统计学之变量分布特征的描述(ppt 98页).ppt

信息技术教研中心 1 本资料来源 信息技术教研中心 2 第 章变量分布特征的描述 教师姓名 杨凡Email rabbit19259 手机Q 546529654 信息技术教研中心 3 第 章变量分布特征的描述 重点节 第一节 第一节集中趋势的描述第二节离中趋势的描述第三节分布形状的描述 信息技术教研中心 4 学习内容及要求 理解变量分布三大特征及平均指标 离散指标的意义 熟练掌握各种平均指标的计算方法及其相互之间的关系 熟练掌握各种离散指标的计算方法 掌握偏度和峰度系数的计算方法 信息技术教研中心 5 集中趋势亦称为趋中性 是指变量分布以某一数值为中心的倾向 作为中心的数值就称为中心值 它反映变量分布中心点的位置所在 变量分布的集中趋势要用平均指标来反映 平均指标是将变量的各变量值差异抽象化 以反映变量值一般水平或平均水平的指标 也就是反映变量分布中心值或代表值的指标 平均指标的具体表现称为平均数 平均数因计算方法不同可分为数值平均数和位置平均数两类 第一节集中趋势的描述重点 数值平均数一 集中趋势与平均指标 信息技术教研中心 6 是同质总体某标志值的一般水平 与强度相对数有别 两总体 性质不同 总量比总量 反映总体各单位变量分布的集中趋势 与变异指标有别 反映离中趋势 与序时平均数有别 用时间数列计算 对某类现象作综合分析和评价时 若两者的总量差异过大 则可用平均数去对比 如 甲企业总产值800000元 职工1000人 乙企业总产值8000元 职工8人 两个企业相比因总产值差异太大 800000 8000 甲 乙故用劳动生产率比较 800 1000 甲 乙 返回 信息技术教研中心 7 作用 1 反映总体各单位变量分布的一般水平 比如 农民家庭收入 高低 2 比较同类现象在不同单位 地区 及总体各部分的差别 比如 用 劳动生产率 或 亩产量 来比较评价不同工业企业或乡村的生产情况 3 分析现象之间的相互依存关系 比如 劳动生产率与单位产品价格之间的关系 施肥量与亩产量之间的关系 信息技术教研中心 8 平均指标按其计算方法不同可分为 数值平均数和位置平均数两类 数值平均数 算术平均数 几何平均数 位置平均数 中位数 众数 二 数值平均数 一 算术平均数 亦称均值 算术平均数是变量的所有取值的总和除以变量个数的结果 信息技术教研中心 9 例 平均人数 总人数 企业数劳动生产率 产品产量 职工人数平均工资 工资总额 职工人数单位产品成本 总成本 总产量单耗 原材料消耗总量 产品产量 返回 信息技术教研中心 10 1 简单算术平均数 标志未分组时 例 根据10个男篮队员的身高 计算平均身高 信息技术教研中心 11 2 加权算术平均数 标志已分组 数量标志已分组 就形成了 单项式组距式 单项式变量数列 表3 1 组距式变量数列 表3 3 各组单位数 权数 所占比重的大小 直接影响平均数的大小 表3 1 若将各组人数排列顺序倒置 则分布频率相反 平均数也发生相应变化 变小 108642 300310320330340350出口额 人数 信息技术教研中心 12 信息技术教研中心 13 权数 次数 一般多指总体单位数 权衡轻重 影响平均数的大小 权数的两种形式 绝对数 次数 常用f表示 相对数 比重 常用表示 计算公式如下 这种写法在平均指标指数分析时有独特的意义作用 信息技术教研中心 14 两种算法结果相同 都是325 36万元 信息技术教研中心 15 组距式分组 各组标志是一个数值区间表3 4某高校教师平均年龄计算表 各组标志值X以该组的组中值为代表值 信息技术教研中心 16 根据组距数列计算加权算术平均数的方法的说明 假定条件 组内均匀分布或对称分布 组间分布可以不等 X 