3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域.ppt

3 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 1 3 3 1二元一次不等式 组 与平面区域 一 学习目标 了解不等式 组 的数学模型的建立 了解二元一次不等式的解的几何意义 初步掌握运用平面区域表示二元一次不等式 组 的解集 在现实生活和数学中 我们会遇到各种不同的不等关系 需要用不同数学模型来刻画和研究 比如下面的问题 一 问题引入 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款 希望这笔资金至少可带来30000元的收益 其中从企业贷款中获益12 从个人贷款中获益10 那么 信贷部该如何分配资金呢 二 讲授新课 1 建立二元一次不等式模型 实际问题 转化 数学问题 文字语言 转化 符号语言 设用于企业贷款的资金为x元 用于个人贷款的资金为y元 条件 1 资金总数为25000000元 第一步 用变量 和 表示资金 第二步将文字语言转化为符号语言 x 250000000 条件 2 预计企业贷款创收12 个人贷款创收10 共创收30000元以上 即 条件 3 用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值 将 合在一起 得到分配资金应满足的条件 1 二元一次不等式 含有两个未知数 并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式 2 二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 2 二元一次不等式和二元一次不等式组及其解集的定义 3 二元一次不等式 组 的解集 满足二元一次不等式 组 的x和y的取值构成有序实数对 x y 所有这样的有序实数对 x y 构成的集合称为二元一次不等式 组 的解集 3 探究二元一次不等式 组 的解集表示的图形 二元一次不等式 组 的解是有序实数对 有序数对可以如何表示 直角坐标系内的点 思考 一元一次不等式 组 的解集可以表示为数轴上的区间 在直角坐标系内 二元一次不等式 组 的解集表示什么图形 问题 在平面直角坐标系中 x y 6表示的点的集合表示什么图形 x y 6呢 如图 在平面直角坐标系内 x y 6表示一条直线 平面内所有的点被直线分成三类 第一类 在直线x y 6上的点 第二类 在直线x y 6左上方的区域内的点 第三类 在直线x y 6右下方的区域内的点 验证 设点P x y1 是直线x y 6上的点 选取点A x y2 使它的坐标满足不等式x y 6 请完成下面的表格 新知探究 O 新知探究 当点A与点P有相同的横坐标时 它们的纵坐标有什么关系 直线x y 6左上方点的坐标与不等式x y 6有什么关系 直线x y 6右下方点的坐标呢 O A点纵坐标大于P点纵坐标 左上方点的坐标满足不等式 右下方点的坐标不满足不等式 新知探究 结论 在平面直角坐标系中 以二元一次不等式x y 6的解为坐标的点都在直线x y 6的左上方 反过来 直线x y 6左上方的点的坐标都满足不等式x y 6 x y 6呢 满足不等式x y 6的点 在平面直角坐标系中 不等式x y 6表示直线x y 6左上方的平面区域 如图 类似的 二元一次不等式x y 6表示直线x y 6右下方的区域 如图 直线x y 6叫做这两个区域的边界 一般地 在平面直角坐标系中 二元一次不等式Ax By C 0表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 把直线画成虚线 以表示区域不包括边界 不等式Ax By C 0表示的平面区域包含边界 把边界画成实线 结论 虚实分明 4 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax By C 0同一侧的所有点 把它的坐标 代入Ax By C 所得到实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域 特殊地 当C 0时 常把原点作为此特殊点 4 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 在直线Ax By C 0的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域 即把特殊点 x0 y0 代入不等式Ax By C 0 如果不等式成立 那么含特殊点 x0 y0 的这一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 如果不等式Ax By C 0不成立 那么Ax By C 0的另一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 即 直线定界 特殊点定域 有等号画实线 无等号画虚线 C 0时 常把原点 0 0 作为特殊点 C 0时 可取其他特殊点 如 1 0 或 0 1 应该注意的两个问题 1 若不等式中不含等号 则边界画成虚线 否则画成实线 2 画图时应非常准确 否则将得不到正确结果 1 二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的判断方法 复习 例1 画出不等式x 4y 4表示的平面区域 解 1 先画直线x 4y 4 0 画成虚线 2 取原点 0 0 代入x 4y 4 0 4 0 4 4 0 原点在x 4y 4 0表示的平面区域内 不等式x 4y 4 0表示的区域如图所示 特殊点定域 例题分析 分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域 1 x y 5 0 2 x y 0 3 x 3 课堂练习1 y 3x 12x 2y 的解集 例2 用平面区域表示不等式组 0 x y 3x y 12 0 x 2y 0 三 例题示范 4 8 4 8 12 分析 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集 因而要各个不等式所表示的平面区域的公共部分 y 3x 12 X 2y 0 此区域为所求 应用举例 例题选讲 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 2x y 6 0 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 x y 0 x 3 x y 5 0 5 5 例2 画出不等式组表示的平面区域 例题分析 B D 课本P86T1 2 3 课堂练习2 3 不等式组 B 表示的平面区域是 1 二元一次不等式Ax By C 0 或 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 小结 1 二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的判断方法 新知形成 小结 平面区域的判别方法 由于对在直线 同一侧的所有点 把它的坐标 