3向量组与矩阵的秩.ppt

第三章向量组与矩阵的秩 第一节n维向量 第二节线性相关与线性无关 第三节线性相关性的判别定理 第四节向量组的秩与矩阵的秩 第五节矩阵的初等变换 第六节初等矩阵与求矩阵的逆 第七节向量空间 1n维向量 返回 上一页 下一页 定义1设P是由一些复数组成的集合 其中包括0与1 如果P中任意两个数 这两个数可以相同 的和 差 积 商 除数不为零 仍然是P中的数 那么P就称为一个数域 显然 全体有理数组成的集合 全体实数组成的集合 全体复数组成的集合都是数域 这三个数域一般分别用字母Q R C来表示 全体整数组成的集合不是数域 用小写的粗黑体字母来表示向量 返回 上一页 下一页 数a1 a2 an称为这个向量的分量 ai称为这个向量的第i个分量或坐标 分量都是实数的向量称为实向量 分量都是复数的向量称为复向量 n维行向量可以看成1 n矩阵 n维列向量也常看成n 1矩阵 设k和l为两个任意的常数 为任意的n维向量 其中 返回 上一页 下一页 定义3如果和对应的分量都相等 即ai bi i 1 2 n就称这两个向量相等 记为 定义4向量 a1 b1 a2 b2 an bn 称为与的和 记为 称向量 ka1 ka2 kan 为与k k P 的数量乘积 简称数乘 记为 返回 上一页 下一页 定义5分量全为零的向量 0 0 0 称为零向量 记为0 与 1的数乘 1 a1 a2 an 称为的负向量 记为 向量的减法定义为 返回 上一页 下一页 满足 1 8 的运算称为线性运算 返回 上一页 下一页 向量的加法与数乘性质 2线性相关与线性无关 矩阵与向量的关系 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组 n维行向量组可以排列成一个s n分块矩阵 其中为由A的第i行形成的子块 称为A的行向量组 n维列向量组可以排成一个n s矩阵 其中为由B的第j列形成的子块 称为B的列向量组 返回 上一页 下一页 定义6向量组称为线性相关的 如果有P中不全为零的数k1 k2 ks 使 反之 如果只有在k1 k2 ks 0时上式才成立 就称线性无关 返回 上一页 下一页 当是行向量组时 它们线性相关就是指有非零的1 s矩阵 k1 k2 ks 使 当为列向量时 它们线性相关就是指有非零的s 1矩阵 使 返回 上一页 下一页 定义7向量 称为向量组 t的一个线性组合 或者说 可由向量组 t线性表出 示 如果有P中 经常省略P中 常数k k kt使 k k kt t 此时 也记 若所给向量均为行向量 则有 若所给向量均为列向量 则有 返回 上一页 下一页 也可用矩阵形式表示 解假设存在一组常数k1 k2 kn使得 所以 即k1 k2 kn 0 因此线性关 返回 上一页 下一页 称为基本单位向量 解对任意的常数k k k3都有k k k3 3 k k3 k 2k 3k3 k 5k 6k3 例判断向量组 3 的线性相关性 所以k k k3 3 0当且仅当 返回 上一页 下一页 由 1 得 将其分别代入 2 和 3 得 取定 得方程组的一组解为 k1 1 k2 1 k3 1因此 1 1 3 3 0 所以 3线性相关 返回 上一页 下一页 例设向量组线性无关 试证向量组也线性无关 证对任意的常数x1 x2 x3都有 由线性无关 故有 由于上述方程组的解只有k1 k2 k3 0 所以线性无关 返回 上一页 下一页 设有k1 k2 k3 使 例设 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 试问 能否由 3 4线性表出 若能 写出具体表达式 解令 k k k3 3 k4 4于是得线性方程组 因为 返回 上一页 下一页 由克莱姆法则求出 所以 即 能由 3 4线性表出 返回 上一页 下一页 例设 2 3 0 0 1 2 0 7 4 试问 能否由 线性表出 由第一个方程得k 0 代入第二个方程得k 7 但k 不满足第三个方程 故方程组无解 所以 不能由 线性表出 解设 k k 于是得方程组 返回 上一页 下一页 定理1向量组 s 2 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出 证充分性 设中有一个向量能由其他向量线性表出 不妨设 所以线性相关 必要性 如果线性相关 就有不全为零的数k1 k2 ks 使 设k1 0 那么 即能由线性表出 返回 上一页 下一页 例如 向量组 是线性相关的 因为 返回 上一页 下一页 显然 向量组 线性相关就表示 k 或者 k 此时 两向量的分量成正比例 在三维的情形 这就表示向量 与 共线 三个向量 3线性相关的几何意义就是它们共面 定理2设向量组线性无关 而向量组线性相关 则能由向量组线性表出 且表示式是唯一的 证由于线性相关 就有不全为零的数k1 k2 kt k 使 即可由线性表出 由线性无关有k 0 否则 线性相关 因此 返回 上一页 下一页 设 为任意两个表达式 由 因此表示式是唯一的 返回 上一页 下一页 定理2 若 可由向量组 t线性表出 且表示式是唯一的 则 t线性无关 定义8如果向量组中每个向量都可以由线性表出 就称向量组可由线性表出 如果两个向量组互相可以线性表出 就称它们等价 如果向量组可以经向量组线性表出 向量组可以经向量组线性表出 那么向量组可以经向量组线性表出 返回 上一页 下一页 每一个向量组都可以经它自身线性表出 向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出 因而 向量组可以经向量组线性表出 如果 有 返回 上一页 下一页 向量组的等价具有下述性质 1 自反性 向量组与它自己等价 2 对称性 如果向量组与等价 那么也与等价 3 传递性 如果向量组与等价 而向量组又与等价 那么向量组与等价 返回 上一页 下一页 3线性相关性的判别定理 