3.6函数的单调性.ppt

3 6函数的单调性 05 03 2020 问题 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性 1 一般地 对于给定区间上的函数f x 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 2 由定义证明函数的单调性的一般步骤 1 设x1 x2是给定区间的任意两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 并变形 3 判断差的符号 从而得函数的单调性 一 复习引入 例1 讨论函数y x2 4x 3的单调性 解 取x1f x2 所以y f x 在区间 2 单调递减 当20 f x1 f x2 所以y f x 在区间 2 单调递增 综上 y f x 单调递增区间为 2 y f x 单调递减区间为 2 单增区间 1 和 1 单减区间 1 0 和 0 1 例2 讨论函数的单调性 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 如 y x 1 x 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过单调函数的图象来考察一下 单调性的判别法 从几何图形上看 表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时 曲线总是上升 或下降 的 这就启示我们 能否利用导数的符号来判定单调性 进一步 若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正 或负 即切线的倾角全为锐 或钝 角 曲线就是上升 或下降 的 二 讲授新课 2 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 1 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 2 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 3 当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 该点为函数单调性的转折点 结论 一般地 设函数y f x 在某个开区间内可导 则函数在该区间如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常值函数 应用 由于函数的单调性与其导数有关 即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性 1 求函数的定义域 2 求函数的导数 函数的定义域是 3 令以及 求自变量的取值范围 即函数的单调区间 令2x 4 0 解得x 2 即时 是减函数 令2x 4 0 解得x 2 即时 是增函数 例3 确定函数 在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 例4 求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 解 函数的定义域为R 令6x2 12x 0 解得x2 则f x 的单调递增区间为 0 和 2 再令6x2 12x 0 解得0 x 2 则f x 的单调递减区间为 0 2 注 当x 0或2时 f x 0 即该点为函数单调性的转折点 f x 6x2 12x 总结 根据导数确定函数的单调性一般需三步 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 例5 研究y x3的单调性 例7 求函数f x x2 lnx2的单调区间 练习1 讨论函数的单调性 练习3 求函数y x 2sinx 0 x 2 单调区间 练习2 证明 方程只有一个实根 1 函数f x x3 3x 1的递减区间为 A 1 1 B 1 2 C 1 D 1 1 2 若函数y a x3 x 的递减区间为 则a的取值范围为 A a 0 B 11 D 0 a 1 3 当x 2 1 时 f x 2x3 3x2 12x 1是 A 增函数 C 部分单调增