用各组的组中值 代表组平均水平 开口组的组距以邻组组距为依据 从而计算确定出本组组中值 所以 计算的结果是一个近似值 信息技术教研中心 17 补充 算术平均数的影响因素 算术平均数除受标志值出现次数 比重 的影响外 如前例图示 还受极端值的影响 图示 x 300250200150100500 12345678910f 即俗话所说的 一颗老鼠屎打坏一锅汤 出现一个最大值 平均数会上移 一般正常分布下的平均数 出现一个最小值 平均数会下移 信息技术教研中心 18 3 算术平均数的数学性质1 各变量值与算术平均数的离差之和等于零 即 对于简单算术平均数 对于加权算术平均数 信息技术教研中心 19 各变量值与算术平均数的离差平方之和为最小值 即 只有当时 等号成立 信息技术教研中心 20 4 算术平均数的优缺点算术平均数具有以下几个优点 一是可以利用算术平均数来推算总体标志总量 因为算术平均数与变量值个数之乘积等于总体标志总量二是由算术平均数的两个数学性质可知 算术平均数在数理上具有无偏性与有效性 方差最小性 的特点 这使得算术平均数在统计推断中得到了极为广泛的应用三是算术平均数具有良好的代数运算功能 即分组算术平均数的算术平均数等于总体算术平均数 算术平均数也有其局限性 主要表现在以下两个方面 一是算术平均数易受特殊值 特大或特小值 的影响 当变量存在少数几个甚至一个特别大或特别小的变量值时 就会导致算术平均数迅速增大或迅速变小 从而影响对变量值一般水平的代表性 二是根据组距数列计算算术平均数时 由于组中值具有假定性而使得计算结果只是一个近似值 尤其是当组距数列存在开口组时 算术平均数的准确性会更差 信息技术教研中心 21 二 调和平均数调和平均数 标志值倒数的算术平均数的倒数 故亦称倒数平均数 根据资料是否分组 而分为简单或加权调和平均数 加权调和平均数使用特定形式的权数 m xf 信息技术教研中心 22 二 调和平均数1 简单调和平均数当各组的标志总量相等时 所计算的调和平均数称为简单调和平均数 设总体分为k个组 每个组的标志总量都为m 则总体标志总量为km 现仍以x表示各组变量值 以H表示调和平均数 则简单调和平均数的计算公式为 信息技术教研中心 23 例题 某副食商店在两个农贸市场收购某种农副产品 其收购单价如下 计算该种农副产品的平均价格 信息技术教研中心 24 2 加权调和平均数 当各组的标志总量不相等时 所计算的调和平均数要以各组的标志总量为权数 其结果即为加权调和平均数 若以表示各组标志总量 则加权调和平均数的计算公式为 可简记为 信息技术教研中心 25 P46例3 6 不知道各市买的公斤数f的值 但是 可以间接求出 信息技术教研中心 26 3 用相对数或平均数计算平均数 用加权算术平均数求解 例3 7 某零售公司20家分店销售计划完成情况 信息技术教研中心 27 用相对数或平均数计算平均数 用加权调和平均数求解 例3 7 某零售公司20家分店销售计划完成情况 信息技术教研中心 28 信息技术教研中心 29 经验 若要求平均工资 平均单位成本 平均计划完成程度等指标时 所给资料与计算方法的关系为 当已知权数f 分母 的直接数据资料 而无标志总量时 采用算术平均数 比如 已知人数 产品数 企业数 计划数 当缺乏权数f 分母 的直接数据资料 而有标志总量时 采用调和平均数 比如 已知工资总额 成本总额 利润额 实际数 信息技术教研中心 30 算术 调和 平均数一览表 信息技术教研中心 31 三 几何平均数几何平均数通常用在总量等于各分量乘积的情形 比如 求某些平均比率 平均速度等 信息技术教研中心 32 例3 9 某流水生产线前后衔接的五个车间 工序 产品的合格率分别为96 94 95 95 96 整个流水线产平均合格率 