3.2随机变量的独立性.ppt

3 2随机变量的独立性 一 二维随机变量的独立性 定义设 X Y 是二维随机变量 若对任意实数对 x y 均有 随机事件A与B相互独立 若 P AB P A P B 成立 称X与Y相互独立 意义对任意实数对 x y 随机事件 X x Y y 都相互独立 例3 2 1 等价条件 1 X与Y相互独立 对任意实数 x y 均成立 2 离散型 X与Y相互独立 对所有 xi yj 均成立 注若否定结论 只需找到一对 i j 使 pij pi p j 或pij pi p j 3 连续型 X与Y相互独立 在平面上除去 面积 为0的集合外成立 例3 2 2 例3 2 3 例3 2 4 练习 二 多维随机变量的独立性 定义设n维随机变量 X1 X2 Xn 的联合分布函数为F x1 x2 xn 若对任意实数x1 x2 xn均有 称X1 X2 Xn相互独立 注对任意实数向量 x1 x2 xn n个随机事件Ak Xk xk k 1 2 n 都相互独立 思考随机事件A1 A2 An相互独立 应有以下 P Ai1Ai2 Ais P Ai1 P Ai2 P Ais 2n n 1个等式同时成立 缺一不可 如何理解 定理3 2 1若n维随机变量 X1 X2 Xn 相互独立 则任意k个随机变量 2 k n 也相互独立 注随机变量相互独立则一定两两独立 但逆不真 例3 2 5 定理3 2 1若n维随机变量 X1 X2 Xn 相互独立 则 2 随机变量g1 X1 g2 X2 gn Xn 也相互独立 3 m维随机向量 X1 X2 Xm 与n维随机向量 Xm 1 Xm 2 Xn 也相互独立 4 随机变量h X1 X2 Xm 与g Xm 1 Xm 2 Xn 也相互独立 如3维随机变量X1 X2 X3相互独立 则 X12 X22 X32也相互独立 X1 X2与X3也相互独立 sinX1与X3也相互独立 X1 X2与X1 X2不一定相互独立 随机变量的独立性本质上是随机事件的独立性 例3 2 1设随机变量X的概率密度为 问X与 X 是否相互独立 分析1 直观判断X与 X 是否相互独立 对所有实数对 a b 均成立 2 判定X与 X 相互独立 则需验证 3 随机事件 X a 与 X a 有下述关系 解对于任意给定的实数a 0有 即X与 X 不相互独立 例3 2 3已知二维随机变量 X Y 的概率密度为 问X Y是否相互独立 解 1 例3 2 4设随机变量X Y相互独立 X U 0 a Y U 0 2 且0 b a试求P X bcosY 解 因为随机变量X Y相互独立 则 练习设随机变量X与Y相互独立 填出空白处的数值 3 4 1 4 1 2 1 24 3 8 例3 2 2设随机变量 X Y 具有联合概率密度 问 X Y是否相互独立 分析f x y 在如图所示区域内不等于0 在其余区域均等于0 因为 当x 0或x 1时 在整个积分路径上被积函数f x y 始终为0 因此 当0 x 1时 类似地 当y 0或y 1时 当0 y 1时 于是 故当0 x 1且0 y x时 f x y 2 fx x fy y 4x 1 y 因此 X与Y不相互独立 找出了一个面积不为0的区域 例3 2 6将一枚均匀硬币