浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2.docVIP

目 录1、 数学归纳法31.1 归纳法定义31.2 数学归纳法体现的数学思想41.2.1 从特殊到一般41.2.2 递推思想42、 数学归纳法在中学数学中的应用技巧52.1 强调52.1.1 两条缺一不可52.2 技巧52.2.1 认真用好归纳假设52.2.2 学会从头看起62.2.3 在起点上下功夫72.2.4 正确选取起点和过渡82.2.5 选取适当的归纳假设形式93、 数学归纳法在中学数学中的应用93.1 证明有关自然数的等式93.2 证明有关自然数的不等式113.3 证明不等式113.4 在函数迭代中的应用123.5 在几何中的应用143.6 在排列、组合中的应用163.7 在数列中的应用163.8 有关整除的问题17浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用魏福雄西南大学数学与统计学院，重庆400715摘要:数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式不完全归纳和完全归纳本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等关键词：数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法The simple discussion about mathematical induction and using in high school math Wei Fuxiong School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract:The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive thinking.Using inductive thinking in problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathematical problem solving approach.Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction 1、 数学归纳法1.1 归纳法定义 大家知道，数学中的许多命题都和正整数n有关，这里所说的n，往往是指任意的一个自然数，因此，这样的一个问题也就是一整数命题在数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决数学归纳法可以说是解决有关整数问题的一种工具归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而有普遍应用的思想方法在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真理的典型例证再例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法这些归纳法却不能用完全归纳法数学归纳法是一种特殊的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n取第一个值时结论正确；(2) 假设当nk (，k) 时结论正确, 证明当nk1时结论也正确完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确1.2 数学归纳法体现的数学思想1.2.1 从特殊到一般“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中 由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的 正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前n个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”无独有偶，大数学家高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续纵观古今，科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史数学的发展更是这样的科学结论的得到大致包含以下几个阶段：观察、实践推广猜测一般性结论论证结论而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同1.2.2 递推思想 其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，递推就没有奠基（2）是递推的根据，有了它无限次递推成为可能所以数学归纳法的两个步骤缺一不可数学归纳法证题的两个步骤虽然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难解决的关键就是做从k到k1的转化工作, 而这种转化工作往往涉及到代数、三角、几何等知识, 有时还要用不同的方式进行学生往往感到很困难, 绞尽脑汁都难以完成这一步针对这个问题本文把中学数学教材及一些常见教学参考资料中用数学归纳法证明的各种问题进行整理分类并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例, 探讨数学归纳法在中学数学中的应用2、 数学归纳法在中学数学中的应用技巧2.1 强调2.1.1 两条缺一不可 在这里，必须强调一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不可不要认为，一个命题在n1的时候，正确；在n2的时候，正确；在n3的时候也正确，就正确了老实说，不要说当n3的时候正确还不算数，就算当n1000的时候正确，或者1万的时候正确，是不是对一切自然数都成立，还得证明了再说不妨举两个例子：例1 