化学振荡研究领域的数学方法与程序软件.pdf

收稿 2002 年 11 月 收修改稿 2003 年 1 月 天津市自然科学基金资助课题 通讯联系人 e maii zbhe 化学振荡研究领域的数学方法与程序软件 禇效中贺占博 天津大学理学院化学系天津 300072 摘要本文总结了已应用于化学振荡研究领域的数学方法和程序软件 其中在数学方法部分主要介 绍了两种常用于求解化学振荡反应数学模型的吉尔 Gear 法和龙格 库塔 Runge Kutta 法及其优缺点 并简 要描述了 3 种研究化学振荡反应机理模型的数学分析方法 稳定性分析 灵敏度分析和主成分分析 同 时结合作者的实践 给出了用两种功能强大的符号型数学运算软件 Mathematica 和 Mapie 来求解振荡反 应数学模型的方法 文章还简要介绍了用来模拟化学振荡机理的遗传算法和蒙特卡罗 Monte Cario 算法以 及 MECHEM 和 Chemicai Kinetic Simuiator CKS 软件 关键词化学振荡数学方法程序软件 中图分类号 0643 1 TP399文献标识码 A文章编号 1005 281X 2004 01 0042 07 Mathematical Methods and Softwares in the Field of Chemical Oscillation Chu XiaozhongHe Zhanbo Department of Chemistry Schooi of Science Tianjin University Tianjin 300072 China AbstractThe mathematicai methods and computer softwares appiied to the fieid of chemicai osciiiation are summa rized in this paper The main contents discussed are as foiiows the advantages and disadvantages of Gear method and Runge Kutta method in soiving osciiiation modeis three mathematicai anaiysis methods i e stabiiity anaiysis sensi tivity anaiysis and principai component anaiysis Two powerfui softwares Mathematica and Mapie are introduced accord ing to the authors practice Additionaiiy two aigorithms genetic aigorithm and Monte Cario aigorithm as weii as two softwares MECHEM and Chemicai Kinetic Simuiator used in modeiing mechanisms of chemicai osciiiations are aiso deait with briefiy Key wordschemicai osciiiation mathematicai method program and software 一 引言 化学振荡是指体系中某些状态量 如浓度 电极 电势 在反应或扩散中呈现周期性的变化 化学振 荡现象的发现可追溯到 19 世纪 1873 年 Lippman 报道了汞心实验 观察到汞的类似于心脏振动的周 期现象 1921 年 Bray 报道了均相溶液中化学反应 的周期变化现象 1 但由于受到经典热力学的限 制 这些现象并没有引起人们足够的重视 直到 1958 年前苏联化学家 Beiousov 以及后来的前苏联化 学家 Zhabotinsky 所研究的 BZ 反应 2 的报道 化学振 荡现象才引起人们的注意 特别是 19 世纪 