全厂平均合格率 五个车间 工序 的产品平均合格品率为95 2 思考 为什么要用几何平均数计算 信息技术教研中心 33 例3 10某企业10年销售收入的平均发展速度 又例 某金融机够以复利方式计息 近12年来的年利率有4年为3 2年为5 2年为8 3年为10 1年为15 则12年的平均年利率 信息技术教研中心 34 四 算术平均数 调和平均数 几何平均数的数学关系 从数学上看 三者都是幂平均数中的一种 幂平均数的定义是 当t 1时 幂平均数就是算术平均数 当t 1时 幂平均数就是调和平均数 当t趋向欲0时 幂平均数的极限形式就是几何平均数 从数学意义上看 三者的数量大小的关系是 H G 信息技术教研中心 35 三 位置平均数1 中位数 Median 是根据变量值的位置来确定的平均数 将变量值按大小顺序排序 处于中间位置的变量值 或数据 即中位数 用表示 由于中位数是位置代表值 所以不会受极端值的影响 具有较高的稳健性 下图中 斜线表示总体单位 组 的累计数 横线表示某现象按标志值的大小排序 50 返回 sm 50 me me 标志值 累计次数 信息技术教研中心 36 中位数位置的确定 信息技术教研中心 37 1 根据未分组的原始数据确定中位数 数据是基数项 原始数据 3328383550排序 2833353850位置 12345 信息技术教研中心 38 数据是偶数项 原始数据 7972668795100排序 6672798795100位置 123456 信息技术教研中心 39 根据变量分布数列确定中位数 即在组距数列中确定中位数 涉及 定组 和 定值 两个步骤 即首先确定出中位数的位置在哪一组 再确定 用公式计算 中位数的值具体是多少 定组 所使用的次数是累计次数 方法 计算向上 下 累计次数 确定中位数的位置 总体单位数刚好包含 f 2的所在组即是中位数组 确定中位数 用公式 信息技术教研中心 40 其中 L 为中位数组的下限 U 为中位数组的下限 f 为总次数 Sm 1 为中位数组前一组的向上累计次数 Sm 1 为中位数组前一组的向上累计次数 fm 为中位数组的次数 d 为中位数组的组距 该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布 信息技术教研中心 41 在单项式数列中确定中位数 例3 13 确定中位数的位置 总体单位数刚好包含 f 2的所在组 即中位数组 150 2 75确定中位数 对应的那个 唯一的 标志值就是中位数 me 25 信息技术教研中心 42 组距式数列计算中位数例表2 3某高校教师年龄分组表 累计数 确定中位数的位置 总体单位数刚好包含 f 2的所在组 即中位数组 1050 2 525计算中位数 中位数组对应的是一个数据区间 中位数需要通过公式计算才能确定 信息技术教研中心 43 中位数具有不受极端变量值的影响的特点 比算术平均数稳健 信息技术教研中心 44 2 分位数分位数是将变量的数值按大小顺序排列并等分为若干部分后 处于等分点位置的数值 常用的分位数有四分位数 十分位数和百分位数 他们分别是将数值序列4等分 10等分和100等分的3个点 9个点和99个点上的数值 其中四分位数第2点的数值 十分位数第5个点的数值和百分位数第50个点的数值 就是中位数 所以 中位数就是一个特殊的分位数 以四分位数为例 设 和分别表示第一个 第二个和第三个四分位数 则他们的位置分别为 和 根据位置即可确定各个四分位数 信息技术教研中心 45 四分位数 位置的确定 原始数据 分组数据 信息技术教研中心 46 数值型数据的四分位数 9个数据的算例 例 9个家庭的人均月收入数据原始数据 15007507801080850960200012501630排序 