李庆扬-数值分析第五版第2章习题答案(20130625).pdf

第 2 章 复习与思考题 1 什么是拉格朗日插值基函数 他们是如何构造的 有何重要性质 答 形如 0 1 n i n i ii ik xx lx xx 的基函数称为 n 节点的拉格朗日插值基函数 主要性质有 1 0 1 n kk ik lx ik 2 1 n l x 2 什么是牛顿基函数 它与单项式基 2 1 x x x n 有何不同 答 牛顿差值基函数为 00101 1 x x x x x x x x x x x x n 牛顿差值基函数中带有常数项 01 n x xx 这有单项式基不同 3 什么是函数的 n 阶均差 它有何重要性质 答 形如 01n 2n01n 2n 1 01n 1 nn f x xxxf x xxx f x xx xx 称为 f x的 k 阶均差 具有以下的基本性质 1 均差与节点的排列次序无关 即均差具有对称性 拉格朗日插值函数的应用 K 阶均差可以表示为函数值 0 f x 1 f x n f x的线性组合 即 k j 01k j 0 j0jj 1jj 1j k f x f x xx x xxxxxxx 2 由性质 1 和 k 阶均差的性质 0101k 1 01 0 k k k f x xxf x xx f x xx xx 分子前项多 xk 3 若 x f在 a b 上存在 n 阶导数 且节点 01n 2n a b x xxx 则 n 阶均差与导数的 关系为 1 01 n n f f x xx n 4 写出 n 1 个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式 他们有何异同 答 n 1 个点的拉格朗日插值多项式 00 0 n nn i nk kk kk i ik ik xx L xy lxy xx j 1 2 n n 1 个点的牛顿插值多项式 01 kk af x xx k1 2 n 两者的主要差异是未知数不一致 拉格朗日插值多项式是系数知道 但基函数不知道 牛顿插值多项式是函数知道 但系数不知道 与一般多项式基本相同 5 插值多项式的确定相当于求解线性方程组Axy 其中系数矩阵A与使用的基函数有 关 y包含的是要满足函数值 01 T n y yy 用下列基底作多项式插值时 试描述矩阵A中 非零元素的分布 1 单项式基底 2 拉格朗日基底 3 牛顿基底 答 1 单项式基底为 2 1 x x x n 已知数为 012 n x xxx 则未知数为 012 n a aaa 则系数矩阵为 12 000 12 111 12 222 12 1 1 1 1 n n n n nnn xxx xxx Axxx xxx 无非零元素 2 拉格朗日基底为 01 n l x l xlx 已知数为 012 n yyyy 未知数为 01 n l x l xlx 则系数矩阵为 未找到相关资料 3 牛 顿 基 底 为 00101 1 x x x x x x x x x x x x n 已 知 数 为 012 n x xxx 未知数为 012 n a aaa 则系数矩阵为 10 202021 1 001 0 100 0 10 0 1 0 1 n nnnnj j xx xxxxxx A xxxxxxxx 为下三角矩阵 矩阵的上三角元 素为 0 6 用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数 试按工作量由低至 高给出排序 答 按照计算工作量 排序如下 牛顿插值 拉格朗日插值 多项式插值 7 给出插值多项式的余项表达式 如何用它估计截断误差 答 拉格朗日插值多项式余项 1 1 n 1 n nnn f Rff xL xx 进行误差估计时 对 1 n f进行适当缩放即可 牛顿插值多项式余项 011 nnnn Rff xP xf x xxx 可以直接求出 8 埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么 什么是泰勒多项式 它是什么条件下的插值 公式 答 埃尔米特插值最显著的特征是 即要求节点上的函数值相等 同时也要求节点上的到数 值相等 甚至高阶导数值相等 泰勒公式 2 00 00000 2 n n n fxfx P xf xfxxxxxxx n 就是牛顿插值公式具有 n 重根 0 xx时的特殊形式 即 0 xx的极限形式 也是 n 阶导数值相等的埃尔米特插值公式 9 为什么高次多项式插值不能令人满意 分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优 点 答 根据龙格 Ronge 发现的现象 发现高次多项式插值 n L x近似 f x的效果并不好 产生的主要原因是计算时的舍入误差引起 10 三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别 