导数的应用(根,不等式,最值,凹凸).doc

(十二)利用函数的单调性与极值讨论方程根的存在性及个数例 证明下列方程根的问题: （1）证明方程有且仅有一个实根。证明：令因为, 由根的存在定理知，在内至少有一个零点再证只有一个实根：因为，而，故，即在上单调增加。故结论得证。（2）设在上连续，当时。证明若，则方程 在上有且仅有一个实根证明：由拉格朗日中值定理得使得由，知。由连续函数的介值定理知：使;又因当时知在上严格递增，故只有一个实根（3）设在上可导，若有实数使，证明方程最多只有一个实根证明：设，则，即在上递减，故方程最多只有一个实根，从而方程最多只有一个实根（4）设在上二阶可导，当时，证明方程在内有且只有一个实根证明：因，所以单调减少。故当时从而在上单调减少，所以方程在内最多只有一个实根下面证明方程在内至少有一个实根：，由泰劳公式由知，存在使；在上利用根的存在性定理可得方程在内至少有一个实根（5）研究方程的实根，解：令，则，得驻点，当时，故在内单调增加；当时，故在内单调减少。所以是在内的极大值也是最大值下面讨论与轴的相对位置，由此可以讨论出的零点：若，则无零点;若，则有唯一零点;若，则由在内单调增加及知在内有唯一零点；再由在内单调减少及知在内有唯一零点。综上所述，当时方程没有实根，当时方程有一个实根，当时方程有两个实根。（6）试确定方程根的个数，并指出每个根所在的范围解：若设，则，很难求驻点。因此可考虑将方程变形为：（因不是方程的根）.设，则，得驻点，易知在和上单调递增，在上单调递减。由，故若，则，从而方程有一个根在内若，则，从而方程有两个根，一个是，另一个在内若，则，从而方程有三个根，分别在、内讨论下列方程的根:（1）证明方程只有一个实根，其中 证明：设，由，及零点存在定理知至少有一个实根；又知单调递增，故得证（2）讨论方程的根解：设若，由知，方程只有一个根;若，因，方程无根若，得唯一驻点，此时，因，故是的唯一极小值点。又当，方程有唯一根；当，方程无根；当，方程有两个根（3）讨论方程的实根个数（）解：设，则，易知在上递增、在上递减、在处取得极大值若，即，无零点;若，即，有唯一一个零点若，即，由知有两个零点（4）设是方程的大于1的根，其中，证明 证明：设，由于在上，故 在上严格递增。又因为=当时，而；故由的严格递增性与连续函数的介值性知，方程的大于1的根在内取到，即（5）设，确定的值使方程存在正根证明：设，则，而在0点附近大于0，即在0点附近严格递增，即 ，使，又，所以 ，使，得证（6）证明方程有两个不同的实根证明：令，通过求导数可知在上递增，在上递减，在上递增；又.于是有两个根：（7）讨论方程有三个不同实根的条件证明：设若为的三个根，则，使即，由于，必有，即（*）由于上述推导过程可逆，故当满足（*）式时方程有三个不同实根（8）讨论方程有两个不同实根的条件证明：设若方程有两个不同实根，则，使，即；又有；因此有，即。由于上述推导过程可逆，故当时方程有两个不同实根（9）设函数在上可导且，证明方程至多有一个实根证明：设则故在上严格递增，所以方程至多有一个实根（十三）利用函数的单调性证明不等式例 证明下列不等式：（1）证明证明：根据所证的不等式的特征，构造一个与之相似的辅助函数，设，因为，所以单调增加，而。故，即（2）证明不等式思路：显然可利用函数的单调性，但直接证明有困难，因此可把不等式变成等价的问题（因为，再用单调性进行论证。证明：设。则因此在上递增，故。即，所以（3）设，证明证明：不等式变成等价的问题，再用单调性进行论证。（4） 设，证明证明：先证右边不等式：设，用单调性可得证再证左边不等式：可设，用单调性可得证；也可以用拉格朗日中值定理证明（5）证明：当时，证明：先证右边不等式：设，用单调性可得证. 再证左边不等式：法一、所证不等式等价于；设，则再令，则，故递减，即 即，从而，得证法二、设，则；在内，递增，所以，在内，递减，所以，（6）证明：设，则 所以在上严格递增，故从而在上严格递增，故（7）设为自然数，求证且证明：设，则，易知，因为，所以当时递减趋于0，于是当时，故当时递减趋于0，从而，即，即设，用同样的方法可证当时，即即.