定理3有一个部分组线性相关的向量组线性相关 设这个部分组为 则有不全为零的数k1 k2 kr 使 证设向量组有一个部分组线性相关 因此也线性相关 推论含有零向量的向量组必线性相关 返回 上一页 下一页 称一个向量组中的一个部分向量组为原向量组的部分组 定理4设p1 p2 pn为1 2 n的一个排列 和为两向量组 其中 即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组 则这两个向量组有相同的线性相关性 证对任意的常数k1 k2 ks 返回 上一页 下一页 上两式只是各分量的排列顺序不同 因此 当且仅当 所以和有相同的线性相关性 返回 上一页 下一页 2 如果线性无关 那么也线性无关 定理5在r维向量组的各向量添上n r个分量变成n维向量组 1 如果线性相关 那么也线性相关 证对列向量来证明定理 返回 上一页 下一页 这里A1是列向量构成的r s矩阵 利用 1 式 用反证法容易证明 2 式也成立 因此 也线性相关 即 1 式成立 如果线性相关 就有一个非零的s 1矩阵X 使 返回 上一页 下一页 引理1n阶方阵A的行列式等于零的充分必要条件是A的行 列 向量组线性相关 定理6n维向量组线性无关的充要条件是矩阵 的行列式不为零 A可逆 此时 矩阵A的n个列向量也线性无关 返回 上一页 下一页 例试证明n维列向量组 n线性无关的充分必要条件是行列式 证令矩阵A n 则向量组 n线性无关 行列式 A 0 由于 返回 上一页 下一页 故 A 0 在上式两端取行列式 得 所以 n线性无关 D 0 D 0 A 2 A A D 返回 上一页 下一页 定理7n 1个n维向量组必线性相关 推论当m n时 m个n维向量组线性相关 返回 上一页 下一页 练习讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性 由于 因此 的行 列 向量组线性无关 由于 所以C的行 列 向量组线性相关 定理8如果向量组可由线性表出且s t 那么线性相关 推论1如果向量组可由线性表出 且线性无关 那么 推论2两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量 返回 上一页 下一页 4向量组的秩与矩阵的秩 定义9一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组 如果这个部分组本身是线性无关的 并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量 如果还有的话 所得的部分组都线性相关 首先 由与的分量不成比例 线性无关 再添入以后 由可知所得部分组线性相关 不难验证也为一个极大线性无关组 返回 上一页 下一页 例在向量组中 为它的一个极大线性无关组 定义9 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组 如果这个部分组本身是线性无关的 并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出 向量组的极大线性无关组具有的性质 性质1一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价 性质2一向量组的任意两个极大线性无关组都等价 性质3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 返回 上一页 下一页 因此的秩不超过的秩 定义10向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 由的极大线性无关组线性表出 线性表出 那么的极大线性无关组可 如果向量组能由向量组 定理9向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组 推论秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组 返回 上一页 下一页 例求向量组 1 1 1 0 3 2 0 1 1 2 3 1 0 1 5 4 0 0 0 2 的一个极大线性无关组及秩 解 1是 1 2 3 4的一个线性无关的部分组 显然 2不能由 1线性表示 所以 1可以扩充为一个线性无关的部分组 1 2 容易证明 3 1 2 但 4不能由 1 2线性表出 所以 1 2又可扩充为一个线性无关的部分组 1 2 4 从而 1 2 3 4的秩为3 1 2 4是它的一个极大线性无关组 返回 上一页 下一页 定义11矩阵的行秩是指它的行向量组的秩 矩阵的列秩是指它的列向量组的秩 定义12在一个s n矩阵A中任意选定k行和k列 位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k k级矩阵的行列式 称为A的一个k级子式 引理2设 n维向量组线性无关的充要条件是矩阵 中存在一个不为零的r级子式 返回 上一页 下一页 那么 A中有r1个行向量线性无关 由引理2 A中有一个r1级子式D不为零 那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关 因而 定理10矩阵的行秩等于列秩 由此A 的列秩 A的行秩r1 A 的行秩 A的列秩r2 即有 证设矩阵A的行秩为r1 A的列秩为r2 统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩 矩阵A的秩一般记为R A 规定零矩阵的秩为0 返回 上一页 下一页 因此 定理11矩阵A的秩为r的充要条件是 它有一个不为零的r阶子式 而所有r 1阶子式全为零 这时 这个非零的r级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列向量组的极大线性无关组 