75078085096010801250150016302000位置 123456789 信息技术教研中心 47 数值型数据的四分位数 10个数据的算例 例 10个家庭的人均月收入数据排序 66075078085096010801250150016302000位置 12345678910 统计函数 QUARTILE 信息技术教研中心 48 3 众数 Mode 众数是指分组后 总体中出现次数最多或频率最大的变量值 数据 用mo表示 众数也是一种位置平均数 且也不受极端值的影响 变量数列求众数 也涉及 定组 和 定值 两个步骤 单项式数列计算众数时 众数组对应的 唯一的 标志值就是众数 组距数列计算众数时 则需要通过公式才能确定 即首先确定出众数的位置在哪一组 再确定众数的值具体是多少 用公式计算 定组 所使用的次数是本组次数 信息技术教研中心 49 众数的特点 集中趋势的参考值之一出现次数最多 或频率最大 的变量值不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数 信息技术教研中心 50 众数 众数可能不存在或不唯一 无众数原始数据 10591268 一个众数原始数据 68111288 多个众数原始数据 628283246464650 信息技术教研中心 51 等距数列计算众数 先确定众数所在组 众数的值与相邻两组频数的分布有关 假定众数组的次数在众数组内是均匀分布的 相邻两组的次数相等时 众数组的组中值即为众数 相邻两组的次数不相等时 众数计算公式为 信息技术教研中心 52 其中 L 是众数所在组的下限 1 是众数所在组次数与前一组的次数差 2 是众数所在组后一组的次数 d 是众数组的组距 信息技术教研中心 53 在单项式数列中确定众数 例3 13 确定众数组的位置 总体单位数 次数 频数 最多 即值最大 的组即为众数组 50 所在组确定众数 对应的那个 唯一的 标志值就是众数 m0 25 信息技术教研中心 54 组距式数列计算众数例表2 3某高校教师年龄分组表 确定众数组的位置 总体单位数 次数 频数 最多 即值最大 的组即为众数组 366 所在组计算众数 众数组对应的是一个数据区间 众数需要通过公式计算才能确定 信息技术教研中心 55 信息技术教研中心 56 求位置平均数的两个共同步骤 1 根据总体单位数定位 组 2 根据标志值定值 位置 位置 数值 数值 各组次数 累计次数 众数 中位数 f f x x 信息技术教研中心 57 三 算术平均数与中位数 众数的关系 对称钟形分布情形下 非对称左偏分布情形下 非对称右偏分布情形下 信息技术教研中心 58 众数 中位数和平均数的关系图总体分布以一名正位 侧位头像的女生为谕 飘逸的长发飘向左 即为左偏态 长发飘向右 即为右偏态 平均数 形若蝴蝶结 附于发稍 中位数始终位于中间 平均数 众数位于两端 数轴上的数 位置越靠右 值越大 x x x 左偏态分布 右偏态分布 正态分布 x 信息技术教研中心 59 信息技术教研中心 60 位置平均数概念与计算方法小结 返回 信息技术教研中心 61 第二节离中趋势的描述重点 标准差和离散系数一 离中趋势和离散指标 离中趋势即变量分布中各变量值背离中心值 平均数 的倾向 离散指标有 全距 平均差 标准差 离散系数等 离散指标作用 1 变异指标是衡量平均指标代表性的尺度 2 变异指标说明现象变动的均衡性 稳定性程度 变异指标数值越大 平均数代表性越小 稳定性越差 变异指标数值越小 平均数代表性越大 稳定性越好 返回 信息技术教研中心 62 离中趋势 离散程度 离散指标 信息技术教研中心 63 例如 某车间有两个生产小组 某周5天的产量如下 甲 171 172 172 172 173 