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第五章多自由度微振动 微振动近似多自由度微振动系统 微振动体系在稳定平衡位形附近的小幅振动 5 1微振动近似与求解 1 微振动近似 二次型 线性方程 谐振子 惯性矩阵 弹性矩阵 特解 振动解 线性方程通解为两线性无关特解叠加 简正振动互相独立的谐振动 其频率为本征频率 简正坐标 整体振动 相对振动 引入简正坐标 使M与K同时对角化 不同自由度的振动解耦 即简正振动模式 标准二次型 只有对角项 5 2多自由度微振动系统 1 微振动近似 规定稳定平衡位形处 Lagrange函数在稳定平衡位形附近取二级近似 得到线性振动方程 2 运动求解 本征方程 本征值方程 的s次方程 在至少相差一个常数因子的范围内确定本征向量 通解 3 简正坐标与简正振动 系统以单一简正模式振动 与时间无关 简正坐标 简正坐标使M与K同时对角化 以简正坐标表示的各自由度的振动独立 动能与势能二次型的正定性保证频率为实数 稳定平衡位形 极小值 振动解 任意微振动系统相当于一些独立谐振子的线性组合 稳定平衡位形 简正振动方程 三原子同步匀速直线运动 分子整体平动 中间原子不动 两边原子反相振动 质心不动 两边原子同相振动 中间原子反相振动 质心不动 振动自由度 仅研究振动时 可通过此约束条件 将平动自由度消去 作业 p207 210 6 1 6 6 6 14 6 18 变换使M与K同时对角化的证明 本征方程 本征方程左乘 转置并右乘 若本征值方程无重根 则 非对角元为零 2 式即 表明弹性矩阵同时对角化 情形 设想M K连续变化 由情形过渡至 在此过程中 始终有 不过 当时 即本征值相同的本征向量的任意线性叠加亦为本征向量 因此 对任意两个本征向量 不一定满足 但总是可以从中挑选出满足该条件的本征向量 总之 无论本征频率有无重根 必定
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