哪一个更优越 请说明理由 答 三次埃尔米特插值要求给出节点上的函数值和导数值 只有一阶导数连续 三次样条插值要求给出各节点的函数值和区间的边界值 具有二阶导数连续 从上可以看出 三次样条插值更优越 对节点的要求较低 具有二阶导数连续 插值函 数更光滑 11 判断下列命题是否正确 1 对给定的数据作插值 插值函数个数可以任意多 2 如果给定点集的多项式插值是唯一的 则其多项式表达式也是唯一的 3 li x i 0 1 n 是关于节点 xi i 0 1 n 的拉格朗日插值基函数 则对任何次 数不大于 n 的多项式 P x 都有 0 n ii i l x P xP x 4 当 f x 为连续函数 节点 xi i 0 1 n 为等距节点 构造拉格朗日插值多项式 Ln x 则 n 越大 Ln x 越接近 f x 5 同上题 若构造三次样条插值函数 Sn x 则 n 越大得到的三次样条函数 Sn x 越 接近 f x 6 高次拉格朗日插值是很常用的 7 函数 f x 的牛顿插值多项式 Pn x 如果 f x 的各阶导数均存在 则当 xi x0 i 1 2 n 时 Pn x 就是 f x 在 x0点的泰勒多项式 答 1 错 因为插值函数唯一 2 对 3 对 因为余项等于 0 4 错 典型的例子是龙格现象 5 对 n 越大 说明步长0h 此时 S X S X 和 S X 均一致收敛于 f X f X 和 f X 6 错 典型的例子是龙格现象 7 对 习题 1 当1 1 2x时 0 3 4f x 求 xf的二次插值多项式 1 用单项式基底 2 用拉格朗日插值基底 3 用牛顿插值基底 解 1 用单项式基底 设 2 210 a xa x ay 则范德蒙系数矩阵 12 00 12 11 12 22 1111 1111 1124 xx Axx xx 行列式化简有 11101110 y11130203 12440134 11101110 01340134 02030065 A 解得 0 1 2 7 3 1 5 5 6 a a a 所以 2 5 1 57 3 6 xxy 2 使用拉格朗日插值计算 020112 012 010210122021 22 1 2 1 2 1 1 0 3 4 1 1 1 2 3 1 3 1 2 4 1 1 0 23 324 2 n xxxxxxxxxxxx L xyyy xxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxx xxx 22 2 2 1 3 3968 1 66 537 623 57 1 5 63 xxx xx xxy 3 使用牛顿插值计算 2001001201 P xf xf x xxxf x x xxxxx 均差表 k x k f x 一阶均差 二阶均差 1 0 01 f x x 3 2 012 f x x x 5 6 1 3 12 f x x 7 3 2 4 所以 2 2 2 5 0 1 5 1 1 1 6 5 1 5 1 1 6 57 1 5 63 P xxxx xx xx 从三种插值方法得出的插值函数一致 得证 2 给出 lnf xx的数值表用线性插值及二次插值计算54 0ln的近似值 X 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 xln 0 916291 0 693147 0 510826 0 357765 0 223144 解 由于未限制插值函数的类型 可以使用单项式插值 拉格朗日插值和牛顿插值 计算方法同题 1 本题线性插值选用拉格朗日插值方法 选择接近 0 54 值的两个插值节点 x0 0 5 和 x1 0 6 则 y0 0 693147 y1 0 510826 01 01 0110 0 6 0 5 0 693147 0 510826 0 10 1 1 82321 1 604752 n xxxx L xyy xxxx xx x 从而 0 54 1 82321 0 54 1 604752 0 620278 n L 本题二次插值选用牛顿插值方法 选择接近 0 54 值的三个插值节点 x0 0 4 x1 0 5 和 x2 0 6 则 y0 0 916291 y1 0 693147 y2 0 510826 则有均差表 k x k f x 一阶均差 二阶均差 0 4 0 916291 01 f x x 2 23144 012 f x x x 2 04115 0 5 0 693147 12 f x x 1 82321 0 6 0 510826 2 2 0 4 0 4 0 5 2 041154 0444452 21709 0 916291 2 231442 04 7 115P xxxx xx 2 0 54 0 61531984P 3 给出cosx 090 x的函数表 步长1 