3.3.2简单的线性规划问题.ppt

3 3 2简单的线性规划问题 2课时 一 导学提示 自主学习二 新课引入 任务驱动三 新知建构 典例分析四 当堂训练 针对点评五 课堂总结 布置作业 3 3 2简单线性规划问题 2课时 一 导学提示 自主学习 1 本节学习目标 1 了解线性规划的意义以及约束条件 线性目标函数 可行域 最优解等相关的基本概念 2 了解线性规划的图解法 并会用图解法求线性目标函数的最大 小 值 3 掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤 学习重点 线性规划的图解法学习难点 寻求线性规划问题的最优解 一 导学提示 自主学习 2 本节主要题型题型一求线性目标函数的最值题型二线性规划的实际应用3 自主学习教材P87 P913 3 2简单的线性规划问题 1 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 2 二元一次不等式组表示的平面区域 直线定界 特殊点定域 各个不等式所表示的平面区域的公共部分 二 新课引入 任务驱动 一 知识回顾 通过本节的学习你能掌握简单的线性规划问题的解法及步骤吗 二 任务驱动 二 新课引入 任务驱动 三 新知建构 典例分析 一 简单线性规划有关概念二 简单线性规划问题解题步骤 某工厂用A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天工作8小时计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 若生产1件甲种产品获利2万元 生产1件乙种产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 三 新知建构 典例分析 问题引入 把问题1的有关数据列表表示如下 设甲 乙两种产品分别生产x y件 将上面不等式组表示成平面上的区域 区域内所有坐标为整数的点P x y 安排生产任务x y都是有意义的 设甲 乙两种产品分别生产x y件 由己知条件可得 问题 求利润2x 3y的最大值 若设利润为z 则z 2x 3y 这样上述问题转化为 当x y在满足上述约束条件时 z的最大值为多少 当点P在可允许的取值范围变化时 M 4 2 问题 求利润z 2x 3y的最大值 象这样关于x y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件 Z 2x 3y称为目标函数 因这里目标函数为关于x y的一次式 又称为线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数的最值问题 统称为线性规划 一 线性规划有关概念 满足线性约束的解 x y 叫做可行解 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解 变式 若生产一件甲产品获利1万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 N 2 3 变式 求利润z x 3y的最大值 线性规划有关概念 17 2 画 画出线性约束条件所表示的可行域 3 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 4 求 通过解方程组求出最优解 5 答 作出答案 1 找找出线性约束条件 目标函数 二 线性规划问题解题步骤 三 新知建构 典例分析 说明 二 最优解一般在可行域的顶点处取得 也有可能在边界处取得 四 在哪个顶点取得不仅与B的符号有关 而且还与直线Z Ax By的斜率有关 一 先定可行域和平移方向 再找最优解 三 新知建构 典例分析 三 求线性目标函数的最优解 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 与y轴上的截距相关的数 2 典例分析 题型一求线性目标函数的最值题型二线性规划的实际应用 三 新知建构 典例分析 x 4y 3 例1 已知变量x y满足3x 5y 25 求z 2x y的 x 1 最大值和最小值 思维突破 把z看成直线在y轴上的截距 先画出可行域 再求z的最值 三 新知建构 典例分析 题型一 求线性目标函数的最值 自主解答 作出不等式组所表示的可行域 如图 设直线l0 2x y 0 直线l 2x y z 则z的几何意义 是直线y 2x z在y轴上的截距 显然 当直线越往上移动时 对应在y轴上的截距越大 即z越大 当直线越往下移动时 对应在y轴上的截距越小 即z越小 三 新知建构 典例分析 作一组与直线l0平行的直线系l 上下平移 可得 点A 5 2 时 zmax 2 5 2 12 当直线l移动到直线l2时 即过 当直线l移动到直线l1时 即过点B 1 1 时 zmin 2 1 1 正确作出可行域后 将目标函数变为直线方程 的斜截式的形式 应注意该直线在y轴上的截距与目标函数z取值的关系 再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关系 以便准确找到最优解 3 三 新知建构 典例分析 y 1 例2 已知实数x y满足y 2x 1 x y m 如果目标函数z x y的最小值为 1 则实数m A 7 B 5 C 4 D 3 思维突破 画出x y满足的可行域 可得直线y 2x 1与直线x y m的交点使目标函数z x y取得最小值 三 新知建构 典例分析 答案 B 三 新知建构 典例分析 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用 一 在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用它们来完成最多的任务 二 给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的人力 物力 资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用 三 新知建构 典例分析 题型二 线性规划的实际应用 例3 营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1kg食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物A和食物B多少kg 三 新知建构 典例分析 分析 将已知数据列成表格 三 新知建构 典例分析 解 设每天食用xkg食物A ykg食物B 总成本为z 那么 目标函数为 z 28x 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 1 找 三 新知建构 典例分析 