高中数学第一章1.3二项式定理1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学案.docx

1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学三点剖析一、增减性与最值问题【例1】 在（1+2x）10的展开式中，（1）求系数最大的项；（2）若x=2.5,则第几项的值最大？解析：（1）设第r+1项的系数最大，由通项公式Tr+1=2rxr，依题意Tr+1项的系数不小于Tr项及Tr+2项的系数，即，解得.r且rZ,r=7,故系数最大项为T8=27x7=15 360x7.(2)设展开式中的第r+1项的值最大，则Tr+1Tr0,Tr+1Tr+20,.将x=2.5代入得,得r.r=9,即展开式中的第10项的值最大.二、“二项式系数和”、“系数和”问题【例2】 已知（1-3x）8=a0+a1x+a7x7+a8x8.求（1）a0+a1+a8;(2)a0+a2+a4+a6+a8;(3)|a0|+|a1|+|a2|+|a8|.解析：（1）令x=1，得a0+a1+a8=28=256. (2)令x=-1，得a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=48 +得2(a8+a6+a4+a2+a0)=28+48.a8+a6+a4+a2+a0=(28+48)=32 896.(3)由于（1-3x）8=C08+ (-3x)+ (-3x)2+(-3x)8=a0+a1x+a2x2+a8x8故a0,a2, ,a80，a1,a3, ,a80，|a0|+|a1|+|a2|+|a8|=a0-a1+a2-a3+a8.由可知|a0|+|a1|+|a8|=48=65 536.三、与“杨辉三角”有关的问题【例3】 如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数，起始行（第0行）为1，每一个数都等于脚下两数之和.（1）试填写第1行和第2行，填法是否唯一，并说明理由.（2）注意第n行（n=0,1,2,）的第1个数为1n+1，猜想此时第n行第r个数（不证明）.解析：（1）=1,(m,nN*),则有,n与n-1互质，故m=2,n=2,第一行为,令= (m,nN*),则有.当n-2=1时，n=3,m=6;当n-2=2时，n=4,m=4;当n-2是n的约数时，记n=R(n-2)(RN*),(R-1)n=2R,R与R-1互质，所以R-1=2，R=3，此时n=3,进而知m=6.故第二行填法不唯一，可为，也可为，.（2）猜想：令第3行第1个数为，则第3行各数依次为，.第1行：;第2行：;第3行：；第n行：,.猜想第n行第r个数为.各个击破【类题演练1】已知f(x)=(1+x) m+(1+2x)n,(m,nN)的展开式中x的系数为11，求：（1）x2的系数的最小值.(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中的x的奇次幂项的系数之和.解析：（1）由已知+2=11,m+2n=11,x2的系数为+2n(n-1)=(m-)2+,mNm=5时，x2的系数取得最小值22，此时n=3.(2)由（1）知，当x2系数取得最小值22时n=3.f(x)=(1+x)5+(1+2x)3设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a5x5令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1相减得2（a1+a3+a5）=60故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.【变式提升1】已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20 000，求x的值.解析：由题意+=22即+=22,n=6,第4项的二项式系数最大，（xlgx）3=20 000即x 3lgx=1 000x=10,或.【类题演练2】一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（ ）A.20 B.219 C.220 D.220-1解析：-1.答案：D【变式提升2】证明：（）2+()2+()2=,并求()2+()2+()2的值.证明：比较（1+x）n(1+x)n=(1+x)2n两边x的系数.左边xn的系数为+,右边xn的系数为+=()2+()2+()2=()2+()2+()2=252.【类题演练3】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14与第15个数的比为23.解析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言.设所求的行数为n，将条件转换为组合数语言，得,即，解得n=34.答案：34【变式提升3】设an是集合2t+2s|0st,且t,sZ中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图的三角形数表.（1）写出这个三角形数表的