60 年代 普里高津 Prigogine I 耗散结构理论的建立 为化 学振荡反应的研究提供了一定的理论依据 此后化 学振荡激起了化学家们的强烈兴趣和广泛研究 近 20 年来 有关化学振荡的研究更是层出不穷 这其 中一项非常重要的工作便是对化学振荡反应机理及 其模型的研究 因为这更能揭示化学振荡的本质 然而由于机理中常涉及复杂的中间反应步骤和中间 产物的确定 以及模型中往往会碰到非线性甚至是 第 16 卷 第 1 期 2004 年 1 月 化学进展 PR0GRESS IN CHEMISTRY Voi 16 No 1 Jan 2004 刚性微分方程组的求解问题 故这方面的研究受到 了一定的限制 但随着数学工具和计算机软件的发 展 出现了许多可应用于化学振荡研究的数学方法 算法程序以及应用软件 为了方便这方面的研究工 作 促进研究方法的进一步改进 本文系统地总结了 这方面的文献报道 以便于研究者的实际操作 二 化学振荡数学模型的解法 19 世纪初期 哥西 Cauchy 在相当广泛的条件 下严格地证明了常微分方程初值问题解的存在性 然而实际上人们能够用初等函数的积分来求解的微 分方程却是很少的 对于非线性微分方程更是如此 化学振荡作为非线性动力学的一个分支 它所涉及 的化学反应往往是十分复杂的 而且存在部分不确 定的中间反应步骤 为了能较清楚地说明反应体系 所表现出来的宏观行为 寻求比较符合实验现象的 反应机理 有时需要对反应过程进行模拟 这就涉及 到求解动力学微分方程组的问题 在传统的动力学 教科书中 求解动力学微分方程只限于一级 二级的 简单反应 对于比较复杂的平行反应 连续反应 对 峙反应的动力学微分方程虽然也可得到解析解 但 是往往涉及大量繁杂的数学运算 即使在这过程中 采用一些数学和化学上的近似 如稳态近似和平衡 浓度近似 这些传统的方法已远远不能满足解决 化学振荡数学模型中所涉及的微分方程组求解的需 要 因为这些动力学微分方程一般属于非线性微分 方程甚至是刚性微分方程 这些方程一般来说没有 解析解 只能依靠计算机得到一些数值解 而且其计 算量相当惊人 为了便于实际的计算 下面介绍几 类求解非线性微分方程组的算法思想及相关计算机 程序 1 Gear 算法及其改进 对于微分方程组 Y F t Y Y a A 其中 t a 6 Y Y1 Y 2 YI T 表示各组分浓度 F F1 F 2 FI T 为各组分浓度对时间的导数 A A1 A 2 AI T 为各组分的初始浓度 为了 求解该方程组 Gear 3 提出了一种 I 阶 I 步法 表达 式为 I 0 a YI h IFI I 其中 aI 0 FI I F t I I Y I I 徐洪义等给出了另一种 I 阶I 步法的 表达式 4 简称 XBW 法 I 0 a YI h I I 2 FI 其中 aI 0 I 2 该法绝对稳定域大于 Gear 法 除 上述改进方法外还有一种比较好的 Gear 改进法 5 其表达式为 I 0 a YI h IFI I I 1 FI I 1 其中 aI 0 I I 1 1 I 为自由参数 当 I 2 7 时其稳定域比同阶的 Gear 法和 XBW 法都大 虽然用这 3 种方法计算效果相当 6 但第 3 种算法 更适用 上述 3 种算法都有相应的程序 但以 Gear 编的 程序 3 最早 故最为出名 Gear 程序是用 Fortran 语 言编写的 此程序具有变阶 变步长 误差可以控制 以及节省机时等优点 值得一提的是现在可以用康 柏公 司 开 发 的 可 视 化 窗 口 编 译 工 具 VisuaiFor tran6 5 使输入编译 Fortran 程序更加方便快捷 目 前 许多化学动力学微分方程组的求解都是应用 Gear 程序 以研究振荡反应机理出名的 Fieid R J 在解决动力学微分方程组时 使用的就是 Gear 法 2 Runge kutta 龙格 库塔 法 龙格 库塔法是一种最经典的微分方程数值解 法 也是一种最常用的方法 其中以四 五阶的龙格 库塔法应用最为广泛 但该程序 7 往往采取定步长 的方法来求解 