力学中的数学方法-张量-6-2013改.pdf

1 六 对偶基矢量 相伴度量张量六 对偶基矢量 相伴度量张量 i jj i gg j iji g gg 1 对偶基矢量对偶基矢量 对偶基矢量 逆变基矢量 对偶基矢量 逆变基矢量 gi由下式定义 在三维空间中 由下式定义 在三维空间中 g1 g2 g3 分别垂直于 分别垂直于 g2 g3 g1 g3 及 及 g1 g2 所在的平面 所在的平面 2 相伴 共轭 度量张量相伴 共轭 度量张量 式中式中 gij是对偶基矢量在是对偶基矢量在 gj方向的分量 共有方向的分量 共有9个个 称为相伴度量张量 或共轭度量张量 将对偶基矢量 称为相伴度量张量 或共轭度量张量 将对偶基矢量 gi沿基矢量沿基矢量 gj的方向分解的方向分解 2 3 相伴 共轭 度量张量的性质相伴 共轭 度量张量的性质 ijj k ikj k iki ggg j gggg jiij ggg i jj i gg i jjk ik g gg i jkj ik gg j iji g gg 类似类似 j iji g g j iji gg gg 协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换 提升或下降指标 协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换 提升或下降指标 rs sr D g g ij gg srijsr Dgg 中元素 的代数余子式 3 任何一个矢量任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示 可以用它沿基矢量方向的分量表示 i ii i vvggV 表明矢量表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量也可以用它沿逆变基矢量 gi方向的分量表示 方向的分量表示 vi称 为矢量 称 为矢量V的协变分量 的协变分量 vi是矢量是矢量V的逆变分量 表示矢量的逆变分量和协变分量的大小等于矢量和相应的基 矢量的点积 的逆变分量 表示矢量的逆变分量和协变分量的大小等于矢量和相应的基 矢量的点积 j iji j iji vgv vgv i i i i v v gV gV 4 矢量的逆变分量和协变分量矢量的逆变分量和协变分量 4 5 例题例题1 由笛卡尔直角坐标系由笛卡尔直角坐标系zi 33 212 211 sin cos xz xxz xxz 求圆柱坐标系求圆柱坐标系xi的基矢量 基本度量 张量 对偶基矢量及相伴度量张量 的基矢量 基本度量 张量 对偶基矢量及相伴度量张量 解 解 33 122 2 2 2 11 arctan zx zzx zzx 33 2 21 1 21 2 2 2 1 2 1 cossin sincos ig iig iig xxxx xx j i j i i x z x i r g 6 33 2 21 1 21 2 2 2 1 2 1 cossin sincos ig iig iig xxxx xx 1 1 3 1 2 1 g g g x 基本度量张量基本度量张量 0 1 cossin 1sincos 132312 33 2 1 2 21 2 21 22 2 2 2 2 11 ggg g xxxxxg xxg 2 1 xgg ij 7 基本度量张量基本度量张量 0 1 cossin 1sincos 132312 33 2 1 2 21 2 21 22 2 2 2 2 11 ggg g xxxxxg xxg 2 1 xgg ij rssr D g g 0 1 1 1 1323122211 33 2 1 ggggxgg 对偶基矢量对偶基矢量 33 333 21 2 222 1 11 1 1 igg gg gg g xg g 1 1 1 3 2 1 1 g g g x 33 2 21 1 21 2 2 2 1 2 1 cossin sincos ig iig iig xxxx xx j iji g g j iji gg gg 8 例题例题2 求球坐标系求球坐标系xi的基矢量 基本度量 张量 对偶基矢量及相伴度量张量 的基矢量 基本度量 张量 对偶基矢量及相伴度量张量 9 1 7 张量分析张量分析 一 置换张量一 置换张量 ijkijk ggg 张量分析 第二版 黄克智等 清华大学出版社 张量分析 第二版 黄克智等 清华大学出版社 l ijijl ggg 类似类似 jijl i l ggg ge ijkijk 1 ijkijk ge i jkj ik gg ij gg 基矢量的矢积可以通过对偶矢量和置换张量表示 张量 和张量的矢积也可以通过置换张量来表示 基矢量的矢积可以通过对偶矢量和置换张量表示 张量 和张量的矢积也可以通过置换张量来表示 jijk ik ij kijk g g gg g g l k ijl l kijl gg 10 rstrst ijkijk ee istist ijkijk ee 2 jkkjk ijtijtjtjtt ijkijk ee 26 k ijkijkk ijkijk ee 二 置换张量与克罗内克符号的关系二 置换张量与克罗内克符号的关系 tsi kji kjkj tsst 11 三 张量演算三 张量演算 1 基矢量的偏导数与克里斯托弗 基矢量的偏导数与克里斯托弗 Christoffel 符号符号 将偏导数的概念推广 建立协变导数的概念 使得一个张量的协变 导数是另一个张量 这是张量演算发展中最重要的里程碑 张量的 协变导数是本节讨论的重点 求一个矢量的导数 必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导 将偏导数的概念推广 建立协变导数的概念 使得一个张量的协变 导数是另一个张量 这是张量演算发展中最重要的里程碑 张量的 协变导数是本节讨论的重点 求一个矢量的导数 必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导 V g i i j j v x 弹性力学与张量分析 郭日 修 高等教育出版社 弹性力学与张量分析 郭日 修 高等教育出版社 gg ii jii j vv ggg ii ii ji j i j vvv 12 kk ij k i k jj i xx z x z x iig 2 式中式中 ijk是 沿是 沿 gk方向的分量 称为第一种克里斯托弗符号 方向的分量 称为第一种克里斯托弗符号 ijk是 沿是 沿 gk方向的分量方向的分量 称为第二种克里斯托弗符号 可以看出基矢量 称为第二种克里斯托弗符号 可以看出基矢量 gi对于坐标对于坐标 xj的偏导数也是矢量 它也可以分 解成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量 的偏导数也是矢量 它也可以分 解成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量 k k ij k ijkji ggg ijk l kijlk l ijlkji gggg k ij k l l ij l ijji k l k gggg 13 2 克里斯托弗符号的性质及其计算克里斯托弗符号的性质及其计算 a 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指 标一样提升或下降 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指 标一样提升或下降 但不是张量但不是张量 lk ijl k ijlk l ijijk gg b 克里斯托弗符号对前两个指标是对称的克里斯托弗符号对前两个指标是对称的 k ji k ijjikijk 14 c 克里斯托弗符号可按以下公式计算 若度量张量的分量已知 可计算坐标系的克里斯托弗符号 克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性 由于直角坐标系的 克里斯托弗符号可按以下公式计算 若度量张量的分量已知 可计算坐标系的克里斯托弗符号 克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性 由于直角坐标系的 gij是常数 所以在直角坐标系中克里斯托弗符号是常数 所以在直角坐标系中克里斯托弗符号 0 jiij ggg jkikijjkiikjkjijkikij g gggg jkiijkjki ijkkijijk jkikijkij g g g kijjkiijkijk ggg 2 kijjkiijkijl k ij ggggg klkl 2 2 2式式 3式式 1式式 15 d 克里斯托弗符号不是张量克里斯托弗符号不是张量 证明略证明略 16 3 对偶基矢量对偶基矢量gi的偏导数的偏导数gi j j i j i gg 0 k j i j ki gggg j ik j ki k j i gggg ki jk j i gg 17 四 矢量的协变导数四 矢量的协变导数 1 矢量的偏导数矢量的偏导数 k k ij i i j i j vvggV 变换最后一项中两个哑指标的字符 变换最后一项中两个哑指标的字符 ij i i i jk k i j i