3.1二维随机变量.ppt

1 第三章多维随机变量及其分布 2 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难 我们重点讨论二维随机变量 本章内容是第二章内容的推广 3 3 1二维随机变量 一 二维随机变量及其分布函数二 二维离散型随机变量三 二维连续型随机变量 4 一 二维随机变量及其分布 我们常常需要同时用几个随机变数才能较好的描绘某一试验或现象 炮弹在地面的命中点的位置是由两个随机变量来确定 例如 飞机在空中的位置由三个随机变量来确定 5 定义 二维随机变量 X Y 的性质不仅与X及Y的性质有关 而且还依赖于X和Y的相互关系 因此必须把 X Y 作为一个整体加以研究 设随机试验E的样本空间 X和Y是定义在 上的随机变量 由它们构成的向量 X Y 称之为二维随机变量或二维随机向量 6 分布函数F x y 表示 X x 和 Y y 同时发生的概率 定义 设 X Y 是二维随机变量 x y R 二元函数F x y P X x Y y 称为 X Y 的分布函数 或称为X和Y的联合分布函数 为此 首先需要引入二维随机向量 X Y 的分布函数的概念 7 分布函数F x y 在 x0 y0 处的函数值F x0 y0 表示平面上随机点 X Y 落在无限矩形区域D X x0 Y y0内的概率 分布函数的几何意义 D 8 由上面的几何解释 易见 随机点 X Y 落在矩形区域 x1 x x2 y1 y y2内的概率 说明 9 F x y 的性质 1 0 F x y 1 2 F x y 分别对x和y单调不减 即 y R 当x1 x2时 F x1 y F x2 y x R 当y1 y2时 F x y1 F x y2 F x2 y F x1 y P X x2 Y y P X x1 Y y P x1 X x2 Y y 0 10 3 F y 0F x 0F 0F 1 4 F x y 关于变量x或y右连续 即 11 如果二维随机变量 X Y 的所有可能取值是有限对或可列无限多对时 称 X Y 是二维离散型随机变量 定义 二 二维离散型随机变量 12 设二维离散型随机变量 X Y 所有可能取的值为 xi yj i j 1 2 称P X xi Y yj pij为二维离散型随机变量 X Y 的概率分布或分布律 或称为X与Y的联合分布律 定义 13 也可用表格表示 14 二维分布律与二维分布函数 设二维离散型随机向量 X Y 的分布律为piji 1 2 j 1 2 于是 X Y 的分布函数 15 16 例1将两个球等可能地放入编号为1 2 3的三个盒子中 令X 放入1号盒中的球数 Y 放入2号盒中的球数求 X Y 的分布律 解 X的可能取值为0 1 2 Y的可能取值为0 1 2 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 0 Y 2 P X 1 Y 0 17 P X 1 Y 1 P X 1 Y 2 P 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 P 0 故 X Y 的分布律为 P X 2 Y 2 P 0 18 例2设随机变量X在1 2 3 4四个整数中等可能的取值 另一个随机变量Y在1 X中等可能的取一整数值 求 X Y 的分布律 解 X的可能取值i为1 2 3 4 Y取不大于X的正整数j 当i j时 当i j时 pij P X i Y j pij P X i Y j P X i P Y j X i 0 19 故 X Y 的分布律为 20 例 设随机变量 X Y 的分布律为 求P X Y 0 5 21 解 满足条件 X Y 0 5的 X Y 的所有可能的取值为 1 1 5 2 1 5 2 2 5 3 2 5 3 3 5 4 3 5 因此 所求概率即为 X Y 在这些点上取值的概率的和 即 P X Y 0 5 0 1 0 0 15 0 05 0 05 0 1 0 45 22 设F x y 为二维随机变量 X Y 的分布函数 若存在非负函数f x y 使 x y 有 定义 则称 X Y 是二维连续型随机变量 f x y 为二维连续型随机变量 X Y 的概率密度函数 或称为X与Y的联合概率密度 三 二维连续型随机变量 23 24 f x y 的性质 1 f x y 0 2 3 D为xOy平面上的一个区域 则点 X Y 落在D内的概率为 4 若f x y 在点 x y 连续 则有 25 26 求 1 常数C 2 X Y 的分布函数 3 P 0 X 1 0 Y 2 例4设二维随机变量 X Y 的概率密度为 解 1 C 12 1 27 2 当x 0 y 0时 1 e 3x 1 e 4y 当x y为其它情形时 F x y 0 28 注 其它情形 不能写成 x 0 y 0 并不同于一维分布 3 P 0 X 1 0 Y 2 F 1 2 F 1 0 F 0 2 F 0 0 1 e 3 1 e 8 或 29 o1x 例5设随机变量 X Y 的概率密度为 求 X Y 的分布函数 解 y2 1 x 0或y 0时 F x y 0 30 2 0 x 1 0 y 2时 3 02时 31 4 x 1 0 y 2时 5 x 1 y 2时 1 32 综合得 33 例6一个电子器件包含两个主要元件 分别以 和 表示这两个元件的寿命 以小时计 设 X Y 的分布函数为 求 X Y 的概率密度函数 两个元件的寿命都超过120小时的概率 34 解 1 直接验证可知 x y 是连续型的二维随机变量的分布函数 由性质 可知 35 1 二维均匀分布 设D为xOy平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 的概率密度为 则称 X Y 服从D上的均匀分布 常见二维连续型分布 36 解 例 设 X Y 服从圆域x2 y2 4上的均匀分布 计算P X Y A 这里A是图中阴影部分的区域 圆域x2 y2 4的面积d 4 区域A是x 0 y 0和x y 1三条直线所围成的三角区域 并且包含在圆域x2 y2 4之内 面积 0 5 P X Y A 0 5 4 1 8 37 其中 1 2 1 2 都是常数