我们在尝试采用这种方法来求解一 些振荡反应模型时 结果由于步长要求太小以及计 算误差难以控制 常常溢出 导致计算无法进行 而 上述的 Gear 法在运行时一般不会出现这样的问题 它非常适用于求解大型的微分方程组 但近来有些 文献中使用了一些改进的龙格 库塔程序 8 14 如 半隐式的龙格 库塔法 a semi impiicit Runge kutta method 15 循环级数法 recurrent power series 13 DIMSIMs 法 diagonaiiy impiicit muiti stages integration methods 14 等等 这些改进的方法使龙格 库塔程序 适用范围更广 精度和稳定性进一步提高 而且还 有文献 16 提供了一种步长自适应的龙格 库塔算 法 加入此算法后使龙格 库塔法解决动力学微分方 程组的能力大大提高 除了上述两类常用算法程序外 在相关文献中 还应用了一些其它解决动力学微分方程组的改进程 序 如 SIMULATE 程序 17 STIFF3 子程序 18 ODE PACk 程序包中的 LSODE 子程序 19 GEPASI 程 序 20 等等 但是总的来说 该领域目前所应用的算 法和程序的版本都显得有些陈旧 在计算速度 精度 和误差控制等方面还存在一些不足 当前出现的一 些比较好的求解非线性微分方程组的算法和子程序 并没有被吸收和应用进来 随着非线性理论的不断发展 人们解决非线性 方程的水平也越来越高 目前国内外有许多关于解 34第 1 期效中等化学振荡研究领域的数学方法与程序软件 决微分方程 线性或非线性 的专著 3 21 24 27 这 些书所附的参考书目列出了有关求解微分方程方面 的大量文献 上面介绍的用数学方法及其相关程序来解决化 学动力学微分方程组 这对使用者的知识要求相对 较多 首先 使用者必须熟悉相关的数值算法和计 算机高级语言 其次 要能读懂所给的程序 且能编 写主程序 因为文献往往只提供解决问题的子程序 有时还得针对具体问题对所给程序进行优化 要克 服上述不足 途径之一就是使用通用数学软件 为 此 本文向大家介绍几种常用的解决微分方程 组 的应用数学软件 3 Mathematica 软件 Mathematica 软件是由美国 WOifram Research 公 司的 Stephen WOifram 领导开发的 目前常用的版本 是 4 0 和 4 1 最新版本为 4 2 它是一种符号型运 算软件 对 Mathematica 而言 数值计算仅是雕虫小 技 它的强大功能在于符号式的运算处理与绘图 Mathematica 能够方便地解决微分 积分 解微分方程 组 和数值分析等较复杂的数学问题 而且能方便 地画出二维或三维图形 而且可做成动画 便捷的窗 口化操作会使您事半功倍 本文以 BZ 反应的数学 模型 25 为例 简要说明其用法 dx d x y xy gx2 x 0 a dy d 2hz y xy y 0 6 pdz d x z z 0 c 其中 p h 是参数 a 6 c 是假设的初始浓度 值 在 Mathematica 编辑窗口中只需输入 sOiutiOn NDSOiVe x x y x y g x x y 2 h z y x y p z x z x 0 a y 0 6 z 0 c x y z 0 50 Maxsteps WOrkingprecisiOn 20 PiOt EVai uate LOg x sOiutiOn 0 50 同时按下 Shift End 就能完成求解和绘图的双重任 务 Mathematica 作为一种工具软件 它在解决动力 学微分方程组时具有以下优点 1 编写的程序相当简单扼要 使用者只需懂得 相应的操作命令 然后按软件所要求的格式输入微 分方程组进行求解即可 一般来说 程序内容基本 上就是微分方程组的数学表达式的再现 而在这过 程中并不涉及复杂的算法思想和执行程序 2 运算速度极快 不容易出错 而且可以通过 时间命令 timing 来记录运行的时间 3 修改相关参数及其初值条件相当方便 