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第二章导数和微分 2 1导数的概念 一 导数概念的引进 1 变速直线运动的瞬时速度问题 我们已经知道 物体作匀速直线运动时 有 但是 用这个公式计算出的平均速度 不能真实地反 变速直线运动的物体在 时刻的瞬时速度 问题 如何求 变速直线运动的物体在 时刻的瞬时速度 看课本P37例1 2 关于平面曲线的切线斜率问题 割线的极限位置 切线位置 如图 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT 直线MT就称为曲线C在点M处的切线 极限位置即 二 导数的定义 1 函数y f x 在点 的导数的定义 其它形式 即 关于导数的说明 2 函数f x 在某区间I a b 内可导 注意 看课本P39例2 3 用定义求导数 步骤 例3 解 例4 解 更一般地 例如 例5 解 例6 解 例7 解 例8 用定义的方法解答 2 右导数 4 单侧导数 1 左导数 例9 解 如何求分段函数的导数 对于非分段点 它们总是属于该函数其中的一个分支 因此求导的方法与非分段函数相同 对于分段函数的分段点 必须先用导数的定义 求该点的左导数和右导数 如两者都存在且相等 其值就是函数在该点的导数 否则 函数在该点的导数不存在 三 导数的几何意义 1 几何意义 切线方程为 法线方程为 例10 解 由导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2 2 1 1 方程和法线方程 并写出在该点处的切线 斜率 处的切线的 在点 求等边双曲线 x y 四 函数的可导性与连续性的关系 定理如果函数f x 在处可导 则它在此点连续 证 注意 不连续的函数必不可导 连续函数不存在导数举例 例 注意 该定理的逆定理不成立 六 小结 1 导数的实质 增量比的极限 4 导数的几何意义 切线的斜率 5 函数可导一定连续 但连续不一定可导 2 求导数最基本的方法 由定义求导数 6 判断可导性 不
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