把目标函数z 28x 21y变形为 x y o 57 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率为纵截距随z变化的一组平行直线 是直线在y轴上的截距 当截距最小时 z的值最小 M 如图可见 当直线z 28x 21y经过可行域上的点M时 纵截距最小 即z最小 2 画 3 移 M点是两条直线的交点 解方程组 得M点的坐标为 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物A143g 食物B约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 4 求 5 答 31 解线性规划问题的步骤 1 2 画 画出线性约束条件所表示的可行域 2 3 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 4 求 通过解方程组求出最优解 4 5 答 作出答案 1 找找出线性约束条件 目标函数 三 新知建构 典例分析 例4 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规示 格的小钢板的块数如下表所 解 设需截第一种钢板x张 第二种钢板y张 钢板总张数为Z则 2x y 15 x 2y 18 x 3y 27 x 0 y 0 某顾客需要A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 若你是经理 问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少 分析问题 标目函数 z x y 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 直线x y 12经过的整点是B 3 9 和C 4 8 它们是最优解 作出直线L x y 0 目标函数 z x y A 3 6 7 8 当直线L经过点A时z x y 11 4 x y 12 解得交点B C的坐标B 3 9 和C 4 8 2 4 6 18 12 8 27 2 4 6 8 10 15 但它不是最优整数解 作直线x y 12 约束条件 画可行域 平移L找交点及交点坐标 调整优解法 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 经过可行域内的整点B 3 9 和C 4 8 且和原点距离最近的直线是x y 12 它们是最优解 作出一组平行直线t x y 目标函数t x y 打网格线法 在可行域内打出网格线 当直线经过点A时t x y 11 4 但它不是最优整数解 将直线x y 11 4继续向上平移 1 2 1 2 18 27 15 9 7 8 在可行域内找出最优解 线性规划整数解问题的一般方法是 1 若区域 顶点 处恰好为整点 那么它就是最优解 在包括边界的情况下 2 若区域 顶点 不是整点或不包括边界时 应先求出该点坐标 并计算目标函数值Z 然后在可行域内适当放缩目标函数值 使它为整数 且与Z最接近 在这条对应的直线中 取可行域内整点 如果没有整点 继续放缩 直至取到整点为止 3 在可行域内找整数解 一般采用平移找解法 即打网络 找整点 平移直线 找出整数最优解 例5 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 并计算生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 解 设x y分别为计划生产甲 乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 x y o 例6在上一节例4 P85 中 若生产1车皮甲种肥料 产生的利润为10000元 生产1车皮乙种肥料 产生的利润为5000元 那么分别生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大利润 解 设生产甲种肥料x车皮 乙种肥料y车皮 能够产生利润Z万元 目标函数为 可行域如图 把z x 0 5y变形为 得到斜率为 2 在y轴上的截距为2z 随z变化的一族平行直线 由图可以看出 当直线y 2x 2z经过可行域上的点M时 截距2z最大 即Z最大 解方程组 得M的坐标为 2 2 所以 答 生产甲种 乙种肥料各2车皮 能够产生最大利润 最大利润为3万元 即先求非整数条件下的最优解 调整Z的值使不定方程Ax By Z存在最大 小 的整点值 最后筛选出整点最优解 即先打网格 描出可行域内的整点 平移直线 最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解 线性规划求最优整数解的一般方法 1 平移找解法 2 调整优解法 三 新知建构 典例分析 x 2y 4 0 1 已知实数x y满足约束条件2x y 2 0 3x y 3 0 则目标 函数z x 2y的最大值的可行解为 2 3 四 当堂训练 针对点评 变式训练1 1 x y 5 0 2 已知x y满足x 3 x y k 0 且z 2x 4y的最小值 为 6 则常数k A 2 B 9 C 3 D 0 解析 画图后知 当x 3时z 2x 4y取最小值 6 D 四 当堂训练 针对点评 2 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3000元 2000元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B上加工1件甲所需工时分别为1h 2h A B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h 如何安排生产可使收入最大 解 设每月生产甲产品x件 生产乙产品y件 每月收入为z 目标函数为Z 3x 2y 满足的条件是 变式训练2 1 Z 3x 2y变形为它表示斜率为的直线系 Z与这条直线的截距有关 X Y O 400 200 250 500 当直线经过点M时 截距最大 Z最大 M 解方程组 可得M 200 100 Z的最大值Z 3x 2y 800 故生产甲产品200件 乙产品100件 收入最大 为80万元 五 课堂总结 布置作业 1 课堂总结 1 涉及知识点 简单的线性规划问题 2 涉及数学思想方法 转化与回归思想 数形结合思想 分类与整合思想 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次解析式 1 目标函数 要求最值的函数 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 可行解 满足线形约束条件的解叫做可行解 可行域 由