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n N时，一定都是质数，这是他对n0，1，2，3，4作了验证后得到的因为当n0，1，2，3，4时，它的值分别等于3，5，17，257，65537这五个数都是素数后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了4 294 967 2976 700 417641，从而否定了费马的推测没想到当n5这一结论便不成立后来，有人还证明了当n6，7，8，9的时候，式子的值也都不是素数由此可见，数学归纳法的第（2）步是至关重要的例2 所有的正整数都相等 这个命题显然是荒谬的，但是当我们丢开“当n1的时候，这个命题是正确的”不管，那么可以用数学归纳法来“证明”它这里，第k号命题是：“第k1个正整数等于第k个正整数”，就是k1k，两边都加上1，得到kk1这就是说第k个正整数等于第k1个正整数，这不就证明了所有的正整数都相等吗？错误就在于我们没有考虑当n1的情况由此可见，验证初始值对数学归纳法证明问题时是非常重要的2.2 技巧2.2.1 认真用好归纳假设 如果说在用数学归纳法证题时归纳过渡是解题的关键，那么归纳假设就是过渡的基础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n的任意性，而把证明过程变成为一个“连环套”，使得人们在验证当n成立之后，要再在“nk已成立”的假设基础上，证出“当nk1时，命题也成立”就行了这就意味着只需要再往前迈出一步就够了，因而大大减少了论证中的不确定性，既然如此，运用归纳假设当然极为重要我们甚至可以说，“如何千方百计地创造条件以利用归纳假设？”的问题，正是论证者们在此应多考虑的最中心的问题例3 在一块平地上站有n个人对每个人来说，他到其他人的距离均不相问每人郁有一支水枪当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他最近的人证明，当n为奇数时，其中至少有一人身上是干的证: n1时，结论显然成立设命题对“n2k一1成立，要证当n2k十1时命题也成立设A与B两人之间的距离在所有的两人间的距离中为最小撤消A，B两人，则由归纳假设知，在剩下的2k一1个人中间，至少有一人C的身上是干的再把A,B两人加进去， 由于ACAB，BCAB,所以A，B两人都不会用水枪去击C，从而C身上仍然是干的所以对一切奇数n命题都成立 在这个问题中，先撤出两人是为了使用归纳假设(按照惯例，这叫做“退”)但在退出之后，还应再进；因为我们的目标是解决k十1的情形既然“退”是为“进”服务的，因此在“退”的时候就应当为“进”作好安排我们之所以撤出A和B，而不撤出别人，就是为了能方便地将他们再加进去2.2.2 学会从头看起为了实现归纳过渡，必须利用归纳假设可是，为了归纳假设，有时需要各种技巧那么，怎样才能知道该使用什么技巧呢？这里用得着数学大师华罗庚教授的话：“善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在数学归纳法中，最原始而不失重要性的地方，便是最开头的几步，通常也就是n1，2，3的情形凡是有些经验的人都知道，像这些简单的情形讨论是最合算也是最可靠的事实上，在很多问题中，如果真正把这些最开头的几步看透了，弄清楚了，想仔细了，那么解决整个问题的办法也就有了例4设正数数列满足关系式，证明，对一切正整数n有证明：n1的情形显然，而当n2时，由于，知断言也成立假设当n的时候，断言成立，即则当n1的时候，有，知断言也成立因此由数学归纳法原理知对一切正整数n，都有在上面的论证中，“n2”并未在归纳过渡中发挥作用，因此按理说来是不用验证这一步的但是，它却启示了我们如何将（）改写成一种便于使用归纳假设的形式，而这种启示对实行归纳过渡是非常重要的2.2.3 在起点上下功夫 起点情况的重要性并不仅仅表现在为归纳过渡提供启示，因而应当注意向起点情况讨论之所以强调向起点情况讨论，只是因为，一般来说起点情况多属具体验证，难度通常不大，因此容易忽略对其后面的归纳过渡的启发意义但是有时，我们也会遇到一些问题，在归纳的第一步上就很难，需要非常认真的下一番功夫这时，往往需要开阔思路，寻找合理的切入点，有时还需用到一些其它的知识例5证明，对一切自然数n，都存在自然数和使得 证明：当n1时，取，即可，此因假设当n时，存在自然数和，使得，那么显然就有足见可取，这就是说只要n时断言成立，即可推得nk+2断言也成立但由于我们只证明了n1时断言成立，因此结合“nk”“nk2”，我们仅证明了n为奇数时断言成立为了得出n为偶数时的结论，我们还应证明n2时断言成立注意到，因此只要令，那么就有可见当n2时断言也成立，于是结合“n”“n2”，便知断言对一切偶自然数n也成立综合上述，知对一切自然数n断言都成立这个例子告诉我们：为了便于归纳，可以不局限于“nk”“nk1”（即一步一跨），而可以因题制宜，采用大跨度跳跃，但此时应注意相应地增多起点，一般来说，采用多大跨度，就应当设多少个起点2.2.4 正确选取起点和过渡 我们已经知道，在数学归纳法的基本形式之下，第一次通常是由验证n做起，这叫做“起步”，叫做“起点”，在通常情况下，起点一般只有一个，第二步则是由“nk”跨到“nk1”，即每次跨一步换句话说，通常是以“跨度”1前进，那么这是不是说，这种安排起点和跨度的方式就一定是不能改变的呢？并不是的！