2017_18学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法同步配套教学案.docx

二 综合法与分析法 对应学生用书P211综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(3)证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为2分析法(1)定义：证明题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(3)证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为 对应学生用书P21用综合法证明不等式例1已知x0，y0，且xy1，求证：9.思路点拨可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用xy取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式证明法一：x0，y0，1xy2.xy.111189.当且仅当xy时等号成立法二：xy1，x0，y0，525229.当且仅当xy时， 等号成立综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键1已知a，b，cR，证明不明式：abc，当且仅当abc时取等号证明：因为a0，b0，c0，故有ab2，当且仅当ab时取等号；bc2，当且仅当bc时取等号；ca2，当且仅当ca时取等号三式分边相加，得abc.当且仅当abc时取等号2已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc.c2a22ca将以上三个不等式相加得：2(a2b2c2)2(abbcca)即a2b2c2abbcca.在不等式的两边同时加上“a2b2c2”得：3(a2b2c2)(abc)2即a2b2c2(abc)2.在不等式的两端同时加上2(abbcca)得：(abc)23(abbcca)即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.用分析法证明不等式例2已知x0，y0，求证(x2y2)(x3y3).思路点拨不等式两边是根式，可等价变形后再证明分析每一步成立的充分条件证明要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2.即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6.即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy.3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆3求证：0,20，要证 2.只需证明：()2(2)2.展开得：10220.即证210，即证2125(显然成立)ab.求证：cac. 证明：要证cac，只需证ac，即证：|ac|，两边平方得a22acc2c2ab，也即证a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR，且ab2c，a(ab)0，b0，且ab1，求证：.思路点拨所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明证明要证：，只需证()26，即证(ab)226.由ab1得只需证，即证：ab.由a0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系5已知a，b，c都是正数，求证：23.证明：法一：要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23.由a，b，c为正数，得c2c3成立原不等式成立法二：a，b，c是正数，c33.即c23.故2c3.ab2abc3.23. 对应学生用书P231设a，bR，A，B，则A，B的大小关系是()AABBABCAB DAB解析：A2()2a2b，B2ab，所以A2B2.又A0，B0，AB.答案：C2a，bR，那么下列不等式中不正确的是()A.2 B.abC. D.解析：A满足基本不等式；B可等价变形为(ab)2(ab)0正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确答案：C3设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dba解析：由已知，可得出a，b，c，2.bca.答案：B4设ba1，则()Aaaabba BaabaabCabaaba Dabbaaa解析：ba1.0ab1.abaa.a.00.a1.aaba.abaa0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为_解析：P，Q，RQP，当且仅当ab时取等号答案：PQR7设abc，且恒成立，则m的取值范围是_解析：abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)224，当且仅当abbc时取等号m(，4答案：(，48若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明：法一：(综合法)a，b，cR，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc.lglg abc，即lg lglglg alg blg c.法二：(分析法)要证lg lg lg lg alg blg c，即证lglg abc成立只需证abc成立又0，0，0.abc0.(*)又a，b，c是不全相等的正数，(*)式等号不成立原不等式成立9已知x，y，z均为正数求证：.证明：因为x，y，z均为正数所以()，同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立将上述三