故，即，由迫敛性定理得例 证明下列不等式：（1）设函数在上可导，且，求证：证明：令。则，其中在上有定义，满足因为且，故在上有，故有，即为上的递增函数，故有,从而有，又因为，所以在上有 ，特别有，得证。（2）设在上单调增加且连续，求分析与证明：引入新参数，设,易知，在上可导，且。由在上单调增加知，。故在上单调增加，即亦即（3）设在上连续，证明证明：构造函数则=即在上单调减少，故，所以（4）设在上连续且严格递增，证明证明：构造函数，同上题的做法，可证得结论。（5）设在上连续且，证明证明：构造函数，同法可证。（6）设均为上的连续增函数，证明证明：构造函数，同法可证。（7）设均为上的连续增函数，.证明：证明：设则= （因为均为增函数）即在上单调递减，所以，故得证！证明下列不等式：（1）（2）（3）（4） （5），证明：即证，设，即证,考虑，求导，根据单调性可证。（6），,证明：即证；设求导，根据单调性可证。或设（7），证明：设，求导，根据单调性可证。 （8） 证明：设，则，易知为最小值点，故。等价于（十四）利用函数的极值、最值证明不等式例 证明下列不等式：（1）证明当时有不等式，其中证明： 设，求出最大值和最小值即可得证。（2）设是大于1的常数且，证明对于任意的有证明：令， （）；可得唯一的驻点又因，所以当时，取极小值也是最小值；即当时有，得证。（3）求证，其中证明：将不等式变形为，即；令，不等式又等价于只需证的最小值为即可。 例 证明下列不等式： 设实数满足，则有下列结论成立：（1）当时，有；或；当且仅当时等号成立（2）当时，有；或；当且仅当时等号成立（3）当时，有；或；或；当且仅当时等号成立证明：（1）设，则有，因而为唯一的稳定点。由于所以当时，即为极大值点，故；当或时，即为极小值点，故；其中等号当且仅当时成立 （2）在（1）中的不等式中，令即得 （3）若，在（2）中第一个不等式中分别令，并将所得个不等式相加，即有于是， 其中等式当且仅当时成立，即同理可证当或时成立证明下列不等式：（1），证明：设，因在的单调性不易判定，故 转化为求在的最小值。通过求导可得为在上的最小值。 （2）证明：当，时有证明：令， （）；（3）设，证明证明：令 （）；（十五）利用导数判断函数的单调性、极值、最值例 （1）设，证明的最大值不超过证明：先求，可得最大值为，而 （2）设，证明使在上单调递减证明：先求，因，由保号性得证。（3）设在内有定义，存在且满足，如果，证明在内证明：反证！假设使，不妨设，由在上连续且知在内某点处取到极大值，从而由得，故为到极小值点，矛盾确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）（5）（6）求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）函数的最大值最小值问题：1求下列函数在指定区间上的最大值与最小值（1）（2）（3）（4）（5）2求函数在上的最大值与最小值解：因，所以可得稳定点为，不可导点为，边界点为；比较函数值可知：最大值为，最小值为3给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.4.求内接于椭圆而边平行于坐标轴的面积最大的矩形.证明下列问题：（1）设证明：是函数的极小值点；说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.（2）证明：若函数在点处有，则为的极大值点.（3）设在处都取的极值，试定出和的值；并问这时 在和是取得极大值还是极小值；（4）求函数，在上的极值；求方程有两个实根的条件.解：）在处取得极小值，在上递减，在上递增。