2—平面汇交力系与平面力偶系.ppt

第2章平面汇交力系与平面力偶系 2 1平面汇交力系合成与平衡的几何法 2 1 1平面汇交力系合成的几何法 力多边形法则 F1 F2 F3 F4 FR a b c d e a b c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边 定义 在力矢量起点和终点作轴的垂线 在轴上得一线段 给这线段加上适当的正负号 则称为力在轴上的投影 Fx Fcos 力在某轴的投影 等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦 1 力在轴上的投影 第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法 投影是代数量 一 平面汇交力系合成的解析法 2 力在直角坐标轴上的投影 Fx Fcos Fy Fcos Fsin Fx和Fy是力F在x y轴上的投影 力的解析式 力的大小与方向为 式中的 和 分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角 2 2平面汇交力系合成与平衡的解析法 2 2 1力在坐标轴上的投影 2 2 2力的正交分解与力的解析表达式 F Fx Fy x y i j O 3 合力投影定理 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和 FR F1 F2 Fn FFR Fxi Fyj Fi Fxii Fyij i 1 2 n Fxi Fyj Fxii Fyij Fxi i Fyi j合力的大小和方向余弦为 2 1 1平面汇交力系合成的几何法 力多边形法则 结论 平面汇交力系可简化为一合力 其合力的大小与方向等于各分力的矢量和 几何和 合力的作用线通过汇交点 用矢量式表示为 如果一力与某一力系等效 则此力称为该力系的合力 2 2 3合力投影定理 平面汇交力系的合力在某轴上的投影 等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和 2 2 4平面汇交力系合成的解析法 2 2 4平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零 上式称为平面汇交力系的平衡方程 求如图所示平面共点力系的合力 其中 F1 200N F2 300N F3 100N F4 250N 例题3 平面基本力系 例题 解 根据合力投影定理 得合力在轴x y上的投影分别为 合力的大小 合力与轴x y夹角的方向余弦为 所以 合力与轴x y的夹角分别为 例题3 平面基本力系 例题 合力的大小 合力的方向 例题3 平面基本力系 例题 或 二 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的合力等于零 推得 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是 各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零 在平衡的情形下 力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合 此时的力多边形称为封闭的力多边形 于是 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是 该力系的力多边形自行封闭 这是平衡的几何条件 2 1 2平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是 该力系的合力等于零 用矢量式表示为 如图所示 重物G 20kN 用钢丝绳挂在支架的滑轮B上 钢丝绳的另一端绕在铰车D上 杆AB与BC铰接 并以铰链A C与墙连接 如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小 试求平衡时杆AB和BC所受的力 平面基本力系 例题 列写平衡方程 解方程得杆AB和BC所受的力 解 取滑轮B为研究对象 忽略滑轮的大小 画受力图 平面基本力系 例题 杆AB和BC所受的力 平面基本力系 例题 约束力FBA为负值 说明该力实际指向与图上假定指向相反 即杆AB实际上受压力 解析法的符号法则 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时 表示原先假定的该力指向和实际指向相反 三 汇交力系解析法的解题步骤 1 选研究对象 2 画受力图 3 建立坐标系 4 列平衡方程 2个 5 求解未知量 2 3平面力对点之矩的概念及计算 MO F O h r F A B 2 3 1力对点之矩 力矩 力F与点O位于同一平面内 点O称为矩心 点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂 力对点之矩是一个代数量 它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积 它的正负可按下法确定 力使物体绕矩心逆时针转动时为正 反之为负 力矩的单位常用N m或kN m 2 3 2合力矩定理与力矩的解析表达式 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和 1 合力矩定理 2 力矩的解析表达式 合力矩定理 一个力可以分解为两个分力 合力对某一点的力矩等于分力对同一点力矩的代数和 例1 力F 20KN作用于OA杆的A点 方向如图所示 OA 2m 求力F对O点的力矩 解 方法一 将力F分解为两个正交分力Fx Fy 如图所示Fx Fcos60 10 KN Fy Fsin60 10 KN 根据合力矩定理MO F MO Fx MO Fy FxOAsin30 FyOAcos30 例1 已知F 1400N r 60mm a 20 求力Fn对O点的矩 MO F MO Fcos MO Fsin A B q x 水平梁AB受三角形分布的载荷作用 如图所示 载荷的最大集度为q 梁长l 试求合力作用线的位置 力对点之矩 例题 