返回 上一页 下一页 例求矩阵A的秩 其中 解容易看出二阶子式 A的三阶子式只有 A 经计算可得 A 0 因此R A 2 解R A 3 即A中非零子式的最高阶数为3 因为 a 3 a 1 2 0 由此得a 3或a 1 返回 上一页 下一页 而当a 3时 A的左上角的3阶子式为 即A中存在非零的3阶子式 且不存在更高阶的非零子式 故当且仅当a 3时 R A 3 当a 1时 显然有R A 1 返回 上一页 下一页 5矩阵的初等变换 矩阵的初等行变换都是可逆的 且其逆变换也是同类的初等行变换 定义13下面的三种变换称为矩阵的初等行变换 1 对换矩阵两行的位置 对换第i行和第j行的位置 记为r i j 2 矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 第i行乘以k 记为r i k 3 把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去 第i行的k倍加到第j行上去 记为r j i k 返回 上一页 下一页 定理12如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B 则A的行向量组与B的行向量组等价 而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性关系 解作 返回 上一页 下一页 所以为一个极大线性无关组 且秩等于3 返回 上一页 下一页 同理 可得或或均为该向量组的极大线性无关组 返回 上一页 下一页 从每一行的第一个元素到第一个非零元素下面全为零 这些零的排列像一个阶梯 每个阶梯都只有一行 它称为一个行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且这些元素所在的列的其他元素都为0 这个矩阵称为矩阵 的行最简形 行阶梯形矩阵的特点是 若有零行 则零行全部在矩阵的下方 从第一行起 每一行第一个非零元前面的零的个数逐行增加 对于这样的矩阵 可画出一条阶梯线 线的下方全为 每个台阶只有一行 台阶数就是非零行数 返回 上一页 下一页 事实上 对行阶梯形矩阵 它的秩就是非零行的个数 例用初等变换求矩阵A的秩 返回 上一页 下一页 因为行阶梯形矩阵B1有 个非零行 所以R A 如果继续施行初等变换 还可以化为更简单的形式 行阶梯形矩阵B2的特点是 非零行的第一个非零元素为 且 所在的列的其他元素都为 这样的矩阵为行最简形矩阵 返回 上一页 下一页 若在经过列初等变换 还可以化为更简单的形式 矩阵B3称为A的标准形 其特点是 B3左上角是单位矩阵 返回 上一页 下一页 由上面讨论可知 对于m n矩阵A 总可以经过初等变换 把它化为标准形 标准形的特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为 例 定义14如果矩阵A经有限次初等变换化成B 就称矩阵A与B等价 返回 上一页 下一页 矩阵的等价关系具有下列性质 1 反身性 A与A等价 2 对称性 如果A与B等价 那么B与A等价 3 传递性 如果A与B等价 B与C等价 那么A与C等价 定理13如果矩阵A与B等价 那么R A R B 定理14每个矩阵都有等价标准型 矩阵A与B等价 当且仅当它们有相同的等价标准型 推论两个同型矩阵等价的充分必要条件是 它们的秩相等 返回 上一页 下一页 当A为n阶可逆方阵时 R n 所以A的等价标准型为n阶单位矩阵 由于可逆方阵的秩等于阶数 所以可逆方阵又称为满秩方阵 而奇异方阵就称为降秩方阵 返回 上一页 下一页 6初等变换与求矩阵的逆 定义15由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是方阵 互换E的第i行与第j行 或者互换E的第I列与第j列 的位置 得 返回 上一页 下一页 用常数k乘E的第i行 或第i列 得 把E的第j行的k倍加到第i行 或第i列的k倍加到第j列 得 返回 上一页 下一页 这三类矩阵就是全部的初等矩阵 有 E i j 1 E i j E i k 1 E i 1 k E i j k 1 E i j k 定理15对一个s n矩阵A作一初等行变换 就相当于在A的左边乘上相应的s s初等矩阵 对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n n初等矩阵 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 推论1矩阵A与B等价的充分必要条件是 有初等方阵P1 P2 Ps Q1 Qt使A P1P2 PsBQ1 Qt 推论2n n矩阵A可逆的充分必要条件是 它能表成一些初等矩阵的乘积 返回 上一页 下一页 推论3两个s n矩阵A B等价的充分必要条件是 存在可逆的s s矩阵P与可逆的n n矩阵Q使A PBQ 推论4可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵 设A为可逆矩阵 由推论 必存在有限个初等方阵P1 P2 P 使得P1P2 P A E 1 所以P1P2 P E A 1 2 表明E经过同样有限次初等行变换变成A 表明A经过有限次初等行变换变成E 故可用初等行变换求逆阵 返回 上一页 下一页 E E 解对 A E 作初等行变换 返回 上一页 下一页 补充 也可用初等列变换求逆阵 返回 上一页 下一页 例用矩阵分块的方法求下面矩阵的逆矩阵 解 将矩阵按如下形式进行分块 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 7向量空间 定义16设V为数域P上n维向量组成的集合 如果V非空 且对于向量加法及数乘运算封闭 即对任意的和任意常数k k