导数及其应用——三年高考试题收集整理.doc

1 第 3 章 导数及其应用 20102010 年高考题年高考题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 10 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 则a A 64 B 32 C 16 D 8 答案 A 命题意图 本试题主要考查求导法则 导数的几何意义 切线的求法和三角形的面积公式 考查考生 的计算能力 解析 33 22 11 22 yxka 切线方程是 13 22 1 2 yaaxa 令0 x 1 2 3 2 ya 令 0y 3xa 三角形的面积是 1 2 13 318 22 saa 解得64a 故选 A 2 2 20102010 辽宁文 辽宁文 12 已知点P在曲线 4 1 x y e 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的取 值范围是 A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 答案 D 解析 选 D 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 1 2 10 x x ey e 即1tan0 3 4 3 3 20102010 辽宁理 辽宁理 1O 已知点 P 在曲线 y 4 1 x e 上 a为曲线在点 P 处的切线的倾斜角 则a的取值 范围是 A 0 4 B 4 2 3 24 D 3 4 答案 D 命题立意 本题考查了导数的几何意义 求导运算以及三角函数的知识 解析 因为 2 44 1 1 2 x xxx e y eee 即 tan a 1 所以 3 4 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 7 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b处的切线方程是10 xy 则 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 解析解析 A A 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切线在切线 10 xy 1b 2 5 5 20102010 江西理 江西理 12 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水面 记 t 时刻五角 星露出水面部分的图形面积为 00S tS 则导函数 yS t 的图像大致为 答案 A 解析 本题考查函数图像 导数图 导数的实际意义等知识 重点考查的是对数学的探究能力和应用 能力 最初零时刻和最后终点时刻没有变化 导数取零 排除 C 总面积一直保持增加 没有负的改变量 排除 B 考察 A D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑 考虑到导数的意义 判断此时面积改变为突变 产生中断 选择 A 6 6 20102010 江苏卷 江苏卷 14 将边长为 1m 正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记 2 S 梯形的周长 梯形的面积 则 S 的最小值是 解析 考查函数中的建模应用 等价转化思想 一题多解 设设剪成的小正小正三角形的边长为x 则 22 2 3 4 3 01 1133 1 1 22 xx Sx x xx 方法一 利用导数求函数最小值 方法一 利用导数求函数最小值 2 2 4 3 13 x S x x 22 22 4 26 1 3 2 1 3 xxxx S x x 22 2222 4 26 1 3 2 42 31 3 1 1 33 xxxxxx xx 1 0 01 3 S xxx 当 1 0 3 x 时 0 S x 递减 当 1 1 3 x 时 0 S x 递增 故当 1 3 x 时 S 的最小值是 32 3 3 方法二 利用函数的方法求最小值 方法二 利用函数的方法求最小值 令令 11 1 3 2 3 3 2 xt t t 则 则 2 2 2 441 86 6833 1 t S tt tt 故当 131 83 x t 时 S 的最小值是 32 3 3 7 7 20102010 湖南文 湖南文 21 本小题满分 13 分 已知函数 1 ln15 a f xxaxa x 其中 a 0 且 a 1200208 3 讨论函数 f x的单调性 设函数 332 23646 1 1 x xaxaxaa ex e fx x g x e 是自然数的底数 是否 存在 a 使 g x在 a a 上为减函数 若存在 求 a 的取值范围 若不存在 请说明理由 4 8 8 20102010 浙江理 浙江理 22 本题满分 14 分 已知a是给定的实常数 设函数 22 f xxaxb e bR xa 是 f x的一个极大值点 求b的取值范围 设 123 x x x是 f x的 3 个极值点 问是否存在实数b 可找到 4 xR 使得 1234 x x x x的某 种排列 1234 iiii xxxx 其中 1234 i i i i 1 2 3 4 依次成等差数列 若存在 求所有的b及相应的 4 x 若 不存在 说明理由 解析 本题主要考查函数极值的概念 导数运算法则 导数应用及等差数列等基础知识 同时考查推理 论证能力 分类讨论等综合解题能力和创新意识 解 f x ex x a 2 3 2 xab xbaba 令 2 22 3 2 3 a b 4 2 1 80 g xxab xbaba babaab 则 于是 假设 1212 0 x xg xxx 是的两个实根 且 1 当 x1 a 或 x2 a 时 则 x a 不是 f x 的极值点 此时不合题意 2 当 x1 a 且 x2 a 时 由于 x a 是 