1 60 h 若函数具有 5 位有效数字 研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界 解 拉格朗日插值余项表达式为 1 1 n 1 n nnn f Rff xL xx 线性插值时 n 1 总误差界 1 cos1 n 1 22 n f xxx 由于步长取 1 1 60 h 换算成弧度有 4 1 10800 2 9089 10h 所以 4 0 5 10 x 因此 总误差界 1 4 cos1 0 25 10 n 1 22 n f xxx 此题解法错误 原因是 使用的方法错误 理解题意错误 函数具有 5 位有效数字 表示 5 00 1 10 2 yy 正确解法如下 总误差 函数本身的误差 5 位有效数字产生的误差 使用插值方法带来的误差 设插值节点为 010 xxxxh 对应的xcos值为 10 y y 函数表值为 10 y y 则由题意 可 知 5 00 1 10 2 yy 5 11 1 10 2 yy 近 似 线 性 插 值 多 项 式 为 01 101 0110 xxxx L xyy xxxx 所以总误差为 1111 R xf xL xf xL xL xL x 111 2 01 010011 0110 01 010011 0110 2 cos 2 R xf xL xL xL x xxxxf xxxxyyyy xxxx xxxx xxxxyyyy xxxx 所以 01 010011 0110 55 01 01 0110 1 cos 2 111 1010 222 xxxx R xxxxxyyyy xxxx xxxx xxxx xxxx 其中 01 xxxx 的最值求解如下 令 01 f xxxxx 则当 1001 2 0fxxxxxxxx时 即 100 2 2 h xxxx 2 01 4 h f xxxxx取最大值 利用基函数之和等于 1 的性质 55 01 0110 55 01 0101 11 1010 22 11 10 10 22 xxxx xxxx xxxx xxxx 2 27 1 1 10800 60180 466560000 0 21154 10 4 h h 所以 2 5755 111 100 10577 10100 5010577 10 2 422 h R x 总误差限 5 0 5010577 10R x 本题的关键在于 三角函数的变量是弧度 因此角度必须使用弧度来计算 有一种解法 我认为不对 将角度未换算成弧度 计算结果为 2 555 11111 10103 47 10 2 422144002 h R x 4 设 0 1 j xjn为互异节点 求证 1 0 0 1 n kk jj j x lxxkn 2 0 0 1 2 n k jj j xx lxkn 1 证 当 k f xx时 利用拉格朗日插值余项公式有 1 11 0 0 n 1 n 1 n nnnn f Rff xL xxx 所以 n f xL x 即 0 0 1 n kk jj j x lxxkn 2 证 利用式 1 有 0 00 0 2 0 1 2 n k jj j nk iik ii kjj ji iiik i k iik k xxlx C xx lx C x xik C xik 1 1 1 现在的问题是如何证明 1 01 2 ii k Cik 1 当k为基数时 1 1 1 0 0 1 2 iik ik i kk k CCi 所以 0 0 n k jj j xx l x 当 K 为偶数时 书上第 28 页有例题 但是该如何证明 即得证 0 0 n k jj j xx l x 证法 2 令 kf yyx 0 n k jj j xx l x是 f y的 拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 令yx 0 0 n kkk j j yx l xyxxx 这种证法难以理解 感觉理论依据不明细 5 设 2 f xCa b且 0f af b 求证 2 1 max max 8 a x ba x b f xbafx 解 利用拉格朗日插值 1 111 1 1 1 1 n n n n f f xl a f al b f bx n f x n 1 22 f f xx a x bfx a x b 其中 令 2 f yy ay b fyyab 当 0fy时 a b 2 y f y取最大值 2 4 ba 所以有 22 1 max 22 max 88 a x b a x b f f xx a x bfx a x b baba ffx 得证 6 在 44 x 上给出 x exf 的等距节点函数表 若用二次插值求 x e 的近似值 要使 截断误差不超过 6 10 问使用函数表的步长 h 应取多少 解 根据拉格朗日插值余项 4 3 012 1 2 1 2 3 66 ffe R xxxxxxxt