3.5拉格朗日中值定理与洛必达法则.doc

子项目3.1 拉格朗日中值定理与洛必达法则能力目标：了解拉格朗日中值定理及几何意义;掌握用洛必达法则求和未定式的极限.任务引入： 求的值.任务分析： 对于这个极限,当时,分子和分母同时都趋向于零,用我们原来几种求极限的方法都不能解决,学了本项目以后我们将很轻松的求出这类极限的值.相关知识：1.了解拉格朗日中值定理及其几何意义.2.掌握用洛必达法则求型和型未定式极限的方法.一、拉格朗日(Lagrange)中值定理Th 3.1（拉格朗日中值定理）： 设函数f(x)满足下列条件： (1)在闭区间上连续； (2)在开区间内可导，则在内至少存在一点,( 与有关)，使得 (3-1)定理证明从略.定理的几何意义：因为等式(5-1)的右面表示连接端点的线段所在直线的斜率，定理表示，如果在上连续，且除端点外在每一点都存在切线，那么至少有一点处xxyabPOAB的切线与平行例1：验证在区间上拉格朗日中值定理成立，并求x解：显然在上连续且在上可导，所以拉格朗日中值定理成立 , 令 ，即，得所以，例2：证明当时，不等式成立。证：设，则在区间上连续，在内可导，由拉格朗日定理，得 于是，有.例3：证明不等式 对任意成立证：改写欲求证的不等式为如下形式： ， (1)因为在上连续，在内可导，所以据拉格朗日中值定理有 ,，因为，所以(1)成立原不等式得证注：拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式如 或,； , ( 在之间)； (3-2)或,； (3-3)一般称(5-3)形式为拉格朗日中值定理的增量形式，其中的中间值与区间端点有关推论1如果，则(, C为常数)，即在内为一个常数函数证：在内任取两点 (不妨设)因为，所以在上连续，在内可导于是由拉格朗日中值定理有 又因对内一切都有在之间，当然在内，所以，于是得，即 既然对于内任意两点都有，那就说明在内是一个常数以前我们证明过“常数的导数等于零”，推论1说明它的逆命题也是对的推论2如果，则, (, C为常数)证：因为，据推论1，得 , (, C为常数)，移项即得结论 二、洛必达法则若当时，两个函数都是无穷小或无穷大，则求极限时不能直接用商的极限运算法则，其结果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而异因此常把两个无穷小之比或无穷大之比的极限，称为型或型未定式（也称为型或型未定型）极限1.型未定式Th 2（罗必塔(LHospital)法则）：设函数和满足： (1)，； (2)函数在的某个邻域内（点 可除外）可导，且； (3), (可以是有限数，也可为)，则 注：法则对于时的型未定式同样适用例4：求下列型未定式的极限（1）； （2）； （3）.解：（1）这是型未定式，由罗必塔法则，得 （2）这是型未定式，由罗必塔法则，得 （3）极限是型未定式，使用罗必塔法则得 ；最后的极限仍然是极限是型未定式，继续使用罗必塔法则得 2.型未定式 Th 3（罗必塔(LHospital)法则II）：设函数和满足： (1) ， ； (2)函数在的某个邻域内（点 可除外）可导，且； (3), (可以是有限数，也可为)，则 注：与法则相同，定理对于时的型未定式同样适用，并且对使用后的得到的或型未定式，只要导数存在，可以连续使用例5： 用洛必达法则求下列极限（1）； （2） (为自然数)； （3）(为自然数)解：（1）(型未定式) ( 型未定式) （2）（3）例6：求解：（本例虽属于型，但是不存在，因此洛必达法则无效，应考虑其他方法进行计算。）在使用罗必塔法则时，应注意如下几点： (1)每次使用罗必塔法则时，必须检验极限是否属于型或型未定式，如果不是这种未定式就不能使用该法则； (2)如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，然后再利用罗必塔法则，以简化演算步骤； (3)当不存在时，并不能断定不存在，此时应使用其他方法求极限例7： 证明存在，但不能用罗必塔法则求其极限证：，所给的极限存在为0 又因为这是型未定式，可利用罗必塔法则，得 ，最后的极限不存在，所以所给的极限不能用罗必塔法则求出3.其他类型的未定式对函数在求的极限时，除型与型未定式之外，还有下列一些其他类型的未定式： (1)型：的极限为0、的极限为或相反，求的极限； (2)型：的极限为，求的极限； (3)型：的极限为1、的极限为，求的极限； (4)型：的极限为0，求的极限； (5) 型：的极限为、的极限为0，求的极限这些类型的极限，也不能机械地使用极限的运算法则来求，其极限的存在与否因式而异这些类型的未定式，可按下述方法处理：对（1）（2）两种类型，可利用适当变换将它们化为型或型未定式，再用罗必塔法则求极限；对（3）（4）（5）三种类型未定式，则直接用化为型例8：求下列极限（1） ； （2）； （3） 解：（1）这是型未定式，可将其化为型未定式 （2）这是型未定式，通过“通分”将其化为型未定式 （3）这是型未定式，将其化为型，再将其型未定式 练习题3-1 1. 判断题 (1)设函数在上有定义，在内可导，则至少有一点，