第九章--达兰贝尔原理.ppt

第九章达兰贝尔原理 9 1惯性力的概念 9 2达兰贝尔原理 9 3刚体惯性力系的简化 第九章达兰贝尔原理 本章重点 刚体惯性力系的简化 质点系的达兰贝尔原理 本章难点 如何求加速度 如何虚加惯性力系的主矢和主矩 4 动力学普遍定理 是解决动力学问题的普遍方法 在一定条件下也是简捷而有效的方法 本章介绍解答动力学问题的另一种方法 达兰贝尔原理或译为达朗伯原理 应用这一原理 就将动力学问题从形式上转化为静力学问题 从而根据关于平衡的理论来求解 这种解答动力学问题的方法 因而也称动静法 5 9 1惯性力的概念 由于物体的惯性 当其运动状态因受力而发生改变时 产生的作用于施力物体上的力称为惯性力 力是由于小车具有惯性 力图保持原来的运动状态 对于施力物体 人手 产生的反抗力 称为小车的惯性力 例如人用力推车 使车产生加速度 同时 车也给人手一个反作用力 6 惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上 大小 FJ ma 方向 与相反 按不同坐标系 惯性力可分解为 定义 质点惯性力 加速运动的质点 对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和 7 9 2达兰贝尔原理 非自由质点M 质量m 受主动力 约束反力作用 的合力为 由牛顿第二定律 假象地将作用在M上 则 即 一 质点的达兰贝尔原理 表明 在质点运动的每一瞬时 假象地加上此质点的惯性力 则惯性力与质点的主动力 约束反力在形式上组成一平衡力系 这就是质点的达兰贝尔原理 8 这样 质点的动力学问题就可以用静力学的方法来解 但要注意 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡 而实际上惯性力并不作用在质点上 质点并不平衡 采用动静法解决动力学问题的最大优点 就是可以利用静力学提供的解题方法 给动力学问题一种统一的解题格式 也就是 对于动力学问题 假想地加上惯性力 就可以用平衡方程求解 9 对整个质点系 如果在每一个质点上都假象地加上惯性力 则主动力系 约束反力系 惯性力系在形式上构成平衡力系 这就是质点系的达兰贝尔原理 可用方程表示为 设有一质点系由n个质点组成 对任一质点 虚加惯性力 则有 二 质点系的达兰贝尔原理 对于每一个研究对象 平面问题有三个平衡方程 空间问题有六个平衡方程 10 9 3刚体惯性力系的简化 一般质点系 在应用动静法时 可在每一质点上虚加相应的惯性力 但对于刚体这样由无穷多质点组成的质点系 则不可能逐个质点虚加惯性力 怎么办 可以采用静力学中的力系简化的理论 求出各质点惯性力所组成的惯性力系的主矢和主矩 来代替惯性力系 这样 在刚体上虚加了惯性力系的主矢和主矩 就相当于在刚体上的各个质点上虚加了惯性力 11 一 刚体作平动 惯性力系向质心C简化 故刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力 作用在质心 12 直线i各点加速度相同 故其惯性力可以合成为过对称点Mi的一个力 这样 空间惯性力系 质量对称面的平面惯性力系 向转轴与对称平面的交点O点简化 主矢 二 定轴转动刚体 设刚体具有垂直于转轴的质量对称平面 O 主矩 13 作用在C点 若向质心C简化 同理可得 实际应用时可将惯性主矢分解 14 讨论 若e 0 转轴不通过质点C 向转轴简化 则 若转轴过质点C 且 0 则 若e 0且转轴过质心C 则 三 刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面 并且平行于该平面作平面运动 此时 刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系 15 刚体平面运动可分解为随基点 质点C 的平动 绕通过质心轴的转动 作用于质心C 无论刚体作平动 定轴转动还是平面运动 惯性力系向质心简化 