件 乙 220 190 170 150 130 件 计算出的两组的平均日产量相等 均为172件 但平均日产量172件的代表性甲组比乙组好 图示如下 信息技术教研中心 64 172 绿色为甲组的产量分布 紫色为乙组的产量分布 172为平均产量 信息技术教研中心 65 一 全距全距就是变量的最大值与最小值 之差 也叫极差 表明变量的最大变动范围或绝对幅度 全距通常用R表示 即 R 二 四分位差四分位差是四分位数中第一个四分位数与第三个四分位数之差 也称为内距或四分间距 通常用表示 即 三 异众比率异众比率是分布数列中非众数组的频数与总频数之比 通常用来表示 即 其中为众数组的频数 二 离散指标的测度 信息技术教研中心 66 四 平均差 AverageDeviation 例3 18表3 12 变量值与平均数的离差绝对值的平均数 信息技术教研中心 67 例 表3 12某企业工人日产量分组表平均差计算表 信息技术教研中心 68 五 方差 Variance 和标准差 S D 测度标志变异最重要 最常用的指标 标准差 方差的平方根即 变量值与平均数的离差平方平均数的平方根 信息技术教研中心 69 例 表3 14某企业工人日产量分组表标准差计算表 信息技术教研中心 70 六 离散系数 变异系数 例 一群牛的平均体重是180公斤 标准差是6公斤 一群兔的平均体重是3公斤 标准差是0 5公斤 能不能说兔的平均体重的代表性高些 为什么 信息技术教研中心 71 不同的对比 不同的结论 信息技术教研中心 72 全距 平均差 方差和标准差有 相同的 计量单位 是标志变异的绝对指标 变异指标的大小不仅取决于统计数据的差异程度 还取决于这些统计数据一般水平的高低 因而 对于平均水平不同的数列 或计量单位不同的数列 都不能直接用全距 平均差 方差和标准差来比较平均数代表性的大小 只能用相对形式 离散系数进行比较 图示如下 信息技术教研中心 73 离散系数包括 信息技术教研中心 74 离散系数图例 形如蓄水池 甲建筑队用人工挖土方 平均劳动生产率为10M 人 标准差为1M 10 乙建筑公司用机械挖土方 平均劳动生产率为100M 人 标准差为2M 100 V甲 1 10 0 1V甲 v乙平均数代表性弱 稳定性 均衡性差 V乙 2 100 0 02v乙 V甲平均数代表性强 稳定性 均衡性高 返回 信息技术教研中心 75 如前所述 变量分布的形状是各种各样的 有J型的 U型的和钟型的等 为了全面了解变量分布的特征 我们不仅要观察其集中趋势和离中趋势 也要观察其形状 变量分布的形状要用形状指标来反映 形状指标就是反映变量分布具体形状 即左右是否对称 偏斜程度与陡峭程度如何的指标 具体来说 变量分布的形状一般从对称性和陡峭性两方面来反映 因此形状指标也有两个方面 一是反映变量分布偏斜程度的指标 称为偏度系数 二是反映变量分布陡峭程度的指标 称为峰度系数 由此可见 形状指标与平均指标 离散指标一样 都是变量分布特征的重要体现 第三节分布形状的描述一 分布形状和形状指标 信息技术教研中心 76 偏度的概念首先由统计学家皮尔逊 Pearson 于1895年提出 是对变量分布对称性的测度 是指变量分布偏斜的方向及其程度 偏度的测定是通过计算偏度系数来实现的 通常用来表示 偏度系数的计算主要有以下三种方法 二 偏度系数 信息技术教研中心 77 总体单位分布形状示意图 偏度 信息技术教研中心 78 一 利用算术平均数与众数或中位数的离差求偏度系数用算术平均数与众数或中位数的离差求偏度系数 其标记及计算公式为 将 除以标准差 一是为了消除不同计量单位的影响 二是为了把不可直接比较的绝对数转化为可相互比较的相对数 一般情况下 偏度系数的变动范围为 3 3 当 时 为正值 