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第3章信号分析与处理 3 1信号的基本概念3 2连续信号的频域分析3 3离散信号的频域分析3 4随机信号的分析 3 1信号的基本概念 信号是信息的载体 可以是应力 应变 压力 位移 速度 加速度 温度等 实际中常转换为电压或电流信号 以便于检测 分析 一 信号的分类确定性信号 周期信号和非周期信号随机信号 平稳随机信号 可分为各态历经的和非各态历经的 和非平稳随机信号连续信号 模拟信号 离散信号 数字信号 二 确定性信号确定性信号又称规则信号 是可用数学关系式准确描述的信号 1 周期信号 f t f t nT T一周期 n 0 1 2 3 简谐周期信号 x t sin t 一角频率 圆频率 2 f 2 T复杂周期信号 在一定条件下 可按傅立叶级数展开 分解为许多简谐周期信号之和 2 非周期信号 时间上不重复 如矩形脉冲 阶跃信号等 非周期信号包括准周期信号和瞬态信号 准周期信号也是由一些不同离散频率的简谐信号合成的信号 这一点与复杂周期信号类似 但准周期信号没有周期性 组成它的简谐分量中总有一个分量与另一个分量的频率比为无理数 瞬态信号时间函数为各种脉冲函数或衰减函数 如有阻尼自由振动的时间历程就是瞬态信号 瞬态信号可借助傅里叶变换得到确定的频谱函数 三 随机信号随机信号不能用确定的时间函数来描述 也无法预测其某一时刻的精确取值 通常用概率与统计方法研究其统计特性 样本函数 对一个随机现象进行多次长时间观测 可以得到无限多个随时间变化的信号历程 将其中任一信号历程称为样本函数 样本记录 一般的观测总是在有限时间段上进行的 这时的样本函数则称为样本记录 集合平均 即对所有样本函数在同一时刻的观测值作统计 这种统计称集合平均 平稳随机信号 随机信号的统计特性 如均值 方差 均方值等 不随时间的变化而改变 各态历经信号 对于平稳随机信号 其任一个样本函数的时间平均值 即对单个样本按时间历程作时间平均 等于信号的集合均值 因此可以用样本代替总体进行分析处理 噪声信号 平稳 3 2连续信号的频域分析 时域分析 以时间为横坐标 研究信号幅度随时间的变化情况 频域分析 把时间为横坐标的时域信号通过傅里叶变换分解为以频率为横坐标的频域信号 从而求得原时域信号频率成分的幅值和相位信息的一种分析方法 通过对信号的各频率成分的分析 对照机器部件运行时的特征频率 可以查找故障源 确定哪些零部件出现了故障 以便有针对性地采取措施 频域分析已成为机械设备故障诊断的主要内容 1 傅立叶级数对频率为 0的周期信号f t 若满足狄利克条件 即f t 在一个周期内处处连续或只有有限个不连续点 且在一个周期内只有有限个极值点 则f t 可展开为傅立叶级数 傅立叶级数有两种形式 一 周期性号的频谱分析 1 三角形式 式中 令 则 2 指数形式 根据欧拉公式 可得到指数形式的傅立叶级数 Fn称为傅立叶系数 它是复数 可表示为 且有 Fn F n An 2 n arctg bn an a0 2 F0 2 直流分量 0 基波频率cos 0t sin 0t ej 0t 基波n 0 n次谐波频率cosn 0t sinn 0t ejn 0t n次谐波 2 周期信号的频谱幅度谱 An与 的关系图称为实数幅度谱 Fn 与 的关系图称为复数幅度谱 n 0 相位谱 n与 的关系图 周期信号的频谱是离散谱 谱线出现在基频的整数倍处 各频率分量的谱线高度对应谐波的振幅 幅值随谐波次数的增高而呈减小趋势 例 求周期矩形信号的频谱 解 信号的 0 2 T 周期为T0 又因为 所以 定义抽样信号 sinc Sa x sin x x 则 从而得到复数频谱图如下 当周期变长时 频谱变密 幅度减小 n 0 所以To 时 F 成为 的连续函数 傅立叶变换的定义为 傅立叶正变换 傅立叶反变换 二 非周期性号的频谱分析1 傅立叶变换对非周期信号 可看作其周期T0无穷大 因而Fn趋向于0 所以需要改用频谱密度函数来分析 频谱密度函数定义为 2 非周期信号的频谱F 可表示为 幅度谱 F 与 的关系图 相位谱 与 的关系图 若f t 是t的实函数 则 F 是 的偶函数 3 傅立叶变换的条件傅立叶变换的充分条件是 f t 在无限区间内绝对可积 即 例 矩形脉冲的频谱 解 4 周期信号的傅立叶变换若周期信号的角频率为 0 则其傅立叶变换为 t 为单位冲击信号 可定义为E l 0时的矩形脉冲 