矩阵理论-第6讲.ppt

矩阵理论 上节内容回顾 范数在优化问题中的应用几个重要的不等式有限维赋范空间的范数特性内积空间的正交性 构造标准正交向量组的方法 内积空间 定义了内积 赋范空间 赋予范数 线性空间 标准正交基 Gram Schmidt正交化定理设X是内积空间 而是X中线性无关的子集 则存在标准正交集 使得Hilbert空间中完全的标准正交集 称之为标准正交基标准正交集的完全性标准正交集称为是完全的 如果再不能添加元素于其中 使添加后所得的集合仍是标准正交集 换句话说 假使这样的元素存在 其必为0 即若 使 则必有举例 标准正交基 或 可由的标准正交基的线性组合表示 其中对应于的系数为又 若的在同一标准正交基的线性组合表示中 对应于的系数为 则 标准正交基 在标准正交基的线性组合表示中 对应于的系数为 则 酉矩阵 对 若其n个列向量是一个标准正交基 那么这样的矩阵具有怎样的性质 或 其中具有这样性质的矩阵称为酉矩阵 Whycallit酉 酉 U maybe Uniform notchanging 因为给定A为酉矩阵 则即 保持任两向量的内积不变 向量的长度不变 两点之间的距离不变 复内积空间称为酉空间 酉矩阵的性质 若A是酉矩阵 则也是酉矩阵证1 A是酉矩阵 Answer 酉矩阵 酉矩阵的性质 若A是酉矩阵 则也是酉矩阵证2 若A B是酉矩阵 则AB也是酉矩阵证明 酉矩阵 酉矩阵的性质 若A是酉矩阵 则 或证明 酉矩阵 酉矩阵的性质 A是酉矩阵A的n个列向量是两两正交的单位向量证明 设矩阵 则易见 A是酉矩阵的充分必要条件是 酉相似下的标准形 方阵A有n个线性无关的特征向量 A的所有特征值的几何重数等于其代数重数 若此条件不满足 退而求其次 方阵A在复数域上总是能相似于Jordan标准形 分块对角矩阵再退而求其次 不管n阶方阵的特征向量的相关性 也不管其特征值的代数重数和几何重数 方阵A总可以酉相似于一个上三角矩阵 酉相似下的标准形 Schur定理 任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵设 则A可酉相似于上三角矩阵T 即 且 使得证明 用归纳法证明 当n 1时 显然成立 假设Schur定理对n 1阶矩阵成立设为A的属于的特征向量 因 将其化为单位特征向量 仍是A的属于的特征向量 因中线性无关的向量可扩充为其基 将扩充为的一组基 酉相似下的标准形 依Gram Schmidt正交化程序 将其化为的标准正交基以此标准正交基作列向量 则构成n阶酉矩阵注意到及的列向量的正交性 酉相似下的标准形 是n 1阶矩阵 根据归纳假设 且使得构造分块矩阵酉矩阵是酉矩阵 酉相似下的标准形 从而是n阶酉矩阵 且由于相似矩阵有相同的特征值 所以T的对角线元素也是A的特征值 正规矩阵 在酉相似的情形下 即若上式中的A是正规矩阵 则A酉相似于对角矩阵 即正规矩阵定义在复数域上的 满足的方阵称之为正规矩阵酉矩阵正交矩阵Hermite矩阵或反Hermite矩阵或实对称矩阵实反对称矩阵对角矩阵 正规矩阵 方阵酉相似于对角阵的充要条件设 A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵证明 必要性 设 且 使得令 则 A是正规矩阵 正规矩阵 充分性 由Schur定理 且 使得 矩阵乘积的共轭转置 等于各矩阵取共轭转置后按反序相乘 A是正规矩阵 正规矩阵 T是对角阵 正规矩阵 推论1Hermite矩阵的特征值均为实数 反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数 证明 设是Hermite矩阵 则A是正规矩阵 且使得若A是反Hermite矩阵 可得 A是Hermite矩阵 Hermite矩阵的特征值均为实数 反Hermite矩阵的特征值为0或纯实数 正规矩阵 推论2实对称矩阵的特征值均为实数 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数 推论3设是正规矩阵 是A的特征值 x是A的属于特征值的特征向量 则是的特征值 x是的属于特征值的特征向量 证明 由于A是正规矩阵 所以 且使得两边同时取共轭转置相似的矩阵有相同的特征值 是的特征值 正规矩阵 设 则类似地 由可得即 当是A的属于特征值的特征向量时 也是的属于特征值的特征向量 由于是的标准正交基 x在同一标准正交基下的坐标相同 所以 当x是A的属于特征值的特征向量时 也是的属于特征值的特征向量 正规矩阵 推论4设是正规矩阵 是其特征值 分别是A的属于的特征向量 若 则x与y正交 证明 由命题中可知 又由推论3知从而由上式可得当时 故x与y正交 正规矩阵 方阵相似于对角阵的充要条件每个特征值的几何重数等于其代数重数 方阵酉相似于对角阵的充要条件A为正规矩阵 酉相似是相似的特殊情形由于二者均为充要条件 所以可以断定 正规矩阵的特征值的几何重数等于其代数重数对正规矩阵 一定存在酉矩阵 使其相似于对角阵 正规矩阵 化正规矩阵为对角阵由的基构成的矩阵可使依Gram Schmidt正交化程序 将T的列向量化为的标准正交基 则酉