3-4 曲线的凹凸性与拐点.doc

复习 函数的单调性的定义，函数的极值。引入 由函数的单调性我们可知道曲线上升与下降的情况，还应知道它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点，这就是曲线的凹向与拐点。讲解新课第四节 曲线的凹凸性与拐点1 曲线的凹凸定义及判定法定义1 如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的（如图（1）所示），如果曲线位于其每一点切线的下方，那么称曲线弧是凸的（如图（2） （1） （2）对于曲线的凹凸形状，还可以通过二阶导数来描述。因为函数的二阶导数是描述一阶导数的单调性的。从上图可以看出，如果曲线是凹的，切线的倾斜角随的增大而增大，由导数的几何意义知随的增大而增大，即函数的一阶导数是单调增加的，所以；同样，如果曲线是凸的，切线的倾斜角随的增加而减少，就是随的增大而减少，即函数的一阶导数是单调减少的，所以。反之结论是否成立呢？下面给出曲线凹凸性的判定定理。定理1 设函数在内连续，在内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在内，则曲线曲线在上是凹的. （2）若在内，则曲线曲线在上是凸的例1 判定曲线的凹凸性解：函数的定义域为，且因为在上恒为负，所以曲线在其定义域内是凸的例2 判定曲线的凹凸性解：函数的定义域为，且因为当时，；当时，所以曲线在内是凸的，在内是凹的，例3 判定曲线的凹凸性解：函数的定义域为，且因为当时，；当时，所以曲线在内是凸的，在内是凹的这时点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点我们把这种点称为拐点。2 曲线的拐点及其求法定义2 把连续曲线凹凸部分的分界点叫做曲线的拐点定理2 （拐点的必要条件）若函数在处的二阶导数存在，且点为曲线的拐点，则。如何来求曲线的拐点呢？由于拐点是曲线的凹凸部分的分界点，所以拐点左右两侧近旁的必然异号，因此，曲线拐点横坐标x0只可能是使=0的点。如中，点（0，0）就是曲线的拐点，但在中，虽然点的左右近旁异号，但由于在点处曲线不连续，故不能说点（0，0）是曲线的拐点。函数二阶导数不存在的点，在曲线上相应的点也可能是拐点如函数的二阶导数在处不存在，但点（0，0）却是曲线的拐点综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的一般方法为：（1）确定函数的定义域.（2）求函数的二阶导数.（3）求出满足的所有点及二阶导数不存在的点.（4）以（3）中找出的所有点，把函数的定义域分成若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区间的符号，从而判定曲线在各部分区间的凹凸性与拐点例4 求函数的凹凸区间和拐点解：函数的定义域为，且，令，得列表：（）0+00+有拐点有拐点由表可知，当时，曲线有拐点和，表中表示曲线是凹的，表示曲线是凸的函数的图像如图（3）所示.例5 讨论曲线的凹凸性及拐点解：函数的定义域为，且 令，得；又当时，不存在列表:00+不存在+有拐点无拐点由表可知，在时，曲线有拐点为.函数图像如图4所示.例6 试确定的值，使三次曲线有拐点，并且在该点处切线的斜率为1.解 因为，依题意得方程组，解之得，。练习 1.判定下列曲线的凹凸性.（1），（2），（3）。2.求下列曲线的拐点及凹凸区间.（1），（2）。小结 1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特