E为脉冲高度 为脉冲宽度 由此看出 周期信号的傅立叶变换F 与其傅立叶系数Fn都是离散谱 且F 的幅度是Fn的2 倍 3 3离散信号的频域分析 从连续信号f t 中 通过采样脉冲序列s t 每隔一定时间 称为采样周期Ts 抽取一个样本值 得到一系列样本值构成的序列 称为采样信号fs t 一 信号的采样 1 采样 根据傅立叶变换的频移特性 得 fs t 的傅立叶变换 Sn是采样脉冲序列s t 的傅立叶系数 则 fs t f t s t 而 由此可见 Fs 是一个连续周期函数 它由原信号f t 的频谱函数F 以采样频率 s为间隔周期重复而得到 重复过程中被sn加权 由于sn是n s而不是 的函数 所以F 在重复过程中形状不变 以矩形脉冲采样为例 设采样函数为矩形脉冲序列 矩形脉冲幅度为1 宽度为 其频谱为 则采样信号的频谱为 上式表明 用矩形脉冲采样时 F 在以 s为间隔周期地重复过程中 其幅度以Sn的规律变化 2 采样定理由以上结果可看出 若信号f t 的频谱函数F 只在有限区间 m m 内为有限值 在此区域外为0 则当采样频率 s 2 m时 信号f t 可用采样值f nTs 唯一地表示 即无失真地恢复 这就是采样定理 m称为奈奎斯特频率 从采样信号Fs 中恢复原信号的方法为 用矩形频谱函数H 乘Fs 即 若满足 m c s 2 则可对F 进行傅立叶反变换 无失真地得到f t 上式表明 连续信号f t 可以展开为Sa函数的无穷级数 该级数各分量的系数等于采样值f nTs 也就是说 若在采样信号fs t 的每个样点处 画一个峰值为f nTs 的Sa函数波形 那么其合成波形就是原信号f t 因此 只要知道各采样值f nTs 就能唯一地恢复f t 3 频谱混叠由于实际信号不一定是频带受限信号 不满足采样定理的条件 因此可能产生频谱混叠 一般在采样前先用抗混滤波器 把模拟信号中次要的高频成分滤去 使其成为频限信号 4 频谱泄漏实际采样时 得到的是有限时间信号 即在时域上乘了一个矩形窗函数 而矩形函数的频谱是一个带旁瓣的无限带宽的频谱 所以将原来的带限频谱扩展为无限带宽 同时谱峰下降 称为频谱泄露 直流信号的频谱是冲击函数 经时域截断后 成了Sa函数 为减少泄露误差的方法 加大窗宽改变窗函数 如用三角形窗 汉宁窗 升余弦窗 哈明窗 改进的升余弦窗 等 三角窗 汉宁窗 二 离散傅立叶变换1 离散傅立叶变换DFT为利用计算机计算傅立叶变换 需要对无限长连续信号 进行时域采样 时域截断 频域采样 周期延拓 从而得到离散傅立叶变换DFT 离散傅立叶正变换 离散傅立叶反变换 式中 N为采样计算点数 时域采样脉冲序列 频域采样脉冲序列 时域截断 周期延拓 2 离散傅立叶变换与傅立叶变换的关系忽略由频谱混叠和泄漏引起的误差 离散傅立叶变换与傅立叶变换具有下列关系 式中 To为时域截断时的窗宽 T0 NTs f0是频域采样的间隔 f0 l T0 1 NTs fs N 3 栅栏效应 FFT算法计算的离散频率点为 Xs fk fk k fs N k 0 1 2 N 1 如果信号中的频率分量与频率取样点不重合 则只能取相邻的频率取样点谱线值代替 从而产生误差 从这个意义上说 频谱泄漏误差不完全是有害的 如果没有信号截断产生的能量泄漏 频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的 4 快速傅立叶变换FFTDFT方法计算量太大 限制了应用 1965年美国学者提出了一种快速计算DFT的算法 称为快速傅立叶变换FFT 例如 当N 1024时 DFT的复数乘法次数约为105万次 而FFT的复数乘法次数5120次 仅为DFT的1 200 对一个连续信号作FFT 一般按以下步骤选取参数 1 估计的截止频率fm或按所需的最高频率对x t 作低通滤波 2 由采样定理确定采样间隔Ts或采样频率fs 3 通过估计 确定最小采样长度Nmin 4 对基2型FFT 按2的整数次幂及N Nmin圆整采样点数N 5 选取适当的窗函数 例 信号x t sin 2 f1 2sin 2 f2 N 式中 f1 50 f2 120 N为正态分布的噪声信号 信号的时域波形和幅度频谱如下 从时域波形只能看出信号的振幅范围 很难看出信号的频率特征 而从频谱图可以很容易看出信号中主要由频率分别为50与120的简谐信号构成 且后者的幅度是前者的两倍 t 0 0 001 0 6 601点 Ts 0 001x sin 2 