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文档简介

1问题的提出 若在区间 a b 上单调上升 若在区间 a b 上单调下降 4 4函数的单调性与凹凸性 2单调性的判别法 定理 证 应用拉氏定理 得 例1 解 注1 要用导数在区间上的符号来判定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 注2 函数在定义区间上不是单调的 但在各个部分区间上单调 3单调区间求法 1 单调区间定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间的分界点 2 单调区间的划分 例2 解 单调区间为 例3 解 1 定义域为 1 1 3 列表 2 2 0 1 0 0 0 0 4 由表可知函数的单调增区间为 2 0 单调减区间为 2 1 1 0 x y y 2 1 4单调性的应用 例4 证 凸性 5函数的凸性 凹函数 定义 例6 证 性质 凸性的判定 定理1 用一阶导数判定凸性 证 必要性 定理2 用二阶导数判定函数的凸性 定理3 用切线位置判定函数的凸性 切线位于曲线下方 证 必要性 充分性 定义 若曲线y f x 在某区间内位于其切线的上方 则称该曲线在此区间内是凸的 此区间称为凸区间 若曲线位于其切线的下方 则称该曲线在此区间内是凹的 此区间称为凹区间 x y o a b x y o 切线刻画凸性 a b 凸型曲线 切线的斜率随着X的增大而增大 凹型曲线 切线的斜率随着X的增大而减小 定理 拐点必要条件 连续曲线y f x 上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点称为拐点 证 注意 定理2 拐点的充分条件 例7 解 例8 判定y ax bx c的凹凸性 a 0 解 定义域为 y 2ax b 当a 0时 y 0 曲线y ax bx c在 内是凸的 当a 0时 y 0 曲线y ax bx c在 内是凹的 注 凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口方向相结合 y 2a 例9 求下列曲线的凹凸区间与拐点 解 1 定义域为 2 y 4x 6x y 12x 12x 12x x 1 4 列表 x y y 0 0 0 0 1 1 0 1 已知曲线的凸区间为 0 1 凹区间为 0 1 拐点为 0 1 与 1 0 解
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