f x 的极大值点 故 x1 a0 由已知得 x alnx 1 2 x a x 解德 a 2 e x e2 两条曲线交点的坐标为 e2 e 切线的斜率为 k f e2 1 2e 切线的方程为 y e 1 2e x e2 2 由条件知 当 a 0 时 令h x 0 解得 x 2 4a 所以当 0 x 2 4a时 h x 2 4a时 h x 0 h x 在 0 2 4a 上递增 8 所以x 2 4a是h x 在 0 上的唯一极致点 且是极小值点 从而也是h x 的最小值点 所以 a h 2 4a 2a aln 2 4a 2 当 a 0 时 h x 1 2 2a 2x 0 h x 在 0 递增 无最小值 故 h x 的最小值 a 的解析式为 2a 1 ln2a a o 3 由 2 知 a 2a 1 ln2a 则 1 a 2ln2a 令 1 a 0 解得 a 1 2 当 0 a0 所以 a 在 0 1 2 上递增 当 a 1 2 时 1 a 0 为单调递增区间 最大值在右端点取到 max 1 1 2 ffa 15 15 20102010 安徽文 安徽文 20 本小题满分 12 分 设函数 sincos1f xxxx 0 2 x 求函数 f x的单调区间与极值 命题意图 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值的方法 考查综合应用数学知识 解决问题的能力 解题指导 1 对函数 sincos1f xxxx 求导 对导函数用辅助角公式变形 利用导数等于 0 得极值点 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负 判断区间的单调性 求极值 11 12 4 23 0 422 xx xxxx xx 解 由f x si nx cosx x 1 0 x 2 知fsi n 令f 从面si n 得 或 当变化时 f f x 变化情况如下表 3 2 2 333 2 222 因此 由上表知f x 的单调递增区间是 0 与 单调递增区间是 极小值为f 极大值为f 思维总结 对于函数解答题 一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值 利用导数为 0 得可能的 极值点 通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性 进而得出极值点 16 16 20102010 重庆文 重庆文 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知函数 32 f xaxxbx 其中常数 a b R g xf xfx 是奇函数 求 f x的表达式 讨论 g x的单调性 并求 g x在区间 1 2 上的最大值和最小值 17 17 20102010 浙江文 浙江文 21 本题满分 15 分 已知函 数 2 f xxa a b a bR a 0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析 本小题主要考查曲线的切线方程 利用导数研究函数的单调性与极值 解不等式等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 当 a 1 时 f x 32 3 xx1 2 f 2 3 f x 2 33xx f 2 6 所以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 解 f x 2 333 1 axxx ax 令 f x 0 解得 x 0 或 x 1 a 以下分两种情况讨论 1 若 11 0a2 a2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 16 X 1 0 2 0 1 2 0 f x 0 f x A 极大值A 当 1 1 xfx 2 2 时 0等价于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 11 0 a2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值A极小值A 当 1 1 x 2 2 时 f x 0 等价于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a1 时 2x 2 0 从而 2x 2 e10 0 F x e 又所以 x 0 从而函数 F x 在 1 是增函数 又 F 1 1 1 ee0 所以x 1时 有F x F 1 0 即 f x g x 证明 1 若 121212 1 1 0 1 xxxxxx 12 由 及f xf x则与矛盾 2 若 121212 1 1 0 xxxxxx 12 由 及f xf x得与矛盾 根据 1 2 得 1212 1 1 0 1 1 xxxx 不妨设 由 可知 2 f x 2 g x 则 2 g x 2 f 2 x 所以 2 f x 2 f 2 x 从而 1 f x 2 f 2 x 因 为 2 1x 所以 2 21x 又由 可知函数 f x 在区间 1 内事增函数 所以 1 x 2 2x 即 12 xx 2 23 23 20102010 福建文 福建文 22 本小题满分 14 分 已知函数 f x 32 1 3 xxaxb 的图像在点 P 0 f 0 处的切线方程为 y 3x 2 求实数 a b 的值 设 g x f x 1 m x 是 2 上的增函数 i 求实数 m 的最大值 ii 当 m 取最大值时 是否存在点 Q 使得过点 Q 的直线若能与曲线 y g x 围成两个封闭图形 则这 两个封闭图形的面积总相等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 19 20 24 24 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 