2017_18学年高中数学1.2导数的计算学案.docx

1.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P12P16的内容，回答下列问题已知函数：yf(x)c，yf(x)x，yf(x)x2，yf(x)，yf(x).(1)函数yf(x)c的导数是什么？提示：0， (2)函数的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)1，(x2)2x，() .(3)函数均可表示为yx(Q*)的形式，其导数有何规律？提示：(x)1x11，(x2)2x21，()x1，(x)x12归纳总结，核心必记(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)(2)导数运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；当g(x)c时，cf(x)cf(x)(g(x)0)问题思考(1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f(x)c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴(2)对于公式“若f(x)x(Q*)，则f(x)x1”，若把“Q*”改为“R”，公式是否仍然成立？提示：当R时，f(x)x1仍然成立(3)下面的计算过程正确吗？cos.提示：不正确因为sin是一个常数，而常数的导数为零，所以0(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)0，那么下列关系式成立吗？af(x)bg(x)af(x)bg(x)(a，b为常数)；.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确课前反思(1)基本初等函数的导数公式有哪些？；(2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？思考你能说出函数f(x)c与f(x)x、f(x)sin x与f(x)cos x、f(x)ax与f(x)ex、f(x)logax与f(x)ln x的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f(x)x中的可以由Q*推广到任意实数(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)ex是(ax)axln a的特例(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x)是(logax)的特例讲一讲1求下列函数的导数：(1)y10x；(2)ylg x；(3)ylogx；(4)y；(5)y1.尝试解答(1)y(10x)10xln 10.(2)y(lg x).(3)y(logx).(4)y()(x)x.(5)y1sin22sin cos cos21sin x，y(sin x)cos x.(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导练一练1求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)ylg 5；(4)y3lg；(5)y2cos21.解：(1)ylnex.(2)yln 10x ln 10.(3)ylg 5是常数函数，y(lg 5)0.(4)y3 lglg x，y(lg x).(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.讲一讲2(链接教材P15例2)求下列函数的导数：(1)yx3ex；(2)yxsin cos；(3)yx2log3x; (4)y.尝试解答(1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(2)yxsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(4)y.利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导练一练2求下列函数的导数：(1)y；(2)yxsin x；(3)y；(4)ylg x.解：(1)y.(2)y(xsin x)()sin xxcos x .(3)y2，y.(4)y(lg x).讲一讲3点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离思考点拨将直线yx向上平移，当直线与曲线yex相切时，该切点到直线yx的距离最小尝试解答如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0，1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点练一练3求过曲线ycos x上点P且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程解：ycos x，y(cos x)sin x，曲线在点P处的切线的斜率为kyxsin，过点P且与切线垂直的直线的斜率为，满足题意的直线方程为y，即xy0.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题2本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数，见讲1；(2)利用导数运算法则求导数，见讲2；(3)利用导数研究曲线的切线问题，见讲3.3本节课的易错点是导数公式(ax)axln a和(logax)以及运算法则f(x)g(x)与的区别课下能力提升(三)学业水平达标练题组1利用导数公式求函数的导数1给出下列结论：(cos x)sin x；cos ；若y，则y； .其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B因为(cos x)sin x，所以错误sin ，而0，所以错误.，所以错误.x，所以正确2已知f(x)x(Q*)，若f(1)，则等于()A. B. C. D.解析：选Df(x)x，f(x)x1.f(1).题组2利用导数的运算法则求导数3函数ysin xcos x的导数是()Aycos2xsin2x Bycos2xsin2xCy2cos xsin x Dycos xsin x解析：选By(sin xcos x)cos xcos xsin x(sin x)cos2xsin2x.4函数y的导数为_解析：y.答案：5已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析：f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案：36求下列函数的导数(1)ysin x2x2；(2)ycos xln x；(3)y.解：(1)y(sin x2x2)(sin x)(2x2)cos x4x.(2)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x.(3)y.题组3利用导数研究曲线的切线问题7曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为_解析：yexxex2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为ke0023，所以所求切线方程为y13x，即y3x1.答案：y3x18若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_解析：因为f(x)sin xxcos x，所以fsin cos 1.又直线ax2y10的斜率为，所以根据题意得11，解得a2.答案：29已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2，7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：110在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y3x210，所以3x102，解得x02.又点P在第一象限内，所以x02，又点P在曲线C上，所以y023102131，所以点P的坐标为(2，1)能力提升综合练1f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 017(x)()Asin x Bsin x Ccos x Dcos x解析：选C因为f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)cos x，所以循环周期为4，因此f2 017(x)f1(x)cos x.2已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2 C1 D.解析：选A因为y，所以根据导数的几何意义可知，解得x3(x2不合题意，舍去)3曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.解析：选By，把x代入得导数值为，即为所求切线的斜率4已知直线y3x1与曲线yax33相切，则a的值为()A1 B1 C1 D2解析：选A设切点为(x0，y0)，则y03x01，且y0ax3，所以3x01ax3.