都得到一个力 惯性力系的主矢 大小等于刚体质量与质心加速度的乘积 方向与质心加速度方向相反 作用在质心 及一个力偶 惯性力系的主矩 大小等于刚体对质心的转动惯量与刚体角加速度的乘积 方向与角加速度方向相反 16 根据动静法 可以用静力学平衡方程的形式来建立动力学方程 应用动静法既可求运动 例如加速度 角加速度 也可以求力 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利 例如 矩心可以任意选取 二矩式 三矩式等等 因此当问题中有多个约束反力时 应用动静法求解它们时就方便得多 动静法的应用 17 选取研究对象 原则与静力学相同 受力分析 画出全部主动力和外约束反力 运动分析 主要是刚体质心加速度 刚体角加速度 标出方向 应用动静法求动力学问题的步骤及要点 虚加惯性力 在受力图上画上惯性力和惯性力偶 一定要在正确进行运动分析的基础上 熟记刚体惯性力系的简化结果 18 列动静方程 选取适当的矩心和投影轴 建立补充方程 运动学补充方程 运动量之间的关系 求解未知量 注意 的方向及转向已在受力图中标出 建立方程时 只需按计算即可 19 例1 质量为m1和m2的两重物 分别挂在两条绳子上 绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上 已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J 系统在重力作用下发生运动 求鼓轮的角加速度及O处反力 取系统为研究对象 解 方法1用动静法求解 请看动画 20 返回 21 虚加惯性力和惯性力偶 则 运动学关系 重物1 重物2 轮 22 x y 23 方法2用动量矩定理求解 根据动量矩定理 取系统为研究对象 24 取系统为研究对象 任一瞬时系统的动能 两边除以dt 得 方法3用动能定理求解 方法2 3须用质心运动定理求O处反力 当轮逆时针转过dj时 所有力的元功 25 例2 在图示机构中 均质圆柱体A O重分别为P和Q 半径均为R A作纯滚动 绳子不可伸长 其质量不计 斜面倾角 如在O上作用一常力偶矩M 试求 1 圆柱体O的角加速度 2 绳子的拉力 3 轴承O处的反力 4 圆柱体A与斜面间的摩擦力 不计滚动摩擦 26 解 1 取轮O为研究对象 虚加惯性力偶 列平衡方程 2 取轮A为研究对象 虚加惯性力 27 列出平衡方程 运动学关系 将及运动学关系代入到 1 和 4 式并联立求解得 28 代入 2 3 5 式 得 29 方法2用动力学普遍定理求解 1 求鼓轮角加速度 取系统为研究对象 两边对t求导数 T1 C 常数 当轮O顺时针转过j角时 30 由刚体定轴转动微分方程 得 2 求绳子拉力取轮O为研究对象 3 求轴承O处支反力取轮O为研究对象 根据质心运动定理 31 4 求A与斜面间的摩擦力取圆柱体A为研究对象 根据刚体平面运动微分方程 32 例3 均质圆柱体重P 半径R 自O点无滑动地沿倾斜板由静止开始滚动 板与水平成 角 试求OA S时板在O点的约束反力 板重略去不计 解 圆柱体作平面运动 设其质心加速度为a 虚加惯性力 P 1 取圆柱体为研究对象 33 2 取系统体为研究对象 34 解 绕线轮作平面运动 由 将FJ MOJ代入上式 可得 例4 绕线轮重P 半径为R及r 对质心O的回转半径为r 且r2 Rr 轮在常力作用下作纯滚动 已知 不计滚阻 求 1 轮心的加速度 2 分析轮纯滚动的条件 35 纯滚动的条件 F fN 36 解 BD作平动 A相对于BD不动 所以 例5 重W2的板BD由两根等长且平行的细绳悬挂 板上放置重W1且不计大小的物块A 系统从图示位置无初速开始运动 求此瞬时A物不在BD上滑动的接触面的静摩擦系数 1 以物A及BD为研究对象 x 将FAJ FCJ代入得aC gsinq 2 以物A为研究对象 A在BD上不滑动 必须F fN 38 解 1 以AB为研究对象 设其质心加速度为aC 角加速度为eAB 则 例6 图示系