3刚体定轴转动.ppt

第三章刚体的定轴转动 物体的形状和大小不发生变化 即物体内任意两点之间的距离都保持不变 刚体 说明1 理想化的力学模型 2 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变 3 刚体可以看成是无数质点组成的质点系刚体可以看成一个包含由大量质点 而各个质点间距离保持不变的质点系 第3章刚体的定轴转动 3 1刚体运动描述 3 1刚体运动描述 1 平动 当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时 或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时 刚体的运动叫作平动 2 转动 刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动 这种运动称为转动 这条直线叫作转轴 一 刚体运动 瞬时转轴 转轴随时间变化 一般转动固定转轴 转轴不随时间变化 刚体定轴转动 定轴转动的特点 各质点都作圆周运动 各质点圆周运动的平面垂直于轴线 圆心在轴线上 各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同 3 刚体的一般运动 一个汽车轮子在地上的滚动 A B C 各点的运动都不相同 刚体的运动 平动 转动 二 刚体定轴转动的描述 角位置 1 定轴转动的角量描述 角位移 角速度 角加速度 2 角量和线量的关系 矢量表示 例题1 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用 在5s内角速度由15rad s匀减速地降到10rad s 求 1 角加速度 2 在此5s内转过的圈数 3 还需要多少时间轮子停止转动 解根据题意 角加速度为恒量 1 利用公式 2 利用公式 5秒内转过的圈数 3 再利用 3 2转动动能与转动惯量 一 转动动能 对由n个质点组成的质点系中第i个质点 有 刚体上所有质元都以同一角速度作圆周运动 第i个质元动能为 刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半 则得 质点系的转动惯量 单位为千克 米2 kg m2 2 转动惯量的计算 与转动惯量有关的因素 总质量 质量分布与转轴的位置 单个质点的转动惯量 质量连续分布的刚体的转动惯量 注意 只有对于几何形状规则 质量连续且均匀分布的刚体 才能用积分计算出刚体的转动惯量 例1 求质量为m 半径为R的均匀圆环的转动惯量 轴与圆环平面垂直并通过圆心 解 J是可加的 所以若为薄圆筒 不计厚度 结果相同 例2 求质量为m 半径为R 厚为l的均匀圆盘的转动惯量 轴与盘平面垂直并通过盘心 解 取半径为r宽为dr的薄圆环 可见 转动惯量与l无关 所以实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2 2 例3 求长为L 质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量 解 取如图坐标 dm dx 平行轴定理 前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量 JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量 两轴平行 相距L 2 可见 推广上述结论 若有任一轴与过质心的轴平行 相距为d 刚体对其转动惯量为J 则有 J JC md2 这个结论称为平行轴定理 练习 右图所示 刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算 棒长为L 球半径为R 3 3刚体定轴转动定律 2 对轴的力矩 第一项 方向垂直于轴 其效果是改变轴的方位 在定轴问题中 与轴承约束力矩平衡 不影响物体绕轴转动状态 第二项 方向平行于轴 其效果是改变物体绕轴转动状态 称为力对轴的矩 在轴上选择正方向 可以将其表为代数量 z 对质元应用牛顿定律 把刚体看成是由许多质点所组成的 对于质点i 假设它的质量为 mi 所受的外力为Fi 内力为fi 则 二 刚体的转动定律 每对内力的力矩之和等于零 角加速度对所有质量元都相等 于是有 写成矢量形式 m反映质点的平动惯性 J反映刚体的转动惯性 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因 刚体定轴转动的转动定律的应用 例1 一个质量为M 半径为R的定滑轮 当作均匀圆盘 上面绕有细绳 绳的一端固定在滑轮边上 另一端挂一质量为m的物体而下垂 忽略轴处摩擦 求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度 mg mg 解 例2 质量为M的匀质圆盘 可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动 绕过盘的边缘有质量为m 长为l的匀质柔软绳索 如图 设绳与圆盘无相对滑动 试求当圆盘两侧绳长差为s时 绳的加速度的大小 用隔离法列方程 以逆时针方向为正 解得 比较 四 定轴转动的动能定律 1 转动动能 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半 2 力矩的功 式中 对i求和 得 力矩的功率为 当输出功率一定时 力矩与角速度成反比 3 刚体定轴转动的动能定理 当 1时 1所以 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量 刚体定轴转动的动能定理 例3 一根长为l 质量为m的均匀细直棒 其一端有一固定的光滑水平轴 因而可以在竖直平面内转动 最初棒静止在水平位置 求它由此下摆 角时的角加速度和角速度 解 棒下摆为加速过程 外力矩为重力对O的力矩 棒上取质元dm 当棒处在下摆 角时 该质量元的重力对轴的元力矩为 重力对整个棒的合力矩为 代入转动定律 可得 1 刚体定轴转动的角动量 刚体上的一个质元 绕固定轴做圆周运动角动量为 所以刚体绕此轴的角动量为 刚体对固定转动轴的角动量L 等于它对该轴的转动惯量和角速度的乘积 3 5刚体的角动量定理和角动量守恒定律 2 刚体定轴转动的角动量定理 由转动定律 得 积分得 当转动惯量一定时 当转动惯量变化时 刚体的角动量定理 当转轴给定时 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若刚体所受的合外力矩为零 即M 0 角动量守恒定律 当刚体所受的合外力矩为零 或者不受合外力的作用 则刚体的角动量保持不变 讨论 分两种情况 1 如果转动惯量不变 刚体作匀速转动 2 如果转动惯量发生改变 则刚体的角速度随转动惯量也发生变化 但二者的乘积不变 当转动惯量变大时 角速度变小 当转动惯量变小时 角速度变大 花样滑冰运动员的旋转表演 例1 如图所示 一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端 穿出后速度损失3 4 求子弹穿出后棒的角速度 已知棒长为l 质量为M 解 以f代表棒对子弹的阻力 对子弹有 子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为 因f f由两式得 例3 如图所示 将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点 杆的质量m与单摆的摆锤相等 开始时直杆自然下垂 将单摆的摆锤拉到高度h0 令它自静止状态下垂 于铅垂位置和直杆作弹性碰撞 求碰撞后直杆下端达到的高度h 解 碰撞前单摆摆锤的速度为 令碰撞后直杆的角速度为 摆锤的速度为v 由角动量守恒 有 在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的 二式联立解得 按机械能守恒 碰撞后摆锤达到的高度显然为 而杆的质心达到的高度满足 由此得 例4 一半径为R 质量为M的转台 可绕通过其中心的竖直轴转动 质量为m的人站在转台边缘 最初人和台都静止 若人沿转台边缘跑一周 不计阻力