ttht tth令 2 1 2 1 2 2 1 362 f tt tt ftttt tt t tt 当 0f t时 3 1 3 t f t取最大值 2 3 9 要使其不超过 6 10 则有 4 436 2 33 10 6927 e R xhe h 如是 34666 9 31015 588 0 018315 100 285504 10he 223 0 285504 10 0 658 10h 7 证明 n 阶均差有下列性质 1 若 x Fcf x 则 1010nn xxxcfxxxF 2 若 xgxfxF 则 101010nnn xxxgxxxfxxxF 依据均差性质第 1 条证明 证 1 01 0 0 0 0 0 0 01 n j nn j jk k kj n j n j jk k kj n j n j jk k kj n F x F x xx xx cf x xx f x c xx cf x xx 2 01 0 0 0 0 00 00 0101 n j nn j jk k kj n jj n j jk k kj nn jj nn jj jkjk kk kjkj nn F x F x xx xx f xg x xx f xg x xxxx f x xxg x xx 8 13 47 xxxxf 求 2 2 2 710 f 018 2 2 2 f 解 依据均差性质第 3 条证明 n 01 n f f x xx n 7 017 8 018 7 1 2 2 2 1 7 7 8 0 2 2 2 0 8 8 f f f f 9 证明 1 kkkkkk f gfggf 根据题意 此为 1 阶差分公式证明 使用前插公式证明 证 根据差分公式定义 书第 33 页 1kkk fff 于是有 1 111 1111 11 kkkk kkkkkk kkkkkkkk kkkk kk fggf fgggff f gf gfgf g fgf g f g 10 11 001 00 nn kknnkk kk fgf gf ggf 解 利用上题的结论 对公式进行变换 有 11 1 00 1 1 0 1 0 11112222111100 00 nn kkkk kk n kkkk k n kk k nnnnnnnnnn nn fggf fggf f g f gfgfgfgfgf gf gf g f gf g 11 证明 1 2 0 0 n jn j yyy 根据 n 阶差分的定义 证 n 阶差分的公式为 11 1 nnn kkk yyy 因此 对公式左端展开 有 1 2 11221100 0 n jnnnnnn j yyyyyyyyyyy 12 若 n n n n xaxaxaaxf 1 110 有 n 个不同实根 n xxx 21 证明 1 20 0 1 1 nka nk xf x n n j j k j 利用均差性质 1 和性质 3 证 根据题意 对 f x改写 01 nn f xaxxxxxx 则 1 0 n nkjnn k kj f xaxxax 根据均差性质 1 令 k jj F xx 有 01 0 1 0 0 1 n j n j nj n j j j n k n j n j j F x F x xx x F x fx a x a fx 根据均差性质 2 令 k jj F xx 有 01 n n F F x xxa b n 即 01 0 k n n j nn j j x F F x xxaa b fxn 当02kn时 0 n F 当 n 1k时 n Fn 所以 1 20 0 1 1 nka nk xf x n n j j k j 13 求一个次数小于等于 3 的多项式 xP 使它满足 00 P xf x 00 P xfx 00 P xfx 11 P xf x 根据题意 由于涉及到了节点函数值 节点函数导数值相等 故应该使用埃尔米特插值公式 进行求导 解 由已知条件 此插值多项式节点为 2 已知条件数为 4 埃尔米特插值次数不超过 3 需要构造一个 3 次多项式 但一只节点只有 2 个 设另一个节点为 A 次数为 3 的变量系数 为 B 有 001010 P xf xf x xxxB xA xxxx 当 0 xx 时 0001001 A P xfxf x xB xxx 0001 2A P xfxBxx 所以 01 01 2 01 2 Axx f xx B xx 即所求多项式为 01 00100110 2 01 2 f x x P xf xf x xxxxxxxxxx xx 14 求一个次数小于等于 3 的多项式 xP 使它满足 0 0P 0 1 P 0 1P 1 2 P 根据题意 由于涉及到了节点函数值 节点函数导数值相等 故应该使用埃尔米特插值公式 进行求导 解 由已知条件 此插值多项式节点为 2 已知条件数为 4 埃尔米特插值次数不超过 3 需要构造一个 3 次多项式 但一只节点只有 