用FeynCalc解析计算高能物理过程.pdf

第 2 8 卷 VbI 28 第 4期 N O 4 新 乡学院学报 自然科学版 J o u r n a l o f Xi n x i a n g Un i v e r s i t y Na t u r a l S c i e n c e E d i t i o n 2 0 l 1 年 8月 Au g 2 01 1 用 F e y n C a l c解析计算 高能物 理过程 乔 庆 鹏 洪晓 艺 1 河 南教 育学 院 物 理 系 郑 州 4 5 0 0 4 6 2 新 乡职 业技 术 学院实训 处 河 南 新 乡 4 5 3 0 0 3 摘 要 在 高能物 理 中 经常遇 到 费曼 图的振 幅 解析 计 算 的 问题 而 其 中的 求迹 运 算是 困扰理 论 物理 工 作 者的一 个难 点 尤其 当相 关 图较 多或 者被 求迹 的 Y 矩 阵在 六 个以上 的 时候 分析 了近 年 来相 应的 高能物 理计 算工具 F e y n C a l c 介绍了它的工作环境和操作方法 并用它对w e e 一 过程进行 了相应的求迹运算 其解 析 结果 与手 工推 导 结果是 一致 的 关键 词 F e y n C a l c Ma t h e ma t i c a 求迹 中图分类号 05 7 2 1 1 文献标 志码 A 文章编号 1 6 7 4 3 3 2 6 2 0 1 1 0 4 0 3 I l 一 0 3 An a l y t i c a l Ca l c ul a t i o n o f t he Pr o c e s s o f hi g h Ene r g y Ph y s i c s b y Fe y nc a l c QI AO Qi n g p e n g 1 7 HONG Xi a o y i 1 De p a r t me n t o f P h y s i c s H e n a n I n s t i t u t e o f E d u c a t i o n Z h e n g z h o u 4 5 0 0 4 6 C h i n a 2 De p a r t me n t o f T r a i n i n g Xi n x i a n g Vo c a t i o n a l a n d Te c h n i c a l Co l l e g e Xi n x i a ng 45 3 0 0 3 Ch i n a Abs t ra c t The a na l yt i c al ca l c ul a t i ons of Fey nman di ag r am a mpl i t u de a r e t he pr o bl e ms t ha t a r e al wa ys e n c o u n t e r e d i n Hi g h En e r g y P h y s i c s t h e e v a l u a t i o n o f t r a c e o p e r a t i o n i s a c o mp l e x p r o b l e m t o t h e o r e t i c a l ph ys i c i s t s The pr obl em i s mor e c ompl e x ei t he r wi t h mor e Fe ynma n di a gr a m s or numbe r of 1 m a t r i x es o ve r 6 I n t h i s p a p e r F e y n Ca l c t o o l s we r e i n t r o d u c e d wh i c h h a v e b e e n d e v e l o p e d i n r e c e n t y e a r s o f h i g h e n e r g y p h y s i c s Th e wo r k e nvi r onme nt o f Fe y nCa l c a nd i t s o pe r a t i on met hod we r e pr e s e nt e d her e The n a pr a ct i c a l pr oc e s s of 1 y e e t r a c e o p e r a t i o n i s e v a l u a t e d b a s e d o n Fe y n Ca l c t h e a n a l y t i c a l o u t p u t i s c o n s i s t e n t wi t h t h e ma n u a l de r i va t i on Ke y wo r ds Fey nCal c M a t he ma t i c a t r a c e 0 引言 跃迁 几率 振 幅计算 是粒 子 物理 中研 究 基本 相互 作 用 和物 质结构 的 基础 但 随 着相 关过 程费 曼 图的增 多 及 圈图 中涉 及 的 丫 矩 阵 的增加 尤其 当 Y矩 阵 的数 目超 过 六个 甚至 达 到八 个 以上 时 虽 然理论 上 依 然可 以 利用基本公式进行手T推导 但其 T作量极其庞大 计算机程序 F e y n C a l c的发展 较好地解决了上述问题 可 以最大 限度 地减 少科研 T 作者 的 T作量 同时 也 提供 了一种 自我 检验 手 T推 导 的方法 1 F e y