代入 所得到实数的符号都相同 所以只需在此直线在直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax By C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的区域 当C 0时 常把原点作为特殊点 当C 0时 可用 0 1 或 1 0 当特殊点 若 或 时可把直线画成虚线 若 或 时 可把直线画成实线 六 作业 教材第93页A组 第1题和第2题 4 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 在直线Ax By C 0的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域 即把特殊点 x0 y0 代入不等式Ax By C 0 如果不等式成立 那么含特殊点 x0 y0 的这一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 如果不等式Ax By C 0不成立 那么Ax By C 0的另一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 即 直线定界 特殊点定域 有等号画实线 无等号画虚线 C 0时 常把原点 0 0 作为特殊点 C 0时 可取其他特殊点 如 1 0 或 0 1 3 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 2 1 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 在直线Ax By C 0的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域 即把特殊点 x0 y0 代入不等式Ax By C 0 如果不等式成立 那么含特殊点 x0 y0 的这一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 如果不等式Ax By C 0不成立 那么Ax By C 0的另一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 即 直线定界 特殊点定域 有等号画实线 无等号画虚线 C 0时 常把原点 0 0 作为特殊点 C 0时 可取其他特殊点 如 1 0 或 0 1 2 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 应用举例 例题选讲 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 2x y 6 0 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 分析 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 解 不等式 表示直线 上及右下方的点的集合 表示直线 上及右上方的点的集合 表示直线 上及左方的点的集合 x y 0 x y 5 0 x 3 x y 0 x 3 x y 5 0 5 5 例2 画出不等式组表示的平面区域 例题分析 例3 画出不等式 x 2y 1 2x y 2 0表示平面区域 x y o x 2y 1 0 2x y 2 0 例4 由直线x y 2 0 x 2y 1 0和2x y 1 0围成的三角形区域 包括边界 用不等式可表示为 y o x X y 2 0 2x y 1 0 X 2y 1 0 1 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 在直线Ax By C 0的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域 即把特殊点 x0 y0 代入不等式Ax By C 0 如果不等式成立 那么含特殊点 x0 y0 的这一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 如果不等式Ax By C 0不成立 那么Ax By C 0的另一侧就是不等式Ax By C 0所表示的平面区域 即 直线定界 特殊点定域 有等号画实线 无等号画虚线 C 0时 常把原点 0 0 作为特殊点 C 0时 可取其他特殊点 如 1 0 或 0 1 3 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 3 1 二元一次不等式表示平面区域 复习回顾 相应直线某一侧 有时可包含直线本身 所有点组成的平面区域 2 判定方法 口诀 直线定界 特殊点 有等号画实线 无等号画虚线 C 0时 常把原点 0 0 作为特殊点 C 0时 可取其他特殊点 如 1 0 或 0 1 3 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 例1 已知点 3 1 和 4 6 在直线3x 2y a 0两侧 求a的取值范围 解 由题意可得 7 a 24 a 0 即 a 7 a 24 0 所以 7 a 24 例2 画出不等式 x 2y 1 2x y 2 0表示平面区域 x y o x 2y 1 0 2x y 2 0 二 例题选讲 例题3 要将两种大小不同的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 需A B C三种规格的小钢板的成品分别为15 18 27块 用数学式子和图形表示上述要求 解 设需截第一种钢板x张 第二种钢板y张 则 作出平面区域 右图 x O y 4 4 8 8 12 16 20 24 12 28 16 2 4 16 O y 6 6 16 14 12 8 10 4 28 24 20 8 2 x 12 A x 3y 27 x 2y 18 2x y 15 1 通过设变量建立数学模型 不等式模型2 作出与不等式相对应的直线 3 确定每个不等式的解集表示的平面区域4 标出公共区域 总结 例4一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 提示1 作出平面区域为一直角三角形 S 6 提示2 观察平面区域0 x 3 可得整d有 1 1 1 2 2 1 变式 若将条件改为x 0 y 0呢 整点有 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 3 0 面积S 4 4 2 8 提示1 讨论去绝对值是关键 提示2 作图得到平面区域是正方形 面积S 8 提示 通过讨论可以作出其图形为正方形 变式练习2 若实数x y满足不等式 x 1 y 1 2 试求 答案 1 5 3 3 1二元一次不等式 组 与平面区域 一 学习目标 了解不等式 组 的数学模型的建立 了解二元一次不等式的解的几何意义 初步掌握运用平面区域表示二元一次不等式 组 的解集 变式一 画出不等式 x 2y 1 x y 4 0表示的平面区域 变式二 由直线x y 2 0 x 2y 1 0和2x y 1 0围成的三角形区域 包括边界 用不等式可表示为 答案 答案 Back