因，由连续函数的介值定理与的单调区间知，当，即时，程有两个实根（5）设，在实轴上连续可微，且求证：的两实根之间一定有的根.证明：设为的两实根，假设对任意的，则由已知条件得，故在上严格递减，这与矛盾 （6）证明曲线有位于同一直线上的三个拐点.（7）证明对任一多项式来说，一定存在点与，使在上分别严格单调证明：设，不妨设当时，所以在上严格递增当时，若为奇数，则为偶数，则，故在上，即在上严格递增；又，故在上，即在上严格递增若为偶数，则为奇数，则，故在上，即在上严格递减；又，故在上，即在上严格递增（十六）利用导数研究函数的凸性、渐近线与作图确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）（2）（3）（4）解决下列问题：（1）问，为何值时，点为曲线的拐点？（2）求的极值及拐点，并求拐点处的切线方程.（十七）函数凸性的有关命题凸函数的定义1：设函数在区间上有定义，若对任何总有，则称为区间上的凸函数（下凸函数）；若上述不等式当时严格成立，则称为区间上的严格凸函数。如果函数为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数（上凸函数）凸函数的定义2：设函数在区间上有定义，若对任何和实数，总有，则称为上的凸函数凸函数的充要条件：设函数在区间上有定义，则下列条件等价： （1）为区间上的凸函数 （2）对于上任意三点，总有 （3）为区间上的递增函数 （4）对于区间上任意两点，总有 （5）例 证明下列各题：（1）若为区间上的下凸函数，证明对任意有 （詹森Jensen不等式）证明：应用数学归纳法。当时，由下凸函数的定义知，命题成立。假设时命题成立，即对任意有现设，令，则。由假设可得：故由数学归纳法可得证。（2）设为内的下凸函数，证明在内连续证明：对于内任意三点，可证又，总存在闭区间使得，设，当时可得即 当时同样可得上面类似的结论. 从而，故在内连续 （3）若为区间上的严格下凸函数，证明若是的极小值点，则为在区间上唯一的极小值点证明：若有异于的另一极小值点，不妨设；由于为区间上的严格下凸函数，即对任意的有于是，只要充分接近1时，总有，但是；这与是的极小值点矛盾。证明下列各题：(1) 若为下凸函数，为非负实数，则为下凸函数；(2) 若、均为下凸函数，则为下凸函数；(3) 若为区间上的下凸函数，为上的下凸递增函数，则为上的下凸函数.(4)设为内的下凸函数，证明也为内的下凸函数证明：利用下凸函数的定义(5)设且存在，则下凸的充要条件为证明：求出的二阶导数，即可得证。（十八）利用函数的凸性证明不等式例 证明下列不等式：（1）对任意实数，有（2）已知皆大于0，证明（3）证明不等式，其中均为正数证明：（1）设，则，故向下凸函数，因此不等式成立。取，即可得 （2）即证 设，则，故在上下凸，所以 即，化简得证。（3）证明：即证亦即；而只须证明设，则利用詹森Jensen不等式可得证例 证明下列不等式：（1）若函数在区间上的二阶导数恒为正，则任意的有证明：只证的情形：构造函数，则由于，所以在上严格增加，当时，故，所以。即在上单调增加。又因。故当时，即取即证得结论。（2）设，证明证明：由题设知，从几何上看：曲线在点的切线在曲线 的下方。而曲线在点的切线方程为：故有所以=即又因弦位于曲线的上方，而弦的方程为 故有即故.综上所述，得证明下列不等式：（1）对任何非负实数，有证明：设，则，故向上凸函数，因此不等式成立。取，即可得（2）对，有证明：设，则易验证为向下凸函数，因此不等式成立。取，即可得（3）证明不等式，其中证明：设，判断凸凹性，由詹森Jensen不等式可证（4）证明不等式，其中证明：即证设，判断凸凹性，由詹森Jensen不等式可证（十九）杂 题 1设函数在内可导，且单调，证明在连续.证明：不妨设在内递增，由单调有界定理知： 都存在且，下面证明，若不然，,则当时有，当时有，因此不能取到之间的一切中间值，这与达布定理矛盾。故得证。2设在连续，且，证明：在上