n Ca l c简 介 F e y n C a l c 是 一个 用 于解 析 计算 与化 简量 子 场论 相 关 过程 的 软件 包 专 门用来 计 算相 关 的费 曼 图 它 是商业 计算 软 件 Ma t h e ma t i c a的一 个 扩展 包 需要 运 行在 Ma t h e ma t i c a 4 0版 本 及其 以上 笔 者建议 使用 Ma t h e ma t i c a 5 2 这样 可 以更好 地 平衡兼 容性 和计算 效 率 2 F e y n C a l c的获 取 与安装 F e y n C a l c以压缩 包 t a r 和 z i p的 文件形 式 出现 分别 对应 于 L i n u x及 Wi n d o ws 操作 系统 目前 可支持 Ma t h e ma t i c a 4到 Ma t h e ma t i c a 8的运行 但 对 于不 同的 Ma t h e ma t i c a 版 本 其相 应 的压缩 包 也不 同 下 载时 收稿 日期 2 0 1 1 0 6 0 2 修 回 日期 2 0 l 1 一 O 6 2 5 基金项 目 河南省教育厅 自然科学基金 2 0 1 1 A1 4 0 0 0 5 河南教育学院青年科研基金 2 0 1 0 0 1 0 1 作者 简介 乔庆鹏 1 9 7 9 一 男 河南新 乡人 讲师 博士 研究方 向 加速 器物理和 暗物质 E ma i l x x q q p ma i l n a n k a i e d u c n 万方数据 3 l 2 新 乡学院学报 自然科 学版 要 注意 F e y n C a l c的各版 本 可在 h t t p ww w f e y n c a l c o r g d o w n l o a d i n d e x h t m 下载获 得 F e y n C a l c的安 装步骤 可 在压缩 包 白带 的 F C R e a d Me t x t 文件 中或从其 官方 网站 I n s t a l l a t i o n i n s t r u c t i o n s 中得到 需 要注 意的是 F e y n C a l c 需要 使 用者在 其 电脑 操作 系统 中预先 安 装配置 F e y n A r t 0 2 1 软件包 否则 在软件初始化过程中系统会进行相关提示并拒绝正常运行 F e y n Ar t s是一个费曼图自动生成 T具 可以由 h t t p w w w f e y n a r t s d e 下 载获得 3 F e y n C a l c的操 作方法 以 Ma t h e ma t i c a 5 2 F e y n A r t s 3 2 F e y n C a l c 5 b e t a 3环境 为例 F e y n C a l c的启 动需要 在 Ma t h e ma t i c a窗 口 中键入以下命令 e e 一 实例 为了验证 F e y n C a l c 软件包的可信度 下面 我们在 粒子物理标准模型框架 内考虑 了一个具体的反应过程 丫 y e e 一 见 图 1 将 其 最终 输 出与 手 T推导 的结 果做 F i g 比较 以验证其正确性 与图 l 中的费曼图对应的总振幅可以写为 图 1 丫 y e e 一 相关 过程 的费曼 图 1 T h e F e y n ma n d i a g r a m o f t h e W e e p r o c e s s e s M M M p i e 一 鼍 m 一 一 m 一 i e v p p i e i 一 m l Ji 2 一 m J 一 i e V p 2 k 2 e k 1 下面 我们利用 F e n y C a l c 解析推导以上振幅的平方项 首先 要在 F e y n C a l c环境下定义各入射光子以及出射电子的四动量 p l Ma k e B o x e s p 1 f mt 一 I n t e r p r e t a t i o n B o x S u b s c r i p t B o x p 1 p 1 k l Ma k e B o x e s k 1 f mt 一 I n t e r p r e t a t i o n B o x S u b s c r i p t B o x k 1 k l p 2 Ma k e B 0 x e s p 2 f mt 一 I n t e r p r e t a t i o n B o x S u b s c r i p t B o x p 2 p 2 k 2 Ma k e B o x e s k 2 f mt 一 I n t e r p r e t a t i o n B o x S u b s c r i p t B o x k 2 k 2 为了便于计算 定义内线传播子的动量与 r 矩阵的点积如下 P 1 s l p 2 s l k 1 s l k 2 s l D i r a c S l a s h p l p 2 k l k 2 它们分 别对 应 P P k k 的各分 量 为了便于比较 我们选取了质心坐标系 并要求最终结果只保 留P k 以及 P k 的形式 因此 我们 需 要对 相关 的动 力学项 做如下 的整 理和 重新 定义 p m k j2 蟛 0 1 2 P l P 2 m 七 l P 2 2 P l 2 P 2 k l P J P l p 2 k 2 PI m J p l 2 其中 k 和 代表入射光子的动量 和 p 则代表 射电子的动量 