2 个 设另一个节点为 A 次数为 3 的变量系数 为 B 有 001010 0 1 P xf xf x xxxB xA xxxx xBx xA x 当0 x 时 0 1A1PB 当1x 时 1 1 1 2PBA 所以 2 0 5 B A 32 2 0 5 1 232P xxx xxxxx 15 证明 2 点 3 次埃尔米特插值余项是 4 22 311 4 kkkk f R xxxxxx x 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限 两点三次插值是埃尔米特插值的典型例子 书上第 37 页 39 页有证明 在此不在证明 16 求一个次数不高于 4 次的多项式 P x 使它满足 0 0 0P P 1 1 1P P 2 1P 由题意可知 一只函数节点的导数值 使用埃尔米特插值求解 解 由已知条件 此插值多项式节点为 3 已知条件数为 5 埃尔米特插值次数不超过 4 需要构造一个 4 次多项式 但已知节点只有 3 个 设另一个节点为 A 次数为 4 的变量系数 为 B 有 001001201 012 001012 0 1 0 5 0 5 1 1 2 P xf xf x xxxf x x xxxxx B xA xxxxxx xxxxxxB xA xxxxxx xx xB xA x xx 1 0 5 21 1 2 P xxB xAxxx 当0 x 时 0 1 5 3 0PB A 当1x 时 1 0 5 1 1PBA 解得 3 0 25 A B 22 0 5 1 0 25 3 1 2 3 4 P xxx xxx xx xx 17 设 1 1 2 xxf 在55 x上取10 n 按等距节点求分段线性插值函 数 xIh 计算各节点中点处的 xIh与 xf的值 并估计误差 题目考核的是分段线性插值公式及其误差估计 解 5 5 1 10 h 设将 a b划分为长度为 h 的小区间 01n axxxb 则当 1 kk xx x 0 1 2 1kn 时 1 1 11 11 kk hkk kkkk kkkk xxxx Ixff xxxx xx fxxf 则 1 1 1 22 kk hkk xx Iff 误差估计为 11 2 1 max max 2kkkk hkk xx xxx x M f xIxxxxx 取 1 2 kk xx x 有 111 2 2 1222 max max max 2488kkkkkk kk h xx xxx xxx x xxMMM f xIxh 区中 2 55 max x Mfx 而 1 1 2 xxf 求其 3 阶导数 令其等于零 解得 x 进而解得 2 阶导数的最大值 则 22 22223 2323324 2 1 2 1 8 1 8 1 16 1 48 1 0 fxxx fxxxx fxxxxxxx 解题麻烦 不再进行 18 求 2 f xx 在 a b 上的分段线性插值函数 h Ix 并估计误差 题目考核的是分段线性插值公式及其误差估计 解法与上题一致 解 设将 a b划分为长度为 h 的小区间 01n axxxb 则当 1 kk xx x 0 1 2 1kn 时 有 1 1 11 1 1 kk hkk kkkk kk kk xxxx Ixff xxxx xxxx ff hh 其误差估计 111 2 22 1222 max max max 2488kkkkkk kk h xx xxx xxx x xxMMM f xIxhh 2 max max 2 a x ba x b Mfx 所以 1 2 1 max 4kk h xx x f xIxh 19 求 4 f xx 在 a b 上的分段埃尔米特插值 并估计误差 由已知条件 4 f xx 则 3 4fxx 为连续可导函数 对任何一个节点 其函数值和 函数导数值均可认为已知 因此可以使用第 2 个典型的埃尔米特插值公式进行计算 解 设将 a b划分为长度为 h 的小区间 01n axxxb 则当 1 kk xx x 0 1 2 1kn 时 令 1 01 max kk k n hxx 有 22 11 1 1111 22 1 11 11 12 12 kkkk hkk kkkkkkkk kk kkkk kkkk xxxxxxxx Ixff xxxxxxxx xxxx xxfxxf xxxx 其误差估计为 1 4 4 max max 384kk h xx xa x b h f xIxfx 4 4 fx 所以 1 44 4 max 38416kk h xx x hh f xIx 20 给定数据表如下 j x 0 25 0 30 0 39 0 45 0 53 j y 0 5000 0 5477 0 6245 0 6708 0 7280 试求三次样条函数 S x 并满足条件 1 6868 0 53 0 0000 1 25 0 SS 2 0 53 0 25