20 本小题满分 12 分 已知函数 1 ln1f xxxx 若 2 1xfxxax 求a的取值范围 证明 1 0 xf x 25 25 20102010 湖北文 湖北文 21 本小题满分 14 分 设函数 32 1a xxbxc 32 f x 其中 a 0 曲线xyf 在点 P 0 0f 处的切线方程 为 y 1 确定 b c 的值 设曲线xyf 在点 11 xxf 及 22 xxf 处的切线都过点 0 2 证明 当 12 xx 时 12 fxfx 若过点 0 2 可作曲线xyf 的三条不同切线 求 a 的取值范围 21 26 26 20102010 湖南理 湖南理 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 f xxbxc b cR 对任意的xR 恒有 fx f x 证明 当0 x 时 2 f xxc 若对满足题设条件的任意 b c 不等式 22 f cf bM cb 恒成立 求 M 的最小值 解析 解析 22 27 27 20102010 福建理 福建理 20 本小题满分 14 分 已知函数 3 x x xf 其图象记为曲线C i 求函数 x f的单调区间 ii 证明 若对于任意非零实数 1 x 曲线 C 与其在点 111 P x f x 处的切线交于另一点 222 P x f x 曲线 C 与其在点 222 P x f x 处的切线交于另一点 333 P x f x 线段 1 122312 2 PP P P S S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值 对于一般的三次函数 32 g x ax bx cx d a0 请给出类似于 ii 的正确命题 并予 以证明 命题意图 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括能力 运算求解能力 推 理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 特殊与一般思想 解析 i 由 3 x x xf得 2 x 3x 1f 33 3 x x 33 23 当 3 x 3 和 3 3 时 x 0 f 当 3 x 3 3 3 时 x 0 使得 1 2 axxxhxf 则称函数 xf具有性质 aP 1 设函数 xf 2 ln 1 1 b xx x 其中b为实数 i 求证 函数 xf具有性质 bP ii 求函数 xf的单调区间 2 已知函数 xg具有性质 2 P 给定 1212 1 x xxx 设m为实数 21 1 xmmx 21 1 mxxm 且1 1 若 gg 0 所以对任意的 1 x都有 0g x g x在 1 上递增 又 1212 21 xxmxx 当 1 1 2 mm 时 且 112212 1 1 1 1 xmxm xxm xmx 27 综合以上讨论 得 所求m的取值范围是 0 1 方法二 由题设知 g x的导函数 2 21 g xh x xx 其中函数 0h x 对于任意的 1 x都成立 所以 当1x 时 2 1 0g xh x x 从而 g x在区间 1 上单调递增 当 0 1 m 时 有 12111 1 1 mxm xmxm xx 12222 1 1 mxm xmxm xx 得 12 x x 同理可得 12 x x 所以由 g x的单 调性知 g g 12 g xg x 从而有 gg 1 讨论 f x 的单调性 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析解析 本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第一问关键是通过本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第一问关键是通过 分析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函数的最值 由恒成立条件得出不等式条分析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函数的最值 由恒成立条件得出不等式条 件从而求出的范围 件从而求出的范围 解析 I 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由1 a知 当2 x时 0 x f 故 xf在区间 2 是增函数 当ax22 时 0 x f 故 xf在区间 2 2 a是减函数 当ax2 时 0 x f 故 xf在区间 2 a是增函数 综上 当1 a时 xf在区间 2 和 2 a是增函数 在区间 2 2 a是减函数 II 由 I 知 当0 x时 xf在ax2 或0 x处取得最小值 37 aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假设知 0 0 0 2 1 f af a 即 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 解得 1 a 6 故a的取值范围是 1 6 23 2009 广东卷 理 本小题满分 14 分 已知二次函数 yg x 的导函数的图像与直线2yx 平行 且 yg x 在1x 处取得极小值 1 0 mm 设 g x f x x 1 若曲线 yf x 上的点P到点 0 2 Q的距离的最小值为2 求m的值 2 k kR 如何取值时 函数 yf xkx 存在零点 并求出零点 解析 1 依题可设1 1 2 mxaxg 0 a 则aaxxaxg22 1 2 又 gx 的图像与直线2yx 平行 22a 1a mxxmxxg 21 1 22 2 g xm f xx xx 设 oo P x y 则 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 当且仅当 2 0 2 2 0 2 x