规定一个实数P（A）与之对应，若P（A）满足下列条件，P(A）就称作事件A概率：（1） 非负性：对于任意事件A，有P（A）大于等0；（2） 规范性：P（）=1（可以理解为根据必然现象的定义，在样本空间范围内，因为是所有可能性结果的集合，那么每个样本点即每次试验的结果都是必然的现象，必然现象的概率肯定是100%）（3） 可列可加性：对于任意互不相容的事件列：A1，A2，A3.An.,有所有P（Ai)的和等于P（定义域范围包含所有事件）的概率。 举例：写出下列随机试验的样本空间（1） 将一枚硬币抛两次，观察出现正面反面的情况 注解：每次抛硬币有两种可能的结果即出现正面或反面，那么抛两次可能出现的结果：全反或一正一反或一反一正或两正，这四种可能性就是所有的预知结果，每次抛都不会跑出这四种结果，就是本题目求的样本空间。另外抛两次的实际实验结果出现在样本空间的概率肯定是100%，那么P（）=1。但是样品空间中每一个可能性的结果必然出现的可能性肯定不是100%，以这道题为例，每种可能性是25%（即1种结果性除以四种全部可能性结果的个数）。这四种可能性每一个的概率相加等于1.，即等于P（）=1。 注意：在这个事例中，每一种结果出现的概率相同，但事例不同，每种结果的概率可以不同。（2） 将1枚硬币抛两次，观察出现正面的次数 注解：根据上题分析，除了全是正面的结果，出现正面的结果有三种：全正，一正一反，一反一正。这就是这种情形的样本空间（出现结果的全部可能性）。扔硬币的两次结果不管怎样，都跑不出这个空间，因此P（）=1，但对于这三种可能的结果，每一种结果出现的概率1除以3种可能性=1/3。同时这三种概率的和又等于100%，又回到了P（）=1。 重点：延伸到事件，对于n个点的样品空间，因为事件是个集合，那么就可能涉及不止一个样本点，假设包含m个，那么A事件发生的概率就是m除以n，这是概率的古典概型，我没给你列出来，概率在不同方面的定义也不相同。还有概率的几何定义，看题的性质适合用哪种定义分析。你自己上网查吧。3 概率的基本性质和运算自己上网查，一定要理解牢记，否则根本没法运算。 例题：已知10件产品中有两件次品，现从中取产品2次，每次任取一个，取后不放回，求下列事件的概率：（1） 两次均取到正品（2） 在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品（3） 第二次取到正品（4） 两次中恰好有一次取到正品（5） 两次中至少有一次取到正品 解答：（1）两次均取到正品： 分析，产品中8个正品，两个次品，设Ai=第i次取到正品，i=1,2.。.那么第一次取到正品的概率P（A1）=8/10，取出不放回，那么第二次取到正品的概率P（A2）=7/9，则两次取到正品的概率P（A1A2)=P（A1）P（A2）=8/10*7/9=28/45(根据概率性质） （2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品 分析，设Ai=第i次取到正品，i=1,2.。.这属于条件概率P（A2lA1)即P（A2lA1)=P（A1A2）/P（A1）=(8/10*7/9)(8/10)=7/9 注意：概率的性质和公式一定要熟记，否则心里明白也做不出答案。 （3）第二次取到正品 分析，产品中8个正品，两个次品，第二次取到正品的第一次取到的产品可能性有以下2种方式：正品或次品，设Ai=第i次取到正品，i=1,2.。Bi=第i次取到次品，i=1,2,所以取到第二次正品的可能性P(A2)是两次都是正品的可能性P（A1A2）加上第一次取次品第二次取正品的可能性（B1A2），那么第二次取到正品的概率 P(A2)=P（A1A2）P（B1A2）=(8/10*7/9)+（2/10*8/9）=4/5（4）两次中恰好有一次取到正品 分析，产品中8个正品，两个次品，恰好有一次取到正品的可能性有以下3种方式：正品和次品概率为P（A1B2），次品和正品概率为P（B1A2）。设Ai=第i次取到正品，i=1,2.。Bi=第i次取到次品，i=1,2,所以恰好有一次取到正品的概率应该是上述2种情况的概率和=P（A1B2）P（B1A2）=（8/10*2/9）+（2/10*8/9）=16/45 （5）两次中至少有一次取到正品 分析，产品中8个正品，两个次品，至少有一次取到正品的可能性有以下3种方式：正品和正品概率为P（A1A2），正品和次品概率为P（A1B2），次品或正品概率为P（B1A2）。设Ai=第i次取到正品，i=1,2.。Bi=第i次取到次品，i=1,2,所以恰好有一次取到正品的概率应该是上述三种情况的概率和=P（A1A2）P（A1B2）P（B1A2）=(8/10*7/9)+（8/10*2/9）+（2/10*8/9）=44/45 通过简单例子仔细体会概率是什么。第2章 随机变量及其分布 通常我们通过随机变量的分布函数来表示相关事件的概率。概率论的基础就是随机变量，所以一定要理解。1 随机变量及其分布函数1、 随机变量 定义在样本空间上，取值于实数的函数，即对于每一个，有唯一的实数X（）与之对应，则称X（）为随机变量（可以理解为是随机出现的，因此它对应的取值于函数的实数X（）也是随机的），一般用大写字母X，Y，Z等表示随机变量。（1） 设X为随机变量，则称定义在全体实数上的函数F（x）=P（Xx），x，为X的分布函数，显然任何随机变量都有分布函数，随机变量的型式不同，如离散型随机变量和连续型随机变量，对应的分布函数也不同。（2） 分布函数的性质A、0F（x）1（和我们印象中概率的取值范围是不是一样）B.单调不减，即对于任何x1x2，有F（x1）F（x1）C.右连续对于任何实数x，有F（x+0）=F（x）D.F（）=0，F（+）=1具有上面性质的的函数一定可以作为某一个随机变量的分布函数。（3） 用分布函数表示相关事件的概率设X的分布函数为F（x），则有：（可以在网上找到）A，P(Xb）=F（b），P(Xb）=F（b-0）B，P