高中数学第一章函数概念1.2.1函数及其表示课堂导学案.docx

1.2.1 函数及其表示课堂导学三点剖析一、函数的概念【例1】 下列对应是从集合M到集合N的函数的是（ ）A.M=R,N=R,f:xy= B.M=R,N=R+(正实数组成的集合)，f:xy=C.M=x|x0,N=R,f:xy2=xD.M=R,N=y|y0,f:xy=x2思路分析：本题主要考查函数的定义.解：A.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，故该对应不是从M到N的函数.B.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，该对应f:MN不是函数.C.对于M中的任一元素如x=4，通过对应法则f:xy2=x得到N中有两个元素2与之对应，故f:xy2=x不是从M到N的函数.答案：D温馨提示 判断一个对应法则是否构成函数，关键是看给出定义域内任一个值，通过给出的对应法则，y是否有且只有一个元素与之对应.【例2】 下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ） A.y=x-1,y= B.y=,y=C.y=2,y= D.y=1,y=x0解析：y=x-1与y=|x-1|的对应法则不同；y=的定义域为1,+)，y=的定义域为(1,+)，两函数的定义域不同；y=1的定义域为R，y=x0的定义域为(-,0)(0,+)，两函数定义域不同；y=2与y=是两相等的函数，所以图象相同.选C.答案：C温馨提示 1.定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要有一项不同，两个函数就不相等.由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，只要判断定义域与对应关系是否相同即可. 2.判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是求函数的定义域必须通过原函数解析式去求.二、求函数解析式、定义域【例3】如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果是，写出函数关系式，并求出定义域.思路分析：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义.该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数.若要用腰长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此只需用已知量(半径R)和腰长x把上底表示出来，即可写出周长与腰长的函数关系式.解：由题意可知，每一个腰长x都能对应唯一的周长值y，因此周长y是腰长x的函数. 如上图，AB=2R，C、D在O的半圆周上，设腰长AD=BC=x,作DEAE，垂足为E，连结BD，那么ADB是直角，由此RtADERtABD. AD2=AEAB,即AE=. CD=AB-2AE=2R-. 周长y满足关系式 y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R， 即周长y和腰长x间的函数关系式y=-+2x+4R. ABCD是圆内接梯形，AD0，AE0，CD0，即解不等式组，得函数y的定义域为x|0xR.温馨提示 该题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，利用函数概念的内涵，判断是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形.【例4】求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=+.思路分析：具体函数即有具体解析式的函数的定义域是求使解析式有意义的x取值集合，其求法通常是转化为求不等式组的解集，实际问题还要注意符合实际意义.解：要使函数解析式有意义，(1)0或2或x-2. 所以函数定义域为x|x2或x0,解得x0且x,即函数y=-(2+)x2+lx的定义域是0x.变式提升3如右图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2，BC=1，BAD=45,直线MNAD交AD于M，交折线ABCD位于N，记AM=x,试将梯形ABCD于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域，画出函数的图象.解：过B、C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH=，AG=，当M位于H左侧时，AM=x,MN=x. y=SAMN=xx=x2(0x). 当M位于H、G之间时， y=AHBH+HMMN =+（x-） =x-（x）.当M位于G、D之间时，y=S梯形ABCD-SMDN =（2+1）-（2-x）(2-x) =-x2+2x-(x2). 所求函数的关系式为 函数的图象如右图所示，函数的定义域为0，2，函数的值域为0，.类题演练4求下列函数的定义域：（1）y=;(2)y=+.解：（1）令 故函数的定义域为 x|x0且x-1. (2)令 故函数的定义域为 x|-x且x.变式提升4(1)若函数f(x)的定义域是0,1，则函数f(2x)+f(x+)的定义域为_.解析：此类函数没有具体的解析式，由f(x)的定义域已知,那么f(2x)中的2x与f(x+)中的x+处在自变量位置上就要满足f(x)的条件要求.f(x)的定义域是0,1，f(2x)+f(x+)中的x必须满足0x.因此所求函数定义域为0,.答案：0,(2)已知函数f(2x-1)的定义域为0,1），求f(1-3x)的定义域.解析：f(2x-1)的定义域为0,1，即0x1,-12x-11.f(x)的定义域为-1，1，即-11-3x1,0x.故函数f(1-3x)的定义域为（0，）.类题演练5已知f(x)=(xR且x-1),g(x)=x2+2(xR).(1)求f(2),g(2)的值;（2）求fg(2)的值；（3）求fg(x)的解析式.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6. (2)fg(2)=f(6)=. (3)fg(x)=f(x2+2)=.变式提升5(1)已知f(x)=求ff()=_.解析：fg()=f(1)=0.答案：0 (2)已知：f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若gf(x)=x2+x+1,求a的值.解析：gf(x)=g(2x+a) =(2x+a)2+3 =x2+ax+(a2+3)， 又gf(x)=x2+x+1， a=1.类题演练6已知函数y=x2+2.(1)求xx|x|2,xZ时的函数的值域;（2）x-1,2时的函数的值域.解析：（1）2，3，6. （2）由函数图象可得ymin=f(0)=2,ymax=f(2)=6. 所求值域为2，6.答案：（1）2，3，6 （2）2，6变式提升6求函数y=x2-4x+5在xm,6时的值域.解析：（1）当2m6时，其图象如右图所示, 由二次函数的性质可得 ymin=f(m)=m2-4m+5. ymax=f(6)