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立体几何中的向量方法 直线的方向向量与平面的法向量 A P 一 点的位置向量 A B P 二 直线的向量参数方程 此方程称为直线的参数方程 o b a P 三 平面的法向量 除此之外 还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置 法向量 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作a 如果a 那么向量a叫做平面 的法向量 l a 给定一点A和一个向量a 那么 过点A 以向量a为法向量的平面是完全确定的 l A a 问题 法向量如何确定平面的位置 几点注意 1 法向量一定是非0向量2 一个平面的所有法向量都互相平行3 向量n是平面的法向量 向量m是与平面平行或在平面内 则有 用向量运算证明平行关系 一 直线与直线平行 理论依据及解题步骤 利用以上结论 可以较容易地处理立体几何中的线线平行的问题 在长方体OAEB O1A1E1B1中 OA 3 OB 4 OO1 2 点P在棱AA1上 且 AP 2 PA 点S在棱BB 上 且 SB 2 BS 点Q R分别是棱O1B1 AE的中点 求证 PQ RS 证明 以O为原点 建立如图所示空间直角坐标系 则 利用向量坐标运算证明线线平行时 需证明两向量共线 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在直线上 二 直线与平面平行 要证明直线与平面平行 应用向量方法 只要证明该直线的方向向量与平面内的两不共线的向量共面 即可利用共面向量定理证明 只要证明该直线的方向向量与平面内某一向量共线 即可利用平行定理 用空间向量证明 平行 包括线面平行和面面平行 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置 所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示
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