修改 时只需把计算程序中相应的赋值语句的变量值变换 一下即可 并不涉及主体计算程序的修改 4 Mathematica 软件的智能化程度较高 用户只 需告诉它做什么 剩下的工作基本上完全由计算机 完成 5 Mathematica 软件具有强大的作图功能 一次 就能处理大量的数据点 而且还能同时处理多个变 量 这比由计算机高级语言编写的程序运行获得数 据后进行作图处理明显要来得快捷和准确 当然 有时由于参数或初始条件选取得不好 也 会出现运行终止或死循环的情况 但系统会给出错 误产生的信息 以便修改 4 Maple 软件 Mapie 软件也是一个功能强大的符号型运算软 件 它是由加拿大的 WateriOO 大学的符号计算小组 开发的 Mapie 系统年年更新 以吸取当时最好的 算法 目前常用的版本是 6 0 和 7 0 最新版本为 8 0 Mapie 的特点是它的帮助菜单非常丰富 拥有 大量的工具软件包 在解微分方程组时 Mapie 提 供了 7 种方法 其中包括经典法 ciassicai 吉尔法 gear 多步吉尔法 mgear 四 五阶的龙格库塔法 RKF4 5 等 其中四 五阶的龙格库塔法是计算机的 默认值 故使用起来十分方便 如上述的 BZ 反应 模型方程在 Mapie 编辑窗口中只需输入 sOiutiOn I dsOiVe diff x x y x y g x x diff y 2 h z y x y p diff z x z x 0 a y 0 6 z 0 c x y z type numeric methOd gear with piOts OdepiOt sOiutiOn x 0 50 上述程序按下 end 键即可运行 由此可见 Mapie 在解决微分方程组时比 Mathematica 来得更快 捷 提供的方法不但多 而且很明确 输入的格式也 要自由一点 效果相对要好一些 然而 由于 Mapie 软件留给使用者自行设计解决问题的空间要比 Mathematica 软件大 且 Mapie 软件命令繁多 因而其 智能化程度较 Mathematica 软件低 不易熟练掌握运 用 但总的说来 上述两种软件是目前世界上解决 符号型运算最强大的应用数学软件 它们在求解微 分方程组时具有运行速度快 精度高和误差可以分 析控制等特点 而且它们对计算机的配置要求较 低 目前普通的 PC 机都能运行这两种软件 44化学进展第 16 卷 5 MathCAD 和 Scientific Workplace 软件 MathCAD 和 Scientific Workpiace 这两种软件有 一个显著的特点 使用者可以按习惯的标准书写格 式输入数学表达式 公式 方程组 矩阵 计算机就 能给出或数字 或符号 或图形的结果 用户无须考 虑方法以及中间步骤 整个过程就像计算器一样简 单 但这两种软件在处理需讲究精度 速度 算法稳 定性的复杂数值计算和需经复杂推理的符号计算问 题 如非线性微分方程组 时 通常不能运行出结果 然而在处理相对简单的微分方程时 还是比较方便 的 毕竟它对使用者的要求较低 6 Matlab 软件 Matlab 软件作为数值计算型软件的先锋 它以 矩阵为基本单位 在应用线性代数 数理统计 自动 控制 数字信号处理 动态系统仿真方面有其它数字 软件不可比拟的优势 特别适用于工程计算 但在 符号型数值分析和计算中功能就不如 Mapie 和 Mathematica软件了 而且它对计算机性能配置要求 较高 掌握使用该软件相对较难 上述通用数学软件均已商品化 很容易从网上 获得 目前 在化学振荡数学模型的处理中还没有 人直接使用上述数学软件来分析和求解振荡数学模 型 它们在该领域的功能和应用还有待于进一步的 探索和开发 三 化学振荡机理模型的数学分析 为更好地揭示化学振荡反应的本质 有必要对 化学振荡反应的机理及其相应的数学模型进行简 化 以便于进一步的分析 因为一个振荡反应的机 理往往涉及众多的中间反应步骤 有些中间反应对 体系本质所起的贡献很小 如果不把它们忽略 会直 接导致数学模型的复杂化 