人们完全可以根据问题的需要，对起点和跨度作灵活和适当的安排，不过需要注意的是，绝对不能造成逻辑上的漏洞起点是非常重要的，对起点及起点附近的一些命题的考察，不仅可以验证n时成立而且能帮我们发现实行归纳过渡的方法而选取起点方法很多，需要视具体问题而定，在此就不论述了例6 任意n条直线均能重合成一条直线 这个命题是荒谬的，当n2时就不能成立但如果我们忽视了这一点，而采用如下的“证明”，那么就有可能陷于荒谬而难于解脱： 当n1时，命题显然成立假设当nk时，命题已经成立那么当nk1时，可以先让其中k条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，即知命题也可成立所以任意n条直线均能重合成一条直线 这个“证明”中的逻辑上的漏洞，就在于在进行归纳过渡时，需要用到“可将任意两条直线重合为一条直线”的论断，而这一论断却是未加证明，而且在事实上也是不能加以证明的由此可见，认真考察起点附近的命题，并验证其成立与否，是何等之重要！但是，是不是在每一个问题的证明中，都需要首先验证起点附近的一连贯命题，并不是的究竟是否需要验证以及需要验证几个，完全取决于命题自身的特点，尤其是取决于在进行归纳过渡时的需要2.2.5 选取适当的归纳假设形式 我们已经知道，在数学归纳法的基本形式中，归纳假设总是以“假设当nk时，命题成立”的形式出现的其实，这并不是归纳假设的唯一形式在必要的时候，可以将归纳假设中的“nk”改写为“nk”事实上，在对很多问题的证明中，人们就是这么做的，有些人还把采用这种假设形式的数学归纳法称作第二归纳法第二数学归纳法在很多问题的证明中为我们带来方便由于第二数学归纳法在中学教材中并未提及，高考也不作要求，只是在竞赛中有所要求，所以在此不举例子若感兴趣，可参考漫话数学归纳法应用技巧一书3、 数学归纳法在中学数学中的应用3.1 证明有关自然数的等式例7 证明前n个自然数的和123n证明：1、1，命题成立2、假设123n，则123n（n1）（n1）命题证明完毕例8证明前n个自然数的平方和证明：1、2、假设，则，命题证明完毕例9证明：前n个自然数的立方和证明：1、2、假设，则，命题证明完毕3.2 证明有关自然数的不等式例10（贝奴利不等式）用数学归纳法证明：n，这里且不等于0，n是大于1的自然数证明：1、对于n2，因0，故不等式是正确的2、假设不等式对于n=k是正确的，这里是某一个自然数，就是说，当n=k+1时，由归纳假设得，从而有是正确的，这可由不等式两边各乘以得到，上不等式可改写，将上面不等式右边舍去正项，就可知所求证不等式是正确的例11设n为大于1的自然数，求证： 证明：1、当n2时，命题成立 2、假设当n时，命题成立，则当nk+1时， （）（）（）（）由归纳假设知，而，所以，此即说明当nk1时，命题也成立，因此对于任何大于1的自然数命题都成立3.3 证明不等式例12设和（n1） 求证： 证明：1、当n2时，因，所以 ，即，命题显然成立 当n3时，由可知命题也成立2、假设当n=k的时候命题成立，则当n=k+2时，即，可以推出， 故当n=k+2时，命题成立，于是对于任意大于1的自然数n，原不等式成立3.4 在函数迭代中的应用一些比较简单的函数，它的n次迭代表达式，可以根据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明所以，直接求法的本质，就是数学归纳法其中，关键是通过不完全归纳法，找出的一般表达式例13，求解：由定义，一般地，由不完全归纳可猜测，事实上，因为假定上式成立，则有， 所以，由数学归纳法知，对所有的自然数n都成立例14，求解：由定义，一般地，可猜得，假定上式成立，则有由数学归纳法知，对所有自然数n都成立3.5 在几何中的应用例15、一条直线被它的n个点分成几个部分？解：用表示所分部分的个数，显然有、一个平面被它上面的n条直线分成多少个部分？（这里每两条直线相交，但每三条直线没有交点，即n条斜交直线）解：1、一条直线将平面分成两个部分2、假设我们已经知道n条斜交直线将平面分成个部分，进而考虑，n1条斜交直线的情况原先的n条将平面划分成个部分；第n1条直线l，根据假设，与其余n条直线相交于n个不同的点，这些交点将直线l划分为n1个部分（见）则直线l切割平面上原有的n1个部分，因此在原有的基础上又增加了n1个所以，n1我们用数n1，n2，2，1代替等式中的n，得到：n，n1，3，2将以上等式相加，因为2，我们有，n（n1）21n（n1）211、空间被n个平面（这些平面每三个相交于一点，但每四个没有交点，即n各斜交平面）划分成多少个部分？解：1、一个平面将空间分成两个部分 2、假设我们已经知道空间被n个斜交平面划分成个部分，然后考虑n1个斜交平面的情形原先的n个平面将空间划分为个部分，这n个平 面与第n1个平面相交于n条斜交线，因此将它划分为个部分（见）因此，我们得到以下关系：我们用n1，n2，2，1代替n，有：将这些等式相加，得：（n1）（n2）12n13.6 在排列、组合中的应用由于数学归纳法可以解决有关自然数的问题，而排列组合与自然数密切相关，所以，在排列组合的许多结论，都可以用数学归纳法来证明比如教材中出现的排列数公式、组合数公式、自然数n的阶乘公式，二项式定理等重要公式，都能用数学归纳法加以证明下面我们举一个简单的例子例16 证明：n个元素的全排列的种数可以按下列公式求得： （n是自然数）证明：1、对于n1，上式显然是正确的，2、假设对于nk时，它是正确的，即当n=k+1时，假定我们已经组成了k个元素的一切可能的全排列，它们的种数是种，在每一种k个元素的全排列中，我们加入第k1个元素，则第k1个元素的放法有k1种，由分步计数原理，可得：k1个元素的全排列数从而，当n1时上式也正确因此，对一切自然数n它都正确，命题证明完毕3.7 在数列中的应用数列是中学数学的一个重要内容，其中等差数列、等比数列尤为重要，它与高中数学中的很多知识都有联系，作为解决整数问题的数学归纳法，同样可以用来解决一些有关数列的知识如等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式的证明都需要用数学归纳法，下面我们看几个例子例17试证明：等比数列的通项公式为（其中是数列的首项， 为公比）证明：1、当n1时，等式成立，因2、假设，对于nk它能成立：当n=k+1时，由等比数列的定义可得，从而，通项公式对一切自然数n都成立证明完毕例18试证明：等差数列的前n项和由