3-2.埃尔米特二次形.ppt

矩阵论电子教程 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 矩阵的对角化 若当标准型 第三章 二次型指的是数域F上的n元二次齐次多项式 它的研究起源于解析几何中化二次曲面的方程为标准形式的问题 二次型不但在几何中出现 而且在数学的其它分支以及物理 力学中也常常会碰到 在这一章里 我们用学过的矩阵知识来讨论二次型的一些最基本的性质 一 Hermite矩阵及基本性质引理 设 则 1 都是H 阵 2 是反H 阵 如果是可逆的H 阵 那么也是可逆的H 阵 如果是H 阵 反H 阵 那么是反H 矩阵 H 阵 这里为虚数单位 如果都是H 阵 那么也是H 阵 这里均为实数 7 如果都是H 阵 那么也是H 阵的充分必要条件是 二 Hermite矩阵的相关定理 定理1 设 则 1 A酉相似与对角线都是A的特征值的对角阵 证明 2 因为A是正规矩阵 所以存在酉矩阵U 使得 不妨假设 则有 其中 我们记 于是 且 证明 必要性 因为是数 A是H 阵 所以 定理2 设 则是H 阵的充分必要条件是对于任意的是实数 所以 为实数 即 设 则 2 取 则 由 1 知 3 取 则 1 取 则 由 2 所以 二 Hermite二次型 Hermite二次齐次多项式 定义 由个复变量 系数为复数的二次齐次多项式 那么上面的Hermite二次型可以记为称为Hermite二次型对应的矩阵 并称的秩为Hermite二次型的秩 对于Hermite二次型作可逆的线性替换则 这里 在Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型 即 我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型 定理1 对于任意一个Hermite二次型 必存在酉线性替换 可以将Hermite二次型化为标准形 其中是H 矩阵的特征值 证明 因为是Hermite矩阵 所以 其中 为实数 令 定理2 设 的正惯性指数为 则存在可逆的线性替换 使的Hermite二次型为规范标准型 例1 写出下面Hermite二次型的矩阵表达式 并用酉线性替换将其化为标准形 解 定义 对于给定的Hermite二次形 三 正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵 则称该Hermite二次形为正定的 半正定的 并称相应的H 矩阵为正定的 半正定的 定理3 设 则是正定的充分必要条件是与正线对角阵合同 即存在可逆阵使得 其中 证明 充分性 令 所以 由P的可逆性得 从而A是正定的 必要性 由定理1知使得 令 因为 由P的可逆性得故 推论 设 若B与A合同 则B与A的正定性相同 与正定的实二次形一样 关于正定的Hermite二次形我们有 定理4 对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的 是正定的 是正定的 的特征值都是正实数 与单位阵合同 4 对于任何阶可逆矩阵 都有 是正定的 5 存在可逆阵 使得 判断下列Hermite二次形的类别 由于又是酉矩阵 所以 例2设是一个正定的H 阵 且又是酉矩阵 证明 这样必有 从而 例3 设是一个正定的H 阵 是一个反H 阵 证明 与的特征值实部为零 证明 设为矩阵的任意一个特征值 则由于是一个正定H 阵 所以存在可逆矩阵使得 将其代入上面的特征多项式有 这说明也是矩阵的特征值 另一方面注意矩阵为H 反阵 从而实部为零 同样可以证明BA 例4 设是一个正定的H 阵 是一个反H 阵 证明 是可逆矩阵 证明 由于是一个正定H 阵 所以存在可逆矩阵使得 这表明是可逆的 于是 另一方面注意矩阵仍然为正定H 阵 而矩阵为H 反阵 由上面的例题结论可知 矩阵的特征值实部为零 那么矩阵的特征值中不可能有零 从而 所以 即是可逆阵 2 对于任何阶可逆矩阵都有为半正定矩阵 3 的个特征值全是非负的存在阶可逆矩阵使得 5 存在秩为的阶矩阵使得 定理5 对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的 1 是半正定的 定理6 设则A是正定的充分必要条件是A的顺次主子式大于零 即 例5设是一个半正定的H 阵且证明 证明 设为的全部特征值 由于是半正定的 所以 于是有 将代入即得 设是一个半正定的H 阵且是一个正定的H 阵 证明 证明 由于是一个正定的H 阵 所以存在可逆矩阵使得这样有 注意矩阵仍然是一个半正定的H 阵 从而 所以 证明 1 半正定H 矩阵之和仍然是半正定的 2 半正定H 矩阵与正定H 阵之和是正定的 证明 设都是半正定H 阵 那么二者之和仍然是一个H 阵 其对应的Hermite二次型为 其中 由于都是半正定H 矩阵 所以对于任意一组不全为零的复数 我们有 这说明为一个半正定H 阵 类似地 可以证明 2 四 广义特征值 定理6 设 都是Hermite 阵 且B是正定的 则A的相对于B的广义特征值都是实数 定理7 设 都是Hermite 阵 且B是正定的 则存在可逆阵使得 其中 是A相对于B的广义特征值