5.有限元方法10学时.ppt

电磁场中的有限元法 南京航空航天大学何小祥 Outline 有限元发展历史有限元的优点二维节点有限元 有限元处理过程 二维高阶节点有限元三维节点有限元方法三维高阶节点有限元方法节点有限元的缺点矢量有限元方法二维 三维一阶矢量基函数高阶矢量基函数有限元中的现代技术时域有限元方法有限元方程组求解 CG 1 有限元发展历史 2 有限元的优点 非结构网格 可以模拟任意形状的边界泛函的思想 利于复杂介质特性模拟 有限元处理过程 边值问题 等价泛函 目标建模 网格剖分 参数提取 矩阵填充 局部矩阵计算 FEM方程组求解 后处理技术 U代表位函数或者某个场分量 1 2 一般计算区域比较复杂 积分不容易实现 采用整体基函数很难满足齐次边界条件 采用了广义变分原理 3 二维节点有限元 有限元处理过程 3 PatranAnsys 所需参数 坐标 单元编号 节点或棱边编号 4 将波导横截面用M个三角形面元离散 则各面元中的u用线性插值函数表示为 积分区域变为三角形单元内 思想 理解 能量的概念 5 物理含义 1 2 3 参数提取 6 利用横等式 可以获得A B的解析解 单元一 节点1 2 4 方程组矩阵填充 7 单元二 节点2 4 5 单元三 节点3 5 2 单元四 节点4 5 6 单元节点与相邻单元节点必须吻合 过程中使用到各个单元中节点局部编号与整体编号的关系 列向量等可以如上进行填充 可导出线性代数方程组由此方程解出本征值和对应的本征矢 9 8 4 二维高阶节点有限元 当插值函数为高次多项式时 用自然坐标表示的单元 一阶基函数 二阶基函数 三阶基函数 经过化简 其中 可以事先制定成表格 程序中调用 波导尺寸为10mm 23mm 分格数为4 3 应用2阶FEM分析得到特征值如下 三角单元总数为24 场节点总数为63 谐振腔尺寸为12mm 28mm时 应用FEM进行分析 划分网格数为5 4 三角单元总数为40 场节点总数为99 特征值 计算误差 5 三维节点有限元方法 6 三维高阶节点有限元方法 略 7 节点有限元的缺点 标量有限元法的缺点 计算结果中会出现不易辨别的非物理解或伪解 在介质分界面或导体表面不易强加边界条件 由于场存在奇异性 处理导体及介质边缘和棱边有困难 9二维矢量有限元方法 10三维矢量有限元方法 矢量有限元性态差 11 高阶矢量基函数 略 12 有限元中的现代技术 PMLMethod DDMMethod FEM BIFEM PO IPOetc 13 时域有限元方法 一 研究背景 时域数值方法 时域有限差分法 FDTD 传输线矩阵法 TLM 时域积分方程法 TDIE 时域有限元法 TDFEM 多分辨率时域技术 MRTD 其他 时域伪谱方法 PSTD TDFEM研究现状 J M Jin 洪伟 金亚秋 南京理工大学 电子科技大学 南京航空航天大学 二 理论分析 对于一般的时变场 在电流源激励下 Maxwell两个旋度方程为 由上述两式可以推出关于H的矢量波动方程 该矢量波动方程的等价泛函为 使用非结构网格离散计算区域 使用矢量基函数Ni 对各个单元内的磁场H进行插值 在完纯导体表面满足第二类边界条件 应用里兹方法进行处理 最终可以得到常微分方程 其中 采用恒稳的Newmark方法离散时间步 得到如下差分方程 其中 t为时间步长 为Newmark离散参数 un 1为n 1时间步的待求向量 un un 1是n n 1时间步的已求向量 三 数据分析 其中中心时间t0 25 9ns 脉冲宽度 4ns 观察点在 x y o 1m 40 1m 40 图1空谐振器中的磁场响应曲线 图2部分介质加载谐振器中磁场响应曲线 r 9 0 图3部分介质加载谐振器中响应频谱曲线 0 14038GHz 0 20142GHz 图4全部介质加载 r 2 25 时磁场响应曲线 图5全部介质加载时磁场响应频谱曲线 0 14038GHz 0 22583GHz 0 28076GHz 0 31128GHz 0 36011GHz 图6CG收敛曲线对比 14FEM求解器 CG 等同于最小余量法了 一般频域FEM的系数矩阵不具备自伴性 位了求解 11 53 泛函 得到如下线性方程组 但是一 基函数p未知 二 我们为了求原来的方程组 必须求解新的方程组 无意义