m x 时 2 PQ取得最小值 即 PQ取得最小值2 当0 m时 2 222 m 解得12 m 当0 m时 2 222 m 解得12 m 2 由 120 m yf xkxk x x 0 x 得 2 120k xxm 当1k 时 方程 有一解 2 m x 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 38 当1k 时 方程 有二解 4410mk 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 当1k 时 方程 有一解 4410mk 1 1k m 函数 yf xkx 有一零点m k x 1 1 综上 当1k 时 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 当 1 1k m 0m 或 1 1k m 0m 时 函数 yf xkx 有两个零点 1 1 11 k km x 当 1 1k m 时 函数 yf xkx 有一零点m k x 1 1 24 2009 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 2 2ln 0 f xxaxa x 讨论 f x的单调性 本小题主要考查函数的定义域 利用导数等知识研究函数的单调性 考查分类讨论的思想方法和运算 求解的能力 本小题满分 12 分 解析 f x的定义域是 0 2 22 22 1 axax fx xxx 设 2 2g xxax 二次方程 0g x 的判别式 2 8a 当 2 80a 即02 2a 时 对一切0 x 都有 0fx 此时 f x在 0 上是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 仅对2x 有 0fx 对其余的0 x 都有 0fx 此时 f x在 0 上也是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 39 方程 0g x 有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx x 1 0 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 单调递增A 极大 单调递减A 极小单调递增 此时 f x在 2 8 0 2 aa 上单调递增 在 22 88 22 aaaa 是上单调递减 在 2 8 2 aa 上单调递增 25 2009 安徽卷文 本小题满分 14 分 已知函数 a 0 讨论的单调性 设 a 3 求在区间 1 上值域 期中 e 2 71828 是自然对数的底数 思路 由求导可判断得单调性 同时要注意对参数的讨论 即不能漏掉 也不能重复 第二问就根据 第一问中所涉及到的单调性来求函数 f x在 2 1 e 上的值域 解析 1 由于 2 2 1 a f x xx 令 2 1 21 0 tytatt x 得 当 2 80a 即02 2a 时 0f x 恒成立 f x 在 0 及 0 上都是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 由 2 210tat 得 2 8 4 aa t 或 2 8 4 aa t 2 8 0 4 aa x 或0 x 或 2 8 4 aa x 又由 2 20tat 得 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综上 当02 2a 时 f x在 0 0 及上都是增函数 40 当2 2a 时 f x在 22 88 22 aaaa 上是减函数 在 22 88 0 0 22 aaaa 及上都是增函数 2 当3a 时 由 1 知 f x在 1 2上是减函数 在 2 2 e 上是增函数 又 1 0 2 23 20ffln 22 2 2 50f ee e 函数 f x在 2 1 e 上的值域为 2 2 2 23 n2 5le e 26 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 设函数 32 9 6 2 f xxxxa 1 对于任意实数x fxm 恒成立 求m的最大值 2 若方程 0f x 有且仅有一个实根 求a的取值范围 解析 1 2 3963 1 2 fxxxxx 因为 x fxm 即 2 39 6 0 xxm 恒成立 所以 81 12 6 0m 得 3 4 m 即m的最大值为 3 4 2 因为 当1x 时 0fx 当12x 时 0fx 当2x 时 0fx 所以 当1x 时 f x取极大值 5 1 2 fa 当2x 时 f x取极小值 2 2fa 故当 2 0f 或 1 0f 时 方程 0f x 仅有一个实根 解得 2a 或 5 2 a 27 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 设函数 x e f x x 1 求函数 f x的单调区间 1 若0k 求不等式 1 0fxkx f x 的解集 解析 1 22 111 xxx x fxeee xxx 由 0fx 得 1x 41 因为 当0 x 时 0fx 当01x 时 0fx 当1x 时 0fx 所以 f x的单调增区间是 1 单调减区间是 0 0 1 2 由 2 2 1 1 x xkxkx fxkx f xe x 2 1 1 0 x xkx e x 得 1 1 0 xkx 故 当 01k 时 解集是 1 1 xx k 当 1k 时 解集是 当 1k 时 解集是 1 1 xx k 28 2009 天津卷文 本小题满分 12 分 设函数0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 当时 1 m曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率 求函数的单调区间与极值 