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函数模型及其应用 3 2 1几类不同增长的函数模型 二 对数函数y logax a 1 指数函数y ax a 1 与幂函数y xn n 0 在区间 0 上都是增函数 但它们的增长是有差异的 那么这种差异的具体情况到底是怎样呢 例1已知函数 填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象 图象 请在图象上分别标出使不等式成立的自变量x的取值范围 比较函数 填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象 从图象可知它们有两个交点 这表明与在自变量不同的区间内有不同的大小关系 有时 有时 函数 填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象 当自变量x越来越大时 可以看到 的图象就像与X轴垂直一样 的值快速增长 比起来几乎微不足道 3 三个函数增长情况比较 在区间 0 上 尽管函数y logax a 1 y ax a 1 与y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn ax 你能用同样的方法 讨论一下函数y logax 0 a 1 y ax 0 a 1 与y xn n 0 在区间 0 上衰减情况吗 结论 在区间 0 上 尽管函数y logax 0 x0时 就会有logax ax xn 1 a 1时 对数函数y logax a 1 指数函数y ax a 1 与幂函数y xn n 0 在区间 0 上增长情况的比较 在区间 0 上 尽管函数y logax a 1 y ax a 1 与y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn ax 2 当0 x0时 就会有logax ax xn 结论 1 指数函数和幂函数增长情况比较 在区间 0 上 无论n n 0 比a a 1 大多少 尽管在x的一定变化范围内 ax会小于xn 但由于ax的增长快于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有ax xn 2 对数函数和幂函数增长情况比较 在区间 0 上 随着x的增大 y logax a 1 增长得越来越慢 图象就像是渐渐地与x轴平行一样 尽管在x的一定变化范围内 y logax可能会大于xn n 0 但
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