4.1矩阵的特征值和特征向量.ppt

Ch4矩阵的特征值 矩阵的秩 例如 对于方阵 特征值 矩阵 矩阵的秩可以反映矩阵的可逆性 可化成怎样的标准形式 线性方程组 齐次线性方程组 的基础解系含有几个解 还有 特征值 特征值理论在矩阵的研究中 有非常 在数学的其他领域中 在工程技术的许多问题中 在经济领域中 能反映矩阵的许多特性 能反映矩阵的另外一些重要特性 除 秩 外 在初等变换下 是否有解 向量 等 重要的应用 4 1矩阵的特征值和特征向量 设A是一个n阶方阵 对任一n维非零列向量 通过A 将n维列向量 变换成另一个 n维列向量 定义4 1 注意1 2 3 数 0是矩阵A的特征值 一 特征值和特征向量的概念 如果存在 0是一个数 使得 则称 0是 对应于特征值 0的 成立 使得 A一定是方阵 也可能是复数 非零向量 是矩阵A的 存在n维非零向量 矩阵A的特征值 特征向量 设A为n阶方阵 谈到矩阵A的特征值时 矩阵的特征向量 一定是非零向量 矩阵的特征值 可能是实数 例 3维向量 2为A的特征值 1为A的 对应于2的特征向量 设 3维向量 称 2为A的特征值 2为A的 对应于 2的 特征向量 是矩阵A的特征值 是矩阵A的 对任意n维向量 例 任意n维向量 非零 对应于k的特征向量 二 的求法 特征值与特征向量 设 即 即 此齐次线性方程组 即 有非零解 称为A的特征矩阵 是 的多项式 称为矩阵A的特征方程 矩阵A的特征根 矩阵A的特征多项式 n次 方程 即 此方程的解 称为 称为 求矩阵A的特征值 3 对每一个特征值 0 求出其全部解向量 2 求出 的全部解 它们就是矩阵A的 写出齐次线性方程组 即得到 的所有特征向量 非零的 和特征向量的步骤如下 1 计算 全部特征值 对应于特征值 0 矩阵A的 即 解 是A的特征值 1 0 是对应于0的 例 2 4 是对应于4的 全部特征向量 全部特征向量 求矩阵A的特征值和特征向量 3 1 是对应于 1的全部特征向量 是A的特征值 解 二重 是A的特征值 1 0 是对应于0的 c 0 例 全部特征向量 求矩阵A的特征值和特征向量 1 2 对应于2的全部特征向量为 1 0 2 2 二重 是A的特征值 d 0 设 证 也是矩阵A的 三 特征值与特征向量 非零向量 为A的对应于 则k 也是 常数k 0 的特征向量 矩阵A的 的特征向量 对应于 的特征向量 又 的性质 由 是矩阵A的特征值 对应于 定理4 1 证 A与AT 故A与AT 有相同的 有相同的特征多项式 与它的转置矩阵AT n阶矩阵A 特征值 有相同的特征值 A的特征值 是方程 的解 AT的特征值 是方程 的解 n阶矩阵A可逆 证 A的任一特征值 0不是A的特征值 定理4 2 A可逆 0不满足方程 n阶矩阵A可逆 A的任一特征值 的充要条件是 A的任一特征值 不为0 0是A的特征值 0不是A的特征值 A的任一特征值 例 A的任一特征值 证明 则A 1存在 是A 1的特征值 证 是A的对应于 的 是A 1的特征值 设 设 特征向量 则 即 是对应的特征向量 例 证 是对应的特征向量 2 0 1 0 0或1 试证幂等矩阵 则称A是幂等矩阵 的特征值 则 设 是A的任一特征值 只能是0或1 如果矩阵A满足 定理4 3 对应于不同特征值的 1 2 m 互不相同的特征值 分别是 的特征向量 则 是A的m个 对应于 一定线性无关 设A是n阶矩阵 1 2 m 线性无关 特征向量 说明 互不相同 则 1 2 m 线性无关 定理4 3 证 互不相同 要证 对特征值的个数m 当m 1时 假设对m 1结论成立 即由 要证 1 2 m 互不相同的特征值 分别是 的特征向量 则 特征向量 1 所以 1线性无关 可得出 是A的m个 对应于 设A是n阶矩阵 作数学归纳法 互不相同 线性无关 线性无关 已知 线性无关 线性无关 设 又 1 2 线性无关 互不相同 线性无关 证毕 1 2 例如 A的特征值 对应于2 有特征向量 线性无关 对应于4 有特征向量 线性无关 则 线性无关