方差分析培训教材(ppt 27页).PPT

方差分析 一方差分析的意义工业生产中产品质量优劣 农业生产中产量高低 由诸多因素造成 如农业生产中 肥料 浇灌 良种 管理等 化工生产中 原料成分 催化剂 剂量 反应温度 压力 溶液 机器设备与操作人员水平 每种因素的改变 可影响产品质量与数量 那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素 还要弄清这些显著因素在什么状态下 水平 起的作用大 方差分析就是根据试验结果进行分析 鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法 试验指标 在试验中要考察的指标称为试验指标 因素 影响试验指标的条件称为因素 可控因素 如 反应温度 原料剂量 浓度 不可控因素 如 测量误差 气象条件等 水平 因素所处状态称为因素的水平 单因素试验 试验中只有一项因素在改变称为单因素试验 否则就称多因素试验 例1设有三台机器 用来生产规模相同的铝合金薄板 取样测量薄板至千分之一厘米 得结果如下表所示 这里 试验指标是薄板的厚度 机器为因素 不同的三台机器是这个因素的三个不同的水平 试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著差异 例2下面列出了随机选取的 用于计算器的四种类型的电路的响应时间 以毫秒计 表9 2电路的响应时间类型1类型2类型3类型4192016182221152220331619182726154017这里 试验指标是电路的响应时间 电路类型为因素 这一因素有四个不同的水平 试验的目的是为了考察各种类型的电路的响应时间有无显著差异 二单因素试验在例1中 我们在因素的每一个水平下进行了独立试验 其结果是一个随机变量 表中的数据可看成来自三个不同总体的样本值 将各个总体的均值依次记作 1 2 3 按题意需检验假设H0 1 2 3H1 1 2 3不全相等 现在若假设各总体均为正态变量 且各总体的方差相等 那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的问题 设因素A有s个水平A1 A2 As 在水平Aj j 1 2 s 下 进行了nj nj 2 次独立试验 得到如下表的结果 我们假定 各个水平Aj j 1 2 s 下的样本x1j A2j Anjj来自具有相同方差s2 均值分别为mj j 1 2 s 的正态总体N mj s2 mj与s2未知 且设不同水平Aj下的样本之间相互独立 其中mj与s2均为未知参数 1 式称为单因素试验方差分析的数学模型 方差分析的任务是对于模型 1 10检验s个总体N m1 s2 N ms s2 的均值是否相等H0 1 2 s 2 H1 1 2 s不全相等 20作出未知参数 1 2 s s2的估计 利用这些记号 模型 1 可改写成 而假设 2 等价假设H0 1 2 s 0 2 H1 1 2 s不全为零 这是因为当且仅当 1 2 s时 j 即 j 0 三平方和的分解 是数据的总平均 ST又称总变差 记水平Aj下的样本平均值为 即 则有 于是我们将ST分解成为 其中 10 上述SE的各项表示在水平Aj下 样本观察值与样本均值的差异 这是由随机误差引起的 SE称误差平方和 而SA的各项表示在水平Aj下样本平均值与数据总平均的差异 这是由水平Aj及随机误差引起的 SA称效应平方和 三SE SA的统计特性 即有 五 未知参数的估计我们已经知道 不管H0是否为真 例5求例4中的未知参数s2 mj dj j 1 2 3 的点估计及均值差的置信度为0 95的置信区间 均值差的区间估计如下 由t0 025 n s t0 025 12 2 1788得 故u1 u2 u1 u3 及u2 u3 的置信度为0 95的置信区间分别为 例6设在例2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态且各总体的方差相同 又设各样本相互独立 试取水平a 0 05 检验各个类型电路的响应时间是否有显著差异 解分别以 1 2 3 4 记类型I II III IV四种电路响应时间总体的平均值 我们需检验 a 0 05 H0 1 2 3 4 H1 1 2 3 4 不全相等 现在n 18 s 4 n1 n2 5 n4 3 S