变量分布属于正偏 当 时 为负值 变量分布属于负偏 当 时 为0 变量分布属于无偏 即对称分布 的绝对值越接近于3 表明变量分布的偏斜程度越严重 的绝对值越接近于0 表明变量分布的偏斜程度越轻微 信息技术教研中心 79 二 利用四分位数求偏度系数根据四分位数的特点可知 如果变量分布对称 无偏斜 那么第一个四分位数与第三个四分位数是关于中位数对称分布的 即 因此我们可以通过 这个等式是否成立来判断变量分布是否对称 并且可以根据第一个 第三个四分位数与中位数距离的关系来求偏度系数并标记为 计算公式为 偏度系数的取值范围为 1 1 的绝对值越接近于1 表明变量分布的偏斜程度越严重 的绝对值越接近于0 表明变量分布的偏斜程度越轻微 同理 我们也可以根据十分位数 百分位数来求偏度系数 信息技术教研中心 80 三 利用动差法求偏度系数计算偏度系数最重要的方法是动差法 动差法偏度系数是以变量数列的三阶中心动差 作为度量偏度的基本依据 令常数a为变量分布的中心 则所有变量值与值之差的次方的算术平均数就称为变量x关于a的t阶动差 即 t阶动差 或t阶动差 当a 0时 t阶动差称为t阶原点动差 若以表示 则 一阶原点动差为 或 即算术平均数二阶原点动差为 或 即平方的平均数三阶原点动差为 或 即三次方的平均数 信息技术教研中心 81 当a 时 t阶动差称为t阶中心动差 若以表示 则 一阶中心动差为 或二阶中心动差为 或三阶中心动差为 或 很显然 一阶中心动差 0 偶数阶中心动差恒为正 其中2阶中心动差就是方差 即 而三阶及以上的奇数阶中心动差可正可负 由于变量分布的偏斜方向要通过偏度指标的正 负情况来反映 因此要用三阶及以上的奇数阶中心动差来衡量变量分布的偏斜方向 为了计算的方便 选择使用三阶中心动差最为合适 当 0时 表示变量分布无偏 当 0时 表示变量分布是正偏 当 0时 表示变量分布为负偏 信息技术教研中心 82 由于只是绝对数 因而不能直接比较 为了使不同变量分布的偏度比较具有相同的标准 就需要用相对数来衡量 我们把与标准差的立方对比 就得到了动差法的偏度系数 即 若 0 表示变量分布正偏 若 0 表示变量分布负偏 若 0 表示变量分布两边对称 无偏 的绝对值越接近0 表示变量分布的偏度越轻微 的绝对值越大于0 表示变量分布的偏度越严重 信息技术教研中心 83 信息技术教研中心 84 信息技术教研中心 85 峰度的概念首先由统计学家皮尔逊于1905年提出 是对变量分布扁平性或尖陡性的测度 通常是指钟型分布的顶峰与标准正态分布相比偏扁平或偏尖陡的程度 它通常分为三种情况 标准正态峰度 尖顶峰度和平顶峰度 如果变量分布的频数比较集中于众数附近 分布曲线比较尖陡 使分布曲线的顶部较标准正态曲线更为突起 则变量分布的峰度属于尖顶峰度 如果变量分布各组的频数比较接近 分布曲线比较扁平 使分布曲线的顶部低于标准正态曲线 则变量分布的峰度属于平顶峰度 峰度的测定是通过计算峰度系来实现的 通常用K来表示 峰度系数的计算主要采用动差法 是4阶中心动差与标准差4次方相比的结果 即 峰度系数的标准值为3 当 3时 变量分布的峰度为标准正态峰度 当3时 变量分布的峰度为尖顶峰度 三 峰度系数 信息技术教研中心 86 总体单位分布形状示意图 峰度 信息技术教研中心 87 信息技术教研中心 88 计算和应用平均指标应注意的问题 1 应用平均指标的基本原则 总体同质性2 平均指标与统计分组相结合 组平均与总平均相结合3 平均指标与变异指标结合 集中与离中趋势结合 返回 信息技术教研中心 89 EXCEL统计函数应用 1 描述集中趋势 算术平均数 AVERAGE中位数 MEDIAN众数 MODE几何平均数 GEOMEAN调和平均数 HARMEAN2 描述变异特征 平均差