以致无法分析和求解数 学模型 目前应用于此的数学分析方法有 稳定性 分析 灵敏度分析和主成分分析 1 稳定性分析 稳定性概念的物理意义是十分明确的 因为在 讨论动力学微分方程变化规律时 初值实际上会不 可避免地对方程产生误差和干扰 若因初值有微小 变化 而引起方程解的很大变化 出现所谓的 蝴蝶 效应 这样的解显然是毫无实际意义的 反之才有 去研究的必要 由于许多非线性微分方程组的求解 不但困难 而且极其繁琐 因此有必要通过稳定性分 析 由简化的代数方程组的性质来获悉原微分方程 组的性质 如通过稳定性分析来判断和讨论二维相 空间中奇异点类型 极限环和分岔等相关问题 此 外 由稳定性分析可确定原微分方程是否有周期解 也可确定产生振荡的初浓度区间 目前 判断稳定 性的方法主要有两种 一是线性稳定性分析方法 另 一种是李雅谱诺夫 lyapounov 函数稳定性分析方 法 这两种方法在文献 26 28 中都有详细论述 然而 现今只有对含有一个或两个变量的数学模型 的分析理论比较成熟 对于三个变量或三个变量以 上的数学模型的分析还没有建立相关的理论 2 灵敏度分析 稳定性分析是对动力学微分方程组 振荡反应 数学模型 的存在意义做出评价 而灵敏度分析则是 研究振荡反应数学模型随外界相关参数 如某一中 间反应的速率常数 条件的变化对微分方程组的解 及其所表征的系统带来的影响的大小 对于这种影 响大小的定量分析 称为灵敏度分析 29 对化学动 力学微分方程组进行灵敏度分析一般来说是必不可 少的 因为 l 在模型分析过程中有必要知道动力 学系统中的参数对其动力学行为的不确定影响 并 进一步确定哪一个参数对该系统的表征起主要作 用 这样可以指导振荡反应数学模型的分析和实验 研究 2 灵敏度分析可以用于判断反应机理中的 基元反应对系统影响的大小 通过其分析可简化数 学模型 3 灵敏度系数在动力学参数的计算中往 往也是必不可少的 文献 30 详细地介绍了灵敏度 分析的数学方法 这里再介绍一种比较新的灵敏度 的定义及相关解法的出处 定义 用常微分方程组 y P f y P P y 0 P y0 P l 来描述动力学系统 其中 y 是一个 维向量 P 是 表示参数的m 维向量 这里指速率常数和初始组分 浓度 用偏微分 yi P PJ i l 2 J l 2 m 来表示灵敏度系数 定义向量 sJ P y P PJ J l 2 m 然后对 l 式关于 PJ求导 得到一组灵敏度方程 s J P f y P sJ P f PJ P 当 PJ不是组分的初始浓度时 sJ 是零向量 即 sJ 0 P i J是零向量 如何计 算 sJ 现 有 的 方 法 有 DDM 3l decomposed direct method GFM 32 33 Green sfunctionmethod ROW4A 34 35 ROW4S 36 并在文献 36 中详细总 结了上述各种方法的优缺点 并重点介绍了 ROW4S 法的功能和优点 并且该文献附录了 ROW4S 法的 Fortran 程序 文献 3 还提供了一种用 Gear 法求 54第 l 期效中等化学振荡研究领域的数学方法与程序软件 解灵敏度系数的算法及其步骤 主成分分析 主成分分析法 38 是将多个变量化为少数综合 变量的一种多元分析方法 即在不损失系统主要信 息的前提下将用来表征系统的多变量化为用少数变 量就可以代替的系统 这在化学振荡反应机理模型 的研究中很有现实意义 应用主成分分析法可以排 除出机理模型中的次要变量 这样能大大简化数学 模型 下面介绍一种相对简单的算法步骤 设 X 为 I X p 维矩阵 I 为中间组分 p 为评价 变量数 如速率常数 X X1 X 2 Xp xij I X p i 1 2 I j 1 2 p 1 对数据进行标准化 xij x ij xij 1 I 1 I i 1 x ij xj 2 xj I i 1 xij I 2 计算样本相关矩阵 R rij pX p rij I i 1 xtixtj 3 求相关矩阵 R 的 p 个特征值 1 2 p i 0 及相应的 p X 