1 T I 是电子的静止质量 以上各式子在 F e y n C a l c中被 定 义为如下 形式 s c a 1 a r P r o d u c t p 1 p 1 s c a l a r P r o d u c t n 2 p 2 m S c a 1 a r P r o d u c t k l k l S c a l a r P r o d u c t k 2 k 2 1 O S c a l a r P r o d u c t k l k 2 S c a l a r P r o d u c t p l p 2 m S c a l a r P r o d u c t k l p 2 S c a l a r P r o d u c t k 2 P 1 s c a J a r P r o d u c t k 2 p 2 3 S c a l a r P r o d u c t k l P 1 S c a 1 a r P r 0 d u c t p 1 p 2 S c a l a r P r o d u c t k 2 P 一 m S c a l a r P r o d u c t k 1 p1 我 们 还 需 对 振 幅 中 m 现 的各 项 做 如 下 定 义 f l D i r a c Ma t r i x p l s l k 1 s l m Di r a c Ma t r i x 表 示 m k l P 1 f 2 D i r a c Ma t r i x p I s l k 2 s l m D i r a c Ma t r i x 表 j m k 2 P 1 f 3 Di r a c Ma t r i x p1 s l k l s l m Di r a c Ma t r i x 表7 m一 l p 1 万方数据 乔庆鹏 洪晓艺 用F e y n C a l c 解析计算高能物理过程 3 l 3 f 4 Di r a c Ma t r i x pl s l k 2 s l m Di r a c Ma t r i x m 七 2 P 1 有 了 以上 定 义 就 可 以用 F e y C a l c 对 振 幅进 行 相应 的求 迹运 算 t r l T r p l s l m f 1 p 2 s 1 m f 3 g行 后 可 得如 下 结果 4 一 8 m 8 k P m 8 k P k P 1 t r 2 T r p l s l m f 1 p 2 s 1 m f 4 运 行 后 可 得 4 一 8 m 4 k l P l m 4 k 2 P t r 3 T r p l s l m f 2 p 2 s l m f 3 运 行 后 可 得4 一 8 m 4 k l P lm 4 k 2 P l m t r 4 T r p l s l m f 2 p 2 s l m f 4 运 行后 可得 4 一 8 m 8 k 2 t P m 8 k P k 2 P 然后 把 分 母上 的 传播 子写 上并 把振 幅 中 的各项 相 加 可得 振幅 平方 表达 式 ma t r i xs q t r l t r 4 雨 t r 2 t r 3 运 行后 可得 2 一 8 m 4 k 1 PI m 4 k 2 Pl m 一一 P P 8 m 8 k J PI m 8 kI Pl 2 P1 一 8 m 8 k 2 Pl 1 T I 4 8 k 1 PJ k2 Pl l P1 2 P I 对 以上输 m按 照 电子 的质量 m 的幂 次进行 整 理 r C o l l e c t 2 ma t r i x s q m 运 行后 可得 8 k l p l k 2 P I m I 1 6 k l k 2 m 8 l P I 2 P 1 1 1 k l P I k 2 P 1 k l P 1 露 2 P 1 l P 1 露 2 P 1 最后 把 耦合 系数 以及 对初 态光 子 的极 化平 均 因子 乘上 就 可 以得 到 Z tM I 1 6 k l P l k 2 P I m 8 露 1 P 1 2 P 1 k P 1 露 2 P 露 P P 1 3 这和 我们 手T 推导 的结 论是 一致 的 5 结束 语 通 过对 比可知 用 F e y n C a l c程序 和手 T推 导 的解 析结果 最 终形 式是 相 同的 因此 有 理 由相信 F e y n C a l c 的正确性 在我们此前的T作 中f 堵B 或多或少地使用 了 F e y n C a l c 程序检验和化简计算过程 F e y n C a l c的强大 功能 不仅 限 于对 矩 阵求 迹 它 还 可 以用 于单 圈图 的 P a s s a r i n o V e l t ma n约化 根据拉 氏量产生的费曼规则 作为非对易代数计算T具 作为 S U N 李代数T具 对费曼规则进行积分和卷积 并可以产生 F OR T R A N代码 与 F OR M 代码互换等一系列强大的功能 笔者仅介绍 验证了它的一个子功 能 F e y n C a l c 是一款功能强大的粒子物理计算lT具 推荐给大家学习和使用它 参考 文献 1 ME R T I G R B OHM M DE NNE R A F E YN C AL C C o mp u t e r Al g e b r a i c C a l c u l a t i o n o f F e y n ma n Amp l i t u d e s J Compu t Phys Comm u n 1 991 6 4 3 45 359 2 T