pi 50 t 2 sin 2 pi 120 t randn size t subplot 2 1 1 plot x 1 600 绘制信号的时域波形Fx fft x 512 快速傅立叶变换 N 512f 0 255 0 001 512 频率轴 f0 1 NTs 只绘制256点subplot 2 1 2 plot f abs Fx 1 256 绘制信号的幅度频谱 如果绘制512点 f 0 511 0 001 512 频率轴 绘制512点subplot 2 1 2 plot f abs Fx 1 512 绘制信号的幅度频谱 F 是 的偶函数 上图未绘出负半轴部分 频谱周期出现 3 4随机信号的分析 其估计值 一 幅值域分析1 均值 一阶矩 x 它是指各态历经随机信号的样本函数x t 在观测时间T上的平均值 它描述随机信号的静态分量 其估计值 方差的正平方根称为标准差S 它反映样本函数x t 相对于均值 x的波动情况 它描述随机信号的动态分量 2 方差 3 均方值 二阶矩 它反映样本函数x t 相对于零值的波动情况 它描述随机信号的强度 平均能量 其估计值 均值 方差 均方值之间存在以下关系 均方值的正平方根称为均方根 有效值 Xrms 4 概率密度函数 式中 Prob x X t x x 为信号幅值落在指定区间内的概率 例 滚动轴承正常状态与发生剥落故障时的概率密度函数比较 5 偏度 skewness K3和峭度 kurtosis K4 偏度反映数据相对于均值的对称性 偏度为负 说明数据主要分布在均值左边 正态分布的偏度为0 峭度反映概率密度函数曲线的陡峭度 正态分布的峭度为3 峭度越大于3 概率密度函数曲线曲线越平缓 6 无量纲指标 1 波形因数 2 峰值因数 3 脉冲因数 4 裕度因数 式中 方根幅值 绝对平均幅值 峰值 二 相关分析相关分析又称为时延域分析 是对样本记录在不同时刻取值的相关性进行统计分析 1 自相关分析自相关函数描述信号自身的相似程度 定义为 自相关函数有如下一些重要性质 自相关函数是偶函数 因此画出 0的部分即可 当 0时 自相关函数取得最大值 且等于信号的均方值 3 如果x t 中含有一周期分量 则Rx 中也将有一周期分量 且两者周期相同 4 宽带随机信号的自相关函数衰减很快 窄带随机信号的自相关函数衰减得慢 因此 自相关函数是在机器中找出周期信号的重要手段 如果随机信号含有周期分量 则当t够大时 Rx 仍是波动的 否则Rx 趋于 x2 例 两台C630型车床的自相关函数曲线用噪声诊断机器状态时 正常运行状态下机器噪声是大量的 无序的 大小接近相等的随机冲击结果 有宽而均匀的频谱 运行不正常时 随机噪声中将出现有规则 周期性的脉冲 其大小比随机冲击大的多 采用自相关分析法 依靠Rx的幅值和波动的频率可查出机器缺陷所在 2 互相关分析描述两个信号之间的相似程度或相关性 对于某两个随机过程x t y t 其互相关函数定义为 若信号x t y t 相互独立 即两个信号不相关 则互相关函数曲线为近似平坦的曲线 若互相关函数曲线出现峰值 则表示两个信号相似 峰值对应的 可理解为输出响应相对于激励信号的滞后时间 互相关分析的应用 查找管道泄漏点 在B C处放置声发射传感器 并对采集到的两个声信号作互相关分析 测得第一个峰值所对应的 0 解出距离S1 S2即可找出泄漏点A 3 相关函数的数字估计相关函数的数字估计有两种方法 一种是按样本的时间序列直接计算 另一种是先用FFT计算出样本函数的功率谱密度函数 再对功率谱密度作FFT逆变换 间接计算出相关函数 直接计算法如下 时序 n 0 1 2 N 1 在时间位移r处的自相关函数的估计值为 时序 n 0 1 2 N 1 在时间位移r处的互相关函数的估计值为 三 频域分析随机信号通常不满足绝对可积的条件 故其傅立叶变换不一定存在 因此一般研究信号在 区间的平均功率 这个平均功率的傅立叶变换称为功率谱密度函数 1 自功率谱密度函数PSD由帕斯瓦尔定理 得到 上式左边即为信号x t 在 区间的平均功率 而右边的被积函数就称为x t 的自功率谱密度 简称自功率谱 记作 自功率谱描述随机信号的平均功率关于频率的分布情况 这一点与幅度谱类似 但其频率结构特征更为明显 因为它反映幅度的平方值 自功率谱有明确的物理意义 即曲线与频率轴所包围的面积就是信号的平均功率 Sx 定义的频率范围为 称为双边谱 而工程实际中负频率没有意义 所以定义单边谱 Gx 2Sx 其频率范围