1 维单位特征向量 C1 C 2 Cp C i Ci1 C i2 Cip i 1 p 4 计算主成分 Z1 Z 2 Zp Z i 为 I X 1 维向 量 i 1 p Zi XCi i 1 p 5 计算主成分 Zi的贡献率 1i i m i 1 i 6 计算前 m 个主成分的累计贡献率 1m m i 1 i p i 1 i m p 7 给定 1 1 如 0 9 当 1m达到 1 值时 则取 前 m 个主成分 Z1 Zm为所需 其实 在操作过程中 有时只需根据速率常数的 大小来判断中间反应的取舍就行了 比如当两个平 行反应的速率常数有 Log I2 I1 6 的关系成立 时 速率常数小的反应就可以忽略 注意这与动力学 教科书中连串反应是由速率慢的反应来控制的理论 是两码事 可参照协同学理论来解释 目前 常用于简化化学反应机理模型的数学方 法可分为两类 一类是从比较纯粹的数学理论着 手 通过相关数学计算来确定化学反应模型的形 式 39 42 另一类是通过对复杂的化学反应机理进 行灵敏度分析和主成分的联合分析 并结合体系中 基本实验现象来简化化学反应机理 后一类方法作 为似稳定浓度法和平衡浓度法的发展和补充 更适 合于化学反应机理的简化和研究 这方面已有相当 多的文献报道 43 46 可以说这类方法是目前简化 化学反应机理模型的主要手段 四 模拟化学振荡的程序及软件 随着科学技术的发展 人们研究反应机理的手 段和水平越来越高 如交叉分子束激光技术应用于 气相反应机理的研究 EOCM 电化学石英晶体微天 平 在电化学振荡机理中的应用 紫外 可见光谱连 续扫描等技术相继应用于机理研究 但人们还是对 许多反应特别是复杂振荡反应的机理不能明确地确 定下来 因此 为了研究的需要 有必要对其动力学 反应历程进行模拟 以验证假设机理的可行性 可以 说这是目前研究化学振荡机理的有效途径之一 化 学振荡反应机理的模拟分两种类型 程序模拟和软 件模拟 程序模拟 1 遗传算法 genetic aigorithm 模拟 遗传算法 47 48 是一种借鉴生物界自然选择和 进化机制发展起来的高度并行 随机 自适应的搜索 方法 简单而言 它使用了群体搜索技术 将种群 可能的反应和中间组分 代表一组问题 通过对当 前种群施加选择 交叉和变异等一系列操作 从而产 生新一代种群 相关中间反应 并逐步使种群进化 到包含近似最优解的状态 Tsuchiya 和 Ross 49 介绍 了遗传算法应用于化学反应动力学机理研究的条 件 算法及其步骤 并以 BZ 反应体系为例 详细推 导了运用遗传算法研究反应机理和确定速率常数的 过程 2 蒙特卡罗 Monte Cario 模拟 蒙特卡罗模拟 50 51 是一种以对随机性问题进 行仿真为其基本特征的随机方法 化学反应从本质 上说是一种分子水平上的离散化的随机事件 因此 原则上随机性方法更适合描写化学反应过程 52 在文献 53 中介绍了一种以随机变量为物种浓度的 蒙特卡罗方法来模拟 Landoit 化学振荡反应的过程 该文还详细讲解了蒙特卡罗方法的原理和算法 其 实 蒙特卡罗算法思想应用相当广泛 在模拟研究振 荡反应的领域中 其还可应用于模拟表面化学反应 过程 如气固振荡反应 特别是在 Ziff Guiari 和 Barshad ZGB 54 运用该方法成功研究表面反应的开 创性工作报道后 蒙特卡罗方法已成为这一领域的 64化学进展第 16 卷 强大工具 且相当流行 55 59 在机理模拟中 除了上述两种方法外 常见的还 有研究非线性系统中涨落等现象的主方程模拟 法 60 61 模拟反应扩散系统的分子动力学技术 62 63 等等 软件模拟 1 MECHEM 64 65 软件 MECHEM 是一个被广泛用来解释模拟反应机 理的可视化化学软件 其功能十分强大 几乎适用于 任何化学反应 主要应用于催化反应 用户在输入 开始的反应物以及确定的 或假设的 产物和中间产 物后 软件能自动地搜索并可给出所有满足条件的 反应机理 而且用户可以改变或添加约束条件 软 件提供的约束条件类型大约有 100 种 让其重新搜 