已知函数 xf有三个互不相同的零点 0 21 x x 且 21 xx 若对任意的 21 xxx 1 fxf 恒成立 求 m 的取值范围 答案 1 1 2 xf在 1 m 和 1 m内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf在mx 1处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf在mx 1处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 解析 解析 当1 1 2 3 1 1 2 23 fxxxfxxxfm故时 所以曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率为 1 2 解析 12 22 mxxxf 令0 xf 得到mxmx 1 1 因为mmm 11 0 所以 当 x 变化时 xfxf的变化情况如下表 x 1 m m 1 1 1 mm m 1 1 m xf 0 0 xf极小值极大值 42 xf在 1 m 和 1 m内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf在mx 1处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf在mx 1处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解析 由题设 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程1 3 1 22 mxx 0 由两个相异的实根 21 x x 故3 21 xx 且0 1 3 4 1 2 m 解得 2 1 2 1 mm 舍 因为1 2 3 32 221221 xxxxxx故所以 若0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx则 而0 1 xf 不合题意 若 1 21 xx 则对任意的 21 xxx 有 0 0 21 xxxx 则0 3 1 21 xxxxxxf又0 1 xf 所以函数 xf在 21 xxx 的最小值为 0 于 是对任意的 21 xxx 1 fxf 恒成立的充要条件是0 3 1 1 2 mf 解得 3 3 3 3 m 综上 m 的取值范围是 3 3 2 1 考点定位 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 以及函数与方程的根的关系解不等式 等基础知识 考查综合分析问题和解决问题的能力 30 2009 湖北卷理 本小题满分 14 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 在 R 上定义运算 1 4 3 pqpcqbbc b c 为实常数 记 2 1 2fc 2 2fb R 令 2 1 fff 如果函数 f 在1 处有极什 4 3 试确定 b c 的值 求曲线 yf 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点 记 11g xfxx 的最大值为M 若Mk 对任意的 b c 恒成立 试示k的最大 值 解 当1 byfx 时 函数得对称轴 x b 位于区间 1 1 之外 此时max 1 1 Mggg b 43 由 2 1 1 4 1 1 0ffbf bfb m有 若10 max 1 bgg b 则f 1 f 1 f b g 1 于是 2 111 max 1 1 1 1 222 Mff bff bff bb 若01b 则 f 1 f 1 f b max 1 gg b g 1 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mff bff bff bb 综上 对任意的 b c 都有 1 2 M 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的最大值 1 2 M 故MK 对任意的 b c 恒成立的 k 的最大值为 1 2 31 2009 四川卷文 本小题满分 12 分 已知函数 32 22f xxbxcx 的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx I 求函数 f x的解析式 II 设函数 1 3 g xf xmx 若 g x的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 g x取得极值 时对应的自变量x的值 解析解析 I 由已知 切点为 2 0 故有 2 0f 即430bc 又 2 34fxxbxc 由已知 2 1285fbc 得870bc 联立 解得1 1bc 所以函数的解析式为 32 22f xxxx 4 分 II 因为 32 1 22 3 g xxxxmx 令 2 1 3410 3 g xxxm 当函数有极值时 则0 方程 2 1 3410 3 xxm 有实数解 由4 1 0m 得1m 当1m 时 0g x 有实数 2 3 x 在 2 3 x 左右两侧均有 0g x 故函数 g x无极值 当1m 时 0g x 有两个实数根 44 12 11 21 21 33 xmxm g x g x 情况如下表 x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x g x 0 0 g x 极大值 极小值 所以在 1 m时 函数 g x有极值 当 1 21 3 xm时 g x有极大值 当 1 21 3 xm时 g x有极小值 12 分 32 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 设函数 2 1f xxaInx 有两个极值点 12 xx 且 12 xx I 求a的取值范围 