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平面向量的数量积 2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 已知两个非零向量a和b 作OA a OB b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 O B A 向量的夹角 我们学过功的概念 即一个物体在力F的作用下产生位移s 如图 F S 力F所做的功W可用下式计算W F S cos 其中 是F与S的夹角 从力所做的功出发 我们引入向量 数量积 的概念 定义 a cos b cos 叫做向量a在b方向上 向量b在a方向上 的投影 注意 向量的数量积是一个数量 思考 a b a b cos 当0 90 时a b为正 当90 180 时a b为负 当 90 时a b为零 重要性质 特别地 解 a b a b cos 5 4 cos120 5 4 1 2 10 例1已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120 求a b 例2已知a 1 1 b 2 0 求a b 解 a 2 b 2 45 a b a b cos 2 2 cos45 2 a b的几何意义 练习 1 若a 0 则对任一向量b 有a b 0 2 若a 0 则对任一非零向量b 有a b 0 3 若a 0 a b 0 则b 0 4 若a b 0 则a b中至少有一个为0 5 若a 0 a b b c 则a c 6 若a b a c 则b c 当且仅当a 0时成立 7 对任意向量a有 二 平面向量的数量积的运算律 数量积的运算律 注 O N M a b b a c 向量a b a b在c上的投影的数量分别是OM MN ON 证明运算律 3 例3 求证 1 a b 2 a2 2a b b2 2 a b a b a2 b2 证明 1 a b 2 a b a b a b a a b b a a b a a b b b a2 2a b b2 证明 2 a b a b a b a a b b a a b a a b b b a2 b2 解 3 用向量方法证明 直径所对的圆周角为直角 如图所示 已知 O AB为直径 C为 O上任意一点 求证 ACB 90 分析 要证 ACB 90
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