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文档简介
1 7 4多元复合函数的求导法则 7 4 1复合求导法则 7 4 2全微分形式不变性 2 7 4 1多元复合求导法则 例 1 中间变量为一元函数的情形 3 定理 且有求导公式 可微 全导数 全导数计算公式 4 中间变量多于两个的情况 推广 又称链导公式 或 全导数 全导数计算公式 5 解1 例 6 解2 例 w u v x 7 则复合函数 偏导数存在 且有下列计算公式 可微 2 两个中间变量 中间变量为两元函数的情形 8 解 例 9 推广 则 的两个偏导数可用下列公式计算 10 例设 解 求 11 12 3 等式左边的 对x的偏导数 u及y看作常数 z u x y x y 是复合后的函数 y看作常数 等式右边的 是复合前的函数 对x的偏导数 则 的两个偏导数可用下列公式计算 13 3 z u x y x y 则复合函数 的两个偏导数可用下列公式计算 注意区别 14 解 例 z u x y x y 15 解1 例 16 解2 例 17 解1 令 w f u v z x y 例 18 解2 记 令 则 w f 1 2 z x y 19 同理记 记 对变量关系清楚后 可不再画关系图 20 一样的变元关系 一样的求导过程 21 于是 22 解 例 z f 1 2 3 x y 23 24 解 练习 25 已知f t 可微 证明满足方程 t y为中间变量 x y为自变量 引入中间变量 则 解 练习 26 练习题 27 答案 28 由 例 解 把下列表达式转换为极坐标系中的形式 设的所有二阶偏导数连续 函数 换成极坐标 的函数 及 复合而成 反之 29 复合而成 r u x y 1 及 30 得 自学 31 两者形式一样 这称为一阶微分的形式不变性 7 4 3一阶全微分的形式不变性 一元函数 无论u是自变量 还是中间变量 都有 32 则有全微分 则有全微分 二元函数 33 称为一阶全微分形式不变性 34 可以利用一阶全微分形式不变性和下列微分运算法则求全微分或偏导数 35 解 例 利用一阶全微分的形式不变性求 36 解 例 利用一阶全微分的形式不变性求 37 38
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