并讨论 f x的单调性 II 证明 2 1 22 4 In f x 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 2 22g xxxa 其对称轴为 1 2 x 由题意知 12 xx 是方程 0g x 的两个均大于1 的不 相等的实根 其充要条件为 480 1 0 a ga 得 1 0 2 a 当 1 1 xx 时 0 fxf x 在 1 1 x 内为增函数 当 12 xx x 时 0 fxf x 在 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0 fxf x 在 2 x 内为增函数 II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 2 22 2 axx 2 222 2222222 1 2 1f xxalnxxxx lnx 2 设 22 1 22 1 2 h xxxx lnxx 则 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 当 1 0 2 x 时 0 h xh x 在 1 0 2 单调递增 当 0 x 时 0h x h x在 0 单调递减 45 111 2ln2 0 224 xh xh 当时 故 22 1 22 4 In f xh x 33 2009 湖南卷文 本小题满分 13 分 已知函数 32 f xxbxcx 的导函数的图象关于直线 x 2 对称 求 b 的值 若 f x在xt 处取得最小值 记此极小值为 g t 求 g t的定义域和值域 解 2 32fxxbxc 因为函数 fx 的图象关于直线 x 2 对称 所以 2 2 6 b 于是6 b 由 知 32 6f xxxcx 22 3123 2 12fxxxcxc 当 c 12 时 0fx 此时 f x无极值 ii 当 c 12 时 0fx 有两个互异实根 1 x 2 x 不妨设 1 x 2 x 则 1 x 2 2 x 当 x 1 x时 0fx f x在区间 1 x 内为增函数 当 1 x x 2 x时 0fx f x在区间 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0fx f x在区间 2 x 内为增函数 所以 f x在 1 xx 处取极大值 在 2 xx 处取极小值 因此 当且仅当12c 时 函数 f x在 2 xx 处存在唯一极小值 所以 2 2tx 于是 g t的定义域为 2 由 2 3120f tttc 得 2 312ctt 于是 3232 626 2 g tf tttctttt 当2t 时 2 6126 2 0 g ttttt 所以函数 g t 在区间 2 内是减函数 故 g t的值域为 8 35 2009 福建卷理 本小题满分 14 分 已知函数 32 1 3 f xxaxbx 且 1 0f 1 试用含a的代数式表示 b 并求 f x的单调区间 2 令1a 设函数 f x在 1212 x x xx 处取得极值 记点 M 1 x 1 f x N 2 x 2 f x P m f m 12 xmx 请仔细观察曲线 f x在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势 46 并解释以下问题 I 若对任意的 m 1 x x2 线段 MP 与曲线 f x 均有异于 M P 的公共点 试确定 t 的最小值 并证明 你的结论 II 若存在点 Q n f n x n1 时 121a 当 x 变化时 fx与 f x的变化情况如下表 x 1 2 a 1 2 1 a 1 fx f x单调递增单调递减单调递增 由此得 函数 f x的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当1a 时 1 21a 此时有 0fx 恒成立 且仅在1x 处 0fx 故函数 f x的单调 增区间为 R 当1a 时 1 21a 同理可得 函数 f x的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间 为 1 1 2 a 综上 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 R 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2 a 由1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230f xxx 得 12 1 3xx 由 1 得 f x增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数 f x在处 12 1 3xx 取得极值 故 M 5 1 3 N 3 9 47 观察 f x的图象 有如下现象 当 m 从 1 不含 1 变化到 3 时 线段 MP 的斜率与曲线 f x在点 P 处切线的斜率 f x之差 Kmp fm的值由正连续变为负 线段 MP 与曲线是否有异于 H P 的公共点与 Kmp fm的 m 正负有着密切的关联 Kmp fm 0 对应的位置可能是临界点 故推测 满足 Kmp fm的 m 就是所求的 t 最小值 下面给出证明并确定的 t 最小值 曲线 f x在点 P m f m处的切线斜率 2 23fmmm 线段 MP 的斜率 Kmp 2 45 3 mm 当 Kmp fm 0 时 解得12mm 或 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx 令 22 454 33 mmmm g xf xx 当2m 时 2 2g xxx 在 1 2 上只有一个零点0 x 可判断 f x函数在 1 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 又 1 2 0gg 