在梁上距A端为x的微段dx上 作用力的大小为q dx 其中q 为该处的载荷集度 由相似三角形关系可知 x A B q x dx h l F 因此分布载荷的合力大小 解 力对点之矩 例题 设合力F的作用线距A端的距离为h 根据合力矩定理 有 将q 和F的值代入上式 得 x A B q x dx h l F 例题 2 4平面力偶 由两个大小相等 方向相反且不共线的平行力组成的力系 称为力偶 记为 F F 力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂 力偶所在的平面称为力偶作用面 力偶不能合成为一个力 也不能用一个力来平衡 力和力偶是静力学的两个基本要素 2 4 1力偶与力偶矩 2 4 1力偶与力偶矩 力偶是由两个力组成的特殊力系 它的作用只改变物体的转动状态 力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量 平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定 1 力偶矩的大小 2 力偶在作用面内的转向 平面力偶可视为代数量 以M或M F F 表示 平面力偶矩是一个代数量 其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积 正负号表示力偶的转向 一般以逆时针转向为正 反之则为负 力偶的单位与力矩相同 二力作用线之间的垂直距离 力偶臂 力偶的作用面与力偶臂 二力所在平面 力偶作用面 力偶对刚体的作用效应取决于力偶三要素 Threeelementsofacouple 力偶作用面的方位力偶在作用面内的转向力偶矩的大小 力偶实例 在实践中 用手扳动螺母 用丝锥攻螺纹 拧水龙头等都有力偶的作用效果 2 4 2同平面内力偶的等效定理定理 定理 在同平面内的两个力偶 如果力偶矩相等 则两力偶彼此等效 推论 1 任一力偶可以在它的作用面内任意移转 而不改变它对刚体的作用 因此 力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关 2 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变 可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短 而不改变力偶对刚体的作用 2 4 2同平面内力偶的等效定理定理 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量 只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度 今后常用如图所示的符号表示力偶 M为力偶的矩 力偶的表示方法 特点二 力偶对刚体的运动效应只与力偶矩有关 力偶的特点 特点一 力偶无合力 特点三 力偶在任何轴上的投影为零 力偶矩矢量 力偶对O点之矩等于这个力系中的两个力对该点之矩之和 三 力偶系的合成与平衡 静力分析 1 力偶系的合成 平面力偶系合成结果还是一个力偶 其力偶矩为各力偶矩的代数和 力偶系不能与一个力等效 当一个力偶与一个力偶系等效时 称该力偶是这个力偶系的合力偶 合力偶矩的大小为 对平面力偶系 合力偶矩 由两个或两个以上的力偶组成的力系 称为力偶系 例1 平面力偶系中各力偶矩的大小为 m1 20N mm2 m3 m4 40N m求 合力偶矩的大小 解 合力偶矩的大小为 m m2 m1 m3 m4 40 20 40 40 60N m 逆时针 2 4 4平面力偶系的平衡条件 所谓力偶系的平衡 就是合力偶的矩等于零 因此 平面力偶系平衡的必要和充分条件是 所有各力偶矩的代数和等于零 即 静力分析 例2 图示结构 求A B处反力 解 1 取研究对象 整体 2 受力分析 特点 力偶系 3 平衡条件 mi P 2a YA l 0 思考 mi 0 P 2a RB cos l 0 思考题1 刚体上A B C D四点组成一个平行四边形 如在其四个顶点作用有四个力 此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形 如图所示 此刚体是否平衡 思考题2 从力偶理论知道 一力不能与力偶平衡 图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢 例3 在一钻床上水平放置工件 在工件上同时钻四个等直径的孔 每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A B端水平反力 解 各力偶的合力偶矩为 根据平面力偶系平衡方程有 由力偶只能与力偶平衡的性质 力NA与力NB组成一力偶 例4 图示结构 已知M 800N m 求A C两点的约束反力 例5 图示杆系 已知m l 求A B处约束力 解 1 研究对象二力杆 AD 2 研究对象 整体 思考 CB杆受力情况如何 m 练习 解 1 研究对象二力杆 BC 2 研究对象 整体 m AD杆 静力分析 思考题 1 m可否又BC上移至AC上 结构视为一体时 m可移动 若分开考虑 则m不能从一体移至另一体 2 既然一个力不能与力偶平衡 为什么下图的圆轮能平衡 静力分析 2 图示机构平衡时两力偶之间的关系 m1 杆BC 分析整体 答案 例6 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触 它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 转向如图 问M1与M2的比值为多大 结构才能平衡 解 取杆AB为研究对象画受力图 杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束 则A处约束反力的方位可定 RA RC Mi 0 RA RC R AC a aR M1 0 M1 aR 1 取杆CD为研究对象 因C点约束方位已定 则D点约束反力方位亦可确定 画受力图 RD RC RD RC R Mi 0 0 5aR M2 0 M2 0 5aR 2 联立 1 2 两式得 M1 M2 2 如图所示机