对yax33求导得y3ax2，则3ax3，ax1，由可得x01，所以a1.5已知函数f(x)fcos xsin x，则f_解析：f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin x.f1.答案：16设f(x)x(x1)(x2)(xn)，则f(0)_解析：令g(x)(x1)(x2)(xn)，则f(x)xg(x)，求导得f(x)xg(x)xg(x)g(x)xg(x)，所以f(0)g(0)0g(0)g(0)123n.答案：123n7已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_解析：法一：yxln x，y1，yx12.曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，yxx02ax0(a2)由解得答案：88设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解：因为f(x)x3ax2bx1，所以f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，又f(1)2a，32ab2a，解得b3，令x2得f(2)124ab，又f(2)b，所以124abb，解得a.则f(x)x3x23x1，从而f(1).又f(1)23，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.9已知两条直线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解：不存在由于ysin x，ycos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率分别为k1yxx0cos x0，k2yxx0sin x0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x0(sin x0)1，即sin x0cos x01，也就是sin 2x02，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.第2课时复合函数求导及应用核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P16“思考”P17的内容，回答下列问题函数yln(x2)与函数yln u和ux2之间有什么关系？提示：yln(x2)是由函数yln u和ux2复合而成的复合函数2归纳总结，核心必记(1)复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积问题思考(1)函数ylog2(x23x5)是由哪些函数复合而成的？提示：ylog2(x23x5)是由ylog2u，ux23x5复合而成(2)函数yln (2x1)的导函数是什么？提示：yln (2x1)是由函数yln u和u2x1复合而成的，yxyuux(2x1).课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)复合函数的概念是什么？ ； (2)复合函数的求导公式是什么？讲一讲1(链接教材P17例4)求下列函数的导数(1)y；(2)yesin x；(3)ysin；(4)y5log2(2x1)尝试解答(1)设yu，u12x2，则y(12x2)(4x)(12x2)(4x) .(2)设yeu，usin x，则yxyuuxeucos xesin xcos x.(3)设ysin u，u2x，则yxyuuxcos u22cos.(4)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).复合函数求导的步骤练一练1求下列函数的导数(1)f(x)(2x1)2；(2)f(x)ln (4x1)；(3)f(x)23x2；(4)f(x)；(5)f(x)sin；(6)f(x)cos2x.解：(1)设yu2，u2x1，则yyuux2u(2)4(2x1)8x4.(2)设yln u，u4x1，则yyuux4.(3)设y2u，u3x2，则yyuux2uln 233ln 223x2.(4)设y，u5x4，则yyuux5 .(5)设ysin u，u3x，则yyuuxcos u33cos.(6)法一：设yu2，ucos x，则yyuux2u(sin x)2cos xsin xsin 2x；法二：f(x)cos2xcos 2x，所以f(x)0(sin 2x)2sin 2x.讲一讲2求下列函数的导数(1)yx；(2)yxcossin.尝试解答(1)y(x)xx() .(2)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x. 复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数如讲2(2)，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导练一练2求下列函数的导数(1)ysin2；(2)ysin3xsin x3；(3)y；(4)yxln(1x)解：(1)y2sin 2sin cos sin.(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcosxcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(3)y .(4)yxln(1x)xln(1x).讲一讲3. 设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值思路点拨当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点尝试解答由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键练一练3曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D1解析：选A依题意得ye2x(2)2e2x，yx02e202.曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y 22x，即y2x2.在坐标系中作出直线y2x2、y0与yx的图象，因为直线y2x2与yx的交点坐标是，直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于1.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见讲1和讲2.3求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁课下能力提升(四)学业水平达标练题组1简单复合函数求导问题1设函数f(x)(12x3)10，则f(1)等于()A0 B60 C1 D60解析：选Bf(x)10(12x3)9(6x2)，f(1)60.2函数f(x)3xcos 2xa2的导数为()A3x2sin 2x2a B3xln 3sin 2xC3x2sin 2x D3xln 32sin 2x解析：选Df(x)(3x)(cos 2x)(a2)3xln 32sin 2x03xln 32sin 2x.3求下列函数的导数(1)yln(exx2)；(2)y102x3；(3)ysin4xcos4x.解：(1)令uexx2，则yln u.yxyuux(exx2)(ex2x).(2)令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2102x3ln 10.(3)ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x1(1cos 4x)cos 4x.所以ysin 4x.题组2复合函数与导数运算法则的综合应用4函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x解析：选By(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.5函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.解析：选Byxln(2x5)xln(2x5)xln(2x5)ln(2x5)x(2x5)ln(2x5).6函数ysin 2xcos 3x的导数是_解析：ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.答案：2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x7已知f(x)exsin x，求f(x)及f.解：f(x)exsin x，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x)fee.题组3复合函数导数的综合问题8曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A. B2 C3 D0解析：选A设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y，yxx02，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线2xy30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.9放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(