所以 g x在 1 2 上没有零点 即线段 MP 与曲线 f x没有异于 M P 的公共点 当 2 3m 时 2 4 0 0 3 mm g 2 2 2 0gm 所以存在 0 2m 使得 0g 即当 2 3 m 时MP 与曲线 f x有异于 M P 的公共点 综上 t 的最小值为 2 2 类似 1 于中的观察 可得 m 的取值范围为 1 3 解法二 1 同解法一 2 由1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230fxxx 得 12 1 3xx 由 1 得的 f x单调增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数在处取得极值 48 故 M 5 1 3 N 3 9 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3 44 40 xxmmxmm 线段 MP 与曲线 f x有异于 M P 的公共点等价于上述方程在 1 m 上有根 即函数 3222 3 44 4g xxxmmxmm 在 1 m 上有零点 因为函数 g x为三次函数 所以 g x至多有三个零点 两个极值点 又 1 0gg m 因此 g x在 1 m 上有零点等价于 g x在 1 m 内恰有一个极大值点和一个极小值 点 即 22 36 44 0 1 g xxxmmm 在内有两不相等的实数根 等价于 2 22 22 3612440 3 1 6 44 0 36 44 0 1 mm mm mmmm m 即 15 21 25 1 m mmm m 或解得 又因为13m 所以 m 的取值范围为 2 3 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2 36 2009 辽宁卷文 本小题满分 12 分 设 2 1 x f xe axx 且曲线 y f x 在 x 1 处的切线与 x 轴平行 2 求 a 的值 并讨论 f x 的单调性 1 证明 当 0 f cos f sin 2 2 时 解析 2 121 x fxe axxax 有条件知 1 0f 故3201aaa 2 分 于是 2 2 2 1 xx fxexxexx 故当 2 1 x 时 fx 0 当 2 1 x 时 fx 0 从而 f x在 2 1 单调减少 在 2 1 单调增加 6 分 由 知 f x在 0 1 单调增加 故 f x在 0 1 的最大值为 1 fe 49 最小值为 0 1f 从而对任意 1 x 2 x 0 1 有 12 12f xf xe 10 分 而当 0 2 时 cos sin 0 1 从而 cos sin 2ff 12 分 37 2009 辽宁卷理 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2 1 x 2 ax a 1 ln x 1a 1 讨论函数 f x的单调性 2 证明 若5a 则对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 12 12 1 f xf x xx 解析 1 f x的定义域为 0 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx 2 分 i 若11a 即2a 则 2 1 x fx x 故 f x在 0 单调增加 ii 若1 1a 而1a 故12a 则当 1 1 xa 时 0fx 当 0 1 xa 及 1 x 时 0fx 故 f x在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 iii 若11a 即2a 同理可得 f x在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 II 考虑函数 g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于 1 a1 证明对任意的 c 都有 M 2 若 M K 对任意的 b c 恒成立 试求 k 的最大值 本小题主要考察函数 函数的导数和不等式等基础知识 考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想 满分 14 分 I 解析 2 2fxxbxc 由 f x在1x 处有极值 4 3 可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得 1 1 b c 或 1 3 b c 若1 1bc 则 22 21 1 0fxxxx 此时 f x没有极值 若1 3bc 则 2 23 1 1 fxxxxx 当x变化时 f x fx的变化情况如下表 54 x 3 3 3 1 1 1 fx 0 0 f x A 极小值12 A极大值 4 3 A 当1x 时 f x有极大值 4 3 故1b 3c 即为所求 证法 1 22 g xfxxbbc 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 2 1 1 12 1 2 4 4 Mggbcbcb 即2M 证法 2 反证法 因为 1b 所以函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 假设2M 则 1 1 2 2 1 12 2 gbc gbc 将上述两式相加得 4 1 2 12 4 4bcbcb 导致矛盾 2M 解法 1 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 由 1 1 4 ffb 有 2 1 1 0fbfb 若10 b 则 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 55 若01b 则 1 1 fffb 1 max 1 ggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 综上 对任意的b c都有 1 2 M 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的最大值 1 2 M 故Mk 对任意的b c恒成立的k的最大值为 1 2 解法 2 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 2 4 1 1 2 1 2 12 2 Mggg hbcbcbc 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 即 1 2 M 下同解法 1 43 2009 宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3223 39f xxaxa xa 1 设1a 求函数 f x的极值 2 若 1 4 a 且当 1 4xa 时 xf 12a 恒成立 试确定a的取值范围 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 21 解析 当 a 1 时 对函数 f x求导数 得 2 369 fxxx 令 12 0 1 3 fxxx 解得 列表讨论 f xfx的变化情况 x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 56 f x A 极大值 6 A 极小值 26 A 所以 f x的极大值是 1 6f 极小值是 3 26 f 22 369fxxaxa 的图像是一条开口向上的抛物线 关于 x a 对称 若 1 1 4 afx 则在 1 4a 上是增函数 从而 fx 在 1 4a 上的最小值是 2 1 369 faa 最大值是 2 4 15 faa 由 22 12 1236912 fxaaxaxaa 得于是有 2 2 1 36912 4 1512 faaafaaa 且 由 14 1 121 4 120 35 faafaaa 得由得 所以 1141 4 1 1 0 4354 5 aa 即 若 a 1 则 2 1212 1 4 12faaaxafxa 故当时不恒成立 所以使 12 1 4 fxa xa 恒成立的 a 的取值范围是 1 4 4 5 44 2009 天津卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 22 23 x f xxaxaa exR 其中aR 1 当0a 时 求曲线 1 1 yf xf 在点处的切线的斜率 2 当 2 3 a 时 求函数 f x的单调区间与极值 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识 考查 运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 I 解析 3 1 2 0 22 efexxxfexxfa xx 故 时 当 3 1 1 efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 II 42 2 22x eaaxaxxf 解 2 2 3 2 2 20 aaaaxaxxf知 由 或 解得令 以下分两种情况讨论 1 a若 3 2 则a2 2 a 当x变化时 xfxf 的变化情况如下表 x a2 a2 22 aa 2 a 2a 0 0 极大值 极小值 57 22 2 2 内是减函数 内是增函数 在 在所以 aaaaxf 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极大值在函数 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极小值在函数 2 a若 3 2 则a2 2 a 当x变化时 xfxf 的变化情况如下表 x 2 a 2 a aa22 a2 a2 0 0 极大值 极小值 内是减函数 内是增函数 在 在所以 22 2 2 aaaaxf 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极大值在函数 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极小值在函数 45 2009 四川卷理 本小题满分 12 分 已知0 1aa 且函数 log 1 x a f xa I 求函数 f x的定义域 并判断 f x的单调性 II 若 lim f n n n a nN aa 求 III 当ae e为自然对数的底数 时 设 2 1 1 f x h xexm 若函数 h x的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 h x的极值 本小题主要考查函数 数列的极限 导数应用等基础知识 考查分类整合思想 推理和运算能力 解析 由题意知10 x a 当01 01 0af xaf x 时 的定义域是 当时 的定义域是 ln log 11 a a e g xx xx aa f x aa 当01 0 10 0 xx axaa 时 因为故f x 0 因为 n 是正整数 故 0 a1时 g x 0在R 上恒成立 故函数g x 在R 上为增函数 2 当440 k 即当k 1时 2 22 1 0 0 x ex g xx xk K 1 时 g x 在 R 上为增函数 3 440 k 即当0 k 1时 方程 2 20 xxk 有两个不相等实根 12 11 11xk xk 当 11 0 11 xkg xg xk 是故在 上为增函数 当11 11xkk 时 0 g x 故 11 11g xkk 在 上为减函数 11xk 时 0 g x 故 11g xk 在 上为增函数 48 2009 重庆卷文 本小题满分 12 分 问 7 分 问 5 分 已知 2 f xxbxc 为偶函数 曲线 yf x 过点 2 5 g xxa