3.1回归分析的基本思想及其初步应用(2).ppt

3 1回归分析的基本思想及其初步应用 2 选修2 3第三章统计案例 复习回顾 1 回归直线的方程 相关系数 上节课中的题目 从某大学中随机选出8名女大学生 其身高和体重数据如下表 预报一名身高为172 的女大学生的体重 身高为172的女学生体重一定是60 316吗 从散点图可看到 样本点散布在某条直线的附近 而不是一条直线上 所以不能用一次函数 a来描述它们之间的关系 理想化的斜率和截距是未知参数 在实际中 随机变量还受其他因素影响 我们所选用的模型只是一种近似模型 故线性回归模型的完整表达式为y bx a e 因变量y的值由自变量x和随机变量e共同确定 自变量x只能解释部分y的变化 称为解释变量 因变量y称为预报变量 解释变量x 身高 随机误差e 预报变量y 体重 注意 注意 对随机误差e的研究 线性回归模型的完整表达式y bx a e 54 37 54 37 6 29 2 71 残差图 纵坐标为残差 横坐标如何选取 横坐标可以选为样本编号 残差是个随机变量 如何来研究残差 如何分析残差图 以样本编号为横坐标的残差图 异常点 残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域 说明选用的模型比较合适 区域的宽度越窄 说明模型拟合精度越高 回归方程的预报精度越高 为了衡量预报的精度 需要估计的 2值 故线性回归模型的完整表达式为y bx a e 为了衡量预报的精度 需要估计的 2值 注 在含有一个解释变量的线性模型中 R2恰好等于相关系数r的平方 这表明 身高解释了64 的体重变化 或者说 体重的差异有64 是有身高引起的 而随机误差贡献了剩余的36 所以 身高对体重的效应比随机误差的效应大得多 可以说身高和体重的相互关系较强 某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下 试预测运动员训练 次以及 次的成绩 第一步 做散点图 第二步 求回归方程 第三步 残差图 残差图 第四步 计算相关指数 说明了该运动员的成绩的差异有 是由训练次数引起的 说明了两个变量的相关关系非常强 第五步 作出预报 由上述分析可知 我们可以用回归方程 一般地 建立回归模型的基本步骤为 1 确定研究对象 2 画散点图 3 由经验确定回归方程的类型 4 按一定规则估计回归方程中的参数 5 分析残差图 下结论 分析残差图 小结 作业 作业本A 717 例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关 现收集了7组观测数据列于下表中 试建立y与x之间的回归方程 解 1 作散点图 例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关 现收集了7组观测数据列于下表中 试建立y与x之间的回归方程 解 1 作散点图 从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似 这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近 利用线性回归模型来建立y和x之间的非线性回归方程 例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关 现收集了7组观测数据列于下表中 试建立y与x之间的回归方程 用残差来比较两个回归方程的拟合效果 前一个模型的拟合效果好 在一般情况下 比较两个模型的残差比较困难 原因是在某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小 而另一些样本点的情况则相反 这时可以通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果 残差平方和越小的模型 拟合的效果越好 中残差平方和分别为1550 538和15448 431 说明前面那个模型的拟合效果好 还可以用R2来比较两个模型的拟合效果 R2越大 模型的拟合效果也越好 中R2分别为0 98和0 80 说明前面那个模型的拟合效果好 实际问题 样本分析 回归模型 抽样 回归分析 预报精度 预报 假设某服装厂用10万元引进一批设备的使用年限x和所支出的维修费用y 万元 有如下的统计资料 若由资料可知对x呈线性相关关系 试求 R2并说明模型的拟合效果 模型拟合效果较好 使用年限解释了95