2随机变量的分布.ppt

第四节随机变量函数的分布 一单个随机变量函数的分布 1离散型 注 1 设 互不相等时 则事件 由 2 当 则把那些相等的值合并起来 并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律 2连续型 其中 是连续型随机变量 其分布密度在相应区间内为 一般地 y xn 证明 二随机向量函数的分布 1 离散型 以二维随机向量为例 多维随机向量的情况类似 2 连续型 设 X Y 是二维连续型随机变量 其联合概率密度 为 分布函数为 则 和的分布 设 X Y 是二维连续型随机变量 其联合概率密度 为 问题 计算 的概率密度 x y z 作变换 则有 注意到里层的积分是u的函数 即有 上式对z求导 得的概率密度为 注意到在前面的积分中 我们是先对y后对x积分的 若将其改成先对x 后对y积分 则有 特别 如果随机变量X Y相互独立 则 即 例4 两个独立的二项分布随机变量 当它们的第二个参数相同时 其和也服从二项分布 二项分布的可加性 特别当相互独立且具有相同 分布函数时 设相互独立 其分布函数为 则 的分布函数分别为 补充结论 连续型随机变量商的分布 商的分布 本节的解题步骤 其它的分布 返回主目录 均为随机变量 也构成了一个二维随机向量 下面求 Y1 Y2 的联合密度函数 三随机向量的变换 称为变换的Jocobi行列式 其中 例 解 因此得 即 例子见书p13 对此二重积分作换元 令 变换的Jocobi行列式 此变换把区域D变换为区域 由二重积分的换元公式得 第五节 数字特征及其特征函数 定义1 设离散型随机变量的分布律为 如果级数 绝对收敛 称为随机变量X的数学期望 记为 即 的和 则级数 简称期望或均值 数字特征 若不绝对收敛 则X的数学期望不存在 1 随机变量的数学期望 定义2 设连续型随机变量X的概率密度为 若积分 绝对收敛 则称该积分值为随 机变量X的数学期望或平均值 简称期望或均值 记为 即 离散型和连续型随机变量的期望可以用一个式子表示 此积分是Lebesgue Stieltjes积分 当X为离散型时 其分布函数是阶梯函数 该积分成为求和的形式 此积分是Lebesgue Stieltjes积分 当X为连续型时 该积分化为 此积分是Riemann积分 2 随机变量函数的数学期望 定理设随机变量Y是随机变量X的函数 1 设X为离散型随机变量 其分布律为 若级数 绝对收敛 则有 2 设X为连续型随机变量 其概率密度为 若积分 绝对收敛 则有 设X服从N 0 1 分布 求E X2 E X3 E X4 例3 解 结论 3二维随机向量函数的数学期望 这里要求广义二重积分是绝对收敛的 1 设C是常数 则E C C 2 若C是常数 则E CX CE X 3 4 数学期望的性质 证明 设 4 设X Y独立 则E XY E X E Y 证明 设 由独立性 当Xi独立时 注意 由E XY E X E Y 不一定能推出X Y独立 5 柯西 施瓦尔兹不等式 方差刻划了随机变量的取值 若X的取值比较集中 则方 差较小 若X的取值比较分 散则方差较大 对于其数学期望的离散程度 方差的算术平方根 为X的方差 定义设X是一个随机变量 若 存在 则称 称为均方差或 标准差 二 方差的概念 离散型已知X分布律 连续型已知X的概率密度 注意 1 是关于随机变量X的函 数 的数学期望 计算方差的简便公式 2 方差描述了随机变量X的取值与其均值的偏离程度 证明 1 0 1 分布参数为p 6 常见分布的方差 2 二项分布 其中 且 相互独立 则由方差的性质可得 3 泊松分布 分布律为 参数为 密度函数 4 均匀分布 参数为 密度函数 5 指数分布 参数为 6 正态分布 参数为 密度函数 注 服从正态分布的随机变量完全由它的数学 期望和方差所决定 特别 当 时 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量 注 为了方便计算 EX DX均为常数 常对X进行标准化 即当X的期望 和方差都存在时 考虑它的标准化 则 解记 则 故 定义设二维随机变量 则称它为 与 的协方差 记为 即 若 存在 三 协方差和相关系数的定义 1 协方差的性质 1 Pf 2 协方差的计算公式 Pf 3 Pf 若X Y相互独立 则 4 5 为常数 6 Pf 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系 但它还受X与Y本身度量单位的影响 例如 Cov kX kY k2Cov X Y 为了克服这一缺点 对协方差进行标准化 这就引入了相关系数 四 相关系数 为随机变量X和Y的相关系数 在不致引起混淆时 记为 相关系数的性质 说明 X与Y的线性关系越显著 