索 以进一步优化反应机理 但是 这必须借助于比 较完善的简单反应和基元反应的动力学数据库 它 的技术特性可参照文献 66 68 2 Chemical Kinetic Simulator CKS 软件 该软件是美国 IBM 公司 Almanden 研究中心开 发的化学动力学模拟软件 CKS 是用随机模拟方法 解决反应动力学问题的重要工具 其动力学模拟的 理论依据是分子碰撞理论 主要目的是利用有限数 目的粒子作为计算基础 计算所有参加反应的反应 物 中间物及其产物的浓度与时间的函数关系 它 有如下特点 输入的反应物 产物可以使用任意代 码 这样就有可能在反应产物不完全清楚的情况下 使用该方法进行动力学计算 对计算范围无限制 可解决多种与速度有关的动力学过程 CKS 是一 个易用的化学模拟软件 具有快速准确的特点 适用 领域广泛 在模拟时仅需输入必要的反应机理 速率 常数和相关反应条件 如浓度 温度 压力等 就可 以得到反应参数与时间的关系曲线 若该方法与上 述的遗传算法联用 可以更方便地研究化学反应机 理 但是 这些模拟方法也都需要比较好的动力学 数据库的支持 五 结束语 本文介绍了目前应用于研究化学振荡的一些常 用数学方法和计算机软件 虽然这些工具为化学振 荡的研究提供了便利 但是它们依然存在着一些不 足之处 并不能普遍地应用于所有振荡机理模型的 研究 该领域的发展还依赖于非线性动力学和非线 性微分方程组理论研究的进一步深入 以及化学简 单反应和基元反应动力学数据库的完善 希望本文 的总结能给此领域的研究工作带来方便 也期待着 有更好的工具出现 以推动化学振荡研究的迅速 发展 参 考 文 献 1 Bray W C J Am Chem Soc 1921 43 1262 1268 2 Tyson T Belousov Zhabotinsky Reaction Berlin Springer Ver lag 1976 3 Gear C W Numeric Initial Value Problems in Ordinary Differential Eguations Englewood Cliffs Prentice Hall 1971 158 166 4 徐洪义 Xu H Y 包雪松 Bao X S 王长富 Wang C F 计 算数学 Mathematica Numerica Sinica 1985 7 4 415 419 5 李庆扬 Li O Y 谢敬东 Xie J D 清华大学学报 自然科 学版 J of Tsinghua University NF 1991 31 6 1 11 6 谢敬东 Xie J D 硕士学位论文 Master Dissertation De partment of Applied Mathematics Tsinghua University 1990 7 徐士良 Xu S L FORTRAN 常用算法程序集 Book of Fortran Algorithm and Program 北京 Beijing 清华大学出版社 Ts inghua University Press 1995 267 274 8 Kovfcs K M Rfbai G J Phys Chem A 2001 105 40 9183 9187 9 Rfbai G Okazak N Hanazaki I J Phys Chem A 1999 103 36 7224 7229 10 Russell W Ian C Kevin B Comput Chem Eng 2000 24 2 625 630 11 Voss D A Khalig A O M Comput Chem 2001 25 1 101 107 12 Parimal P Siddhartha D 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王能超 易大义 常微分方程的数值解法 2001 23 袁新鼎 费景高 刘德贵 Numeric Initial Value Problems