X与Y的线性关系越不显著 四个等价命题 2 3 4 1 相关系数 不相关 X与Y之间没有线性关系 并不表示它们之 间没有任何关系 所以 当X和Y独立时 Cov X Y 0 故 独立 X与Y之间没有任何函数关系 X Y独立 0 X Y不相关 注意独立与不相关并不是等价的 当 X Y 服从二维正态分布时 有 若 存在 称它为 五 矩 协方差矩阵 协方差矩阵的定义 将二维随机变量 X1 X2 的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式 称此矩阵为 X1 X2 的协方差矩阵 类似定义n维随机变量X X1 X2 Xn 的协方差矩阵 为 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 i j 1 2 n 若 也常记为DX或者Cov X X 协方差矩阵的性质 对于任一n元实列向量 有 2 是一个非负定矩阵 1 是一个对称矩阵 3 设 为n元随机向量 有 a 对于 定义 b p x1 x2 xn 则称X服从n元正态分布 其中B是 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 B 是它的行列式 表示B的逆矩阵 X和是n维列向量 表示X的转置 设 X1 X2 Xn 是一个n维随机向量 若它的概率密度为 六 下面给出n元正态分布的概率密度的定义 n元正态分布的几条重要性质 1 X X1 X2 Xn 服从n元正态分布 2 若X X1 X2 Xn 服从n元正态分布 Y1 Y2 Yk是Xj j 1 2 n 的线性函数 则 Y1 Y2 Yk 也服从多元正态分布 这一性质称为正态变量的线性变换不变性 3 设 X1 X2 Xn 服从n元正态分布 则 X1 X2 Xn相互独立 等价于 X1 X2 Xn两两不相关 或 对任意 不等式 成立 七 两个重要的不等式 切比雪夫不等式 对任意具有有限方差的随机变量X 都有 proof 对任意实数 证 2 A L Cauchy Schwarz不等式 考虑函数 即 运用A L Cauchy Schwarz不等式证明结论 相关系数的性质 二次方程 有一重根 即 八 特征函数 引进特征函数的目的在于有些问题用分布函数不好解决 比如计算随机变量的矩以及对立随机变量和的分布 使用特征函数就会特别方便 在极限理论的研究中也发挥了很大作用 如以前我们讲过随机变量X Y的分布函数求法过程比较复杂 实际上经常碰到求X1 X2 X3 Xn的密度函数 重复使用卷极公式 非常繁杂 1 复随机变量的定义 设 是定义在概率空间 上的实随机变量 则 称为复随机变量 相互独立 就称复随机变量 1 特征函数的定义 设 的分布函数为 称 为X的特征函数 对每个随机变量X 或者说每个分布函数F x 都有一个特征函数f t 与之一一对应 2 特征函数的性质 设 是X的特征函数 则 2 特征函数 在R上一致连续 3 特征函数 是非负定的 即对任意实数 及复数 证明 4 设 是常数 则 5 随机变量 相互独立 则 此性质可可推广至多个 随机变量 相互独立 则 6 设随机变量 则它的特征函数可微分n次 且 特征函数提供了一条求各阶矩的捷径 7 唯一性定理 分布函数由其特征函数唯一确定 相应的分布函数F x 可导且导函数连续 则有 构成傅里叶变换对 1 二项分布 参数为 X的分布律 3常见的几个分布的特征函数 2 泊松分布 分布律 参数为 密度函数 3 指数分布 参数为 4 正态分布 密度函数 参数为 特征函数 4 卡方分布的特征函数 某些独立随机变量的分布函数的可加性可用特征函数证明 如 二项分布 泊松分布 正态分布 卡方分布均具有可加性 七极限定理 一随机变量的收敛性二大数定律与中心极限定理 思考题 1 随机变量很小怎样理解 靠近于一个常数怎么理解 一随机变量的收敛性 1 依概率收敛 2 依分布收敛 可以证明 3 r 阶收敛 1 阶收敛又称为平均收敛 2 阶收敛即为均方收敛 4 以概率1收敛 四种收敛关系 以概率1收敛或r 阶收敛 依概率收敛 依分布收敛 二 大数定律与中心极限定理 研究两类问题 大数定律 中心极限定理 为相互独立的随机变量序列 2 n充分大时 服从什么分布 1 定义 1 大数定律 定理一 切比雪夫大数定律 量 且具有相同的数学 设 为一列相互独立的随机变 即 定理二 辛钦大数定律 为一列相互独立同分布的 随机变量 且具有相同的数学期望 即 设 在定理一中 去掉方差存在的条件而加上相同 分布的条件 则有 定理三 伯努利大数定律 设事件 在每次试验中出现的概率为p 在n次重复独立试验中出现的频率为 即 且 理论上给出了在大量重复实验下 事件A的频率依概率收敛于它的概率p 定理四 马尔可夫大数定律 证明 由切比雪夫不等式 即得所证结果