圆周角定理及其运用tjf.ppt

24 1 4圆周角 复习旧知 请说说我们是如何给圆心角下定义的 试回答 顶点在圆心的角叫圆心角 能仿照圆心角的定义 给下图中象 ACB这样的角下个定义吗 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 问题探讨 判断下列图形中所画的 P是否为圆周角 并说明理由 P P P P 不是 是 不是 不是 顶点不在圆上 顶点在圆上 两边和圆相交 两边不和圆相交 有一边和圆不相交 有没有圆周角 有没有圆心角 它们有什么共同的特点 它们都对着同一条弧 当球员在B D E处射门时 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角 ABC ADC AEC 这三个角的大小有什么关系 你能发现什么规律 实践活动 画一个圆 再任意画一个圆周角 看一下圆心在什么位置 圆心在一边上 圆心在角内 圆心在角外 如图 观察圆周角 ABC与圆心角 AOC 它们的大小有什么关系 圆周角和圆心角的关系 1 首先考虑第一种情况 当圆心O在圆周角 ABC 的一边 BC 上时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系 AOC是 ABO的外角 AOC B A OA OB A B AOC 2 B 即 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 期望 你可要理解并掌握这个模型 第二种情况 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 2 当圆心O在圆周角 ABC 的内部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 提示 能否转化为1的情况 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC 能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ABD AOD CBD COD 第三种情况 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 3 当圆心O在圆周角 ABC 的外部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 提示 能否也转化为1的情况 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ABD AOD CBD COD 巩固练习 如图 点A B C D在同一个圆上 四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角 这些角中哪些是相等的角 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 我们把顶点在圆心的周角等分成360份时 每一份的圆心角是1 的角 在同圆或等圆中 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等 所以整个圆也被等分成360份 我们把每一份这样的弧叫做1 的弧 在同圆或等圆中 D A B C1 O C2 C3 归纳 练习 2 如图 圆心角 AOB 100 则 ACB 1 求圆中角X的度数 C C D B 在同圆或等圆中 如果两个圆周角相等 它们所对弧一定相等吗 为什么 在同圆或等圆中 如果两个圆周角相等 它们所对的弧一定相等 问题1 如图 AB是 O的直径 请问 C1 C2 C3的度数是 推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 问题2 若 C1 C2 C3是直角 那么 AOB是 90 180 探究与思考 若一个多边形各顶点都在同一个圆上 那么 这个多边形叫做圆内接多边形 这个圆叫做这个多边形的外接圆 如图 四边形ABCD为 O的内接四边形 O为四边形ABCD的外接圆 O 如图 圆内接四边形ABCD中 A C 180 同理 B D 180 圆的内接四边形的对角互补 如果延长BC到E 那么 DCE BCD 180 所以 A DCE 又 A BCD 180 练一练 1 如图 在 O中 ABC 50 则 AOC等于 A 50 B 80 C 90 D 100 D 2 如图 ABC是等边三角形 动点P在圆周的劣弧AB上 且不与A B重合 则 BPC等于 A 30 B 60 C 90 D 45 B 练一练 3 如图 A 50 AOC 100 BD是 O的直径 则 AEB等于 A 70 B 110 C 90 D 120 D 4 如图 ABC的顶点A B C都在 O上 C 30 AB 2 则 O的半径是 解 连接OA OB C 30 AOB 60 又 OA OB AOB是等边三角形 OA OB AB 2 即半径为2 2 3 已知 O中弦AB的等于半径 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数 圆心角为60度 圆周角为30度 或150度 4 如图 在 O中 AB为直径 CB CF 弦CG AB 交AB于D 交BF于E求证 BE EC 例5 如图 AB是 O的直径AB 10cm 弦AC 6cm ACB的平分线交 O于点D 求BC AD BD的长 10 6 6 练习 如图AB是 O的直径 C D是圆上的两点 若 ABD 40 则 BCD 40 如图所示 已知 ABC的三个顶点都在 O上 AD是 ABC的高 AE是 O的直径 求证 BAE CAD 5 如图 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗 你有多少种方法 与同学交流一下 D O O O 方法一 方法二 方法三 方法四 A B 练习 例2在足球比赛场上 甲 乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻 当甲带球冲到A点时 乙已跟随冲到B点 如图2 此时甲是自己直接射门好 还是迅速将球回传给乙 让乙射门好 分析在真正的足球比赛中情况会很复杂 这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑 如果两个点到球门的距离相差不大 要确定较好的射门位置 关键看这两个点分别对球门MN的张角大小 当张角较小时 则球容易被对方守门员拦截 怎样比较A B两点对MN张角的大小呢 解考虑过M N以及A B中的任一点作一圆 这里不妨作出 BMN 显然 A点在 BMN外 设MA交圆于C 则 MAN MCN 而 MCN MBN 所以 MAN MBN 因此 甲应将球回传给乙 让乙射门 第二课时应用 回顾 圆周角定理及推论 思考 判断正误 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 2 相等的圆周角所对的弧相等 3 90 角所对的弦是直径 4 直径所对的角等于90 5 长等于半径的弦所对的圆周角等于30 例如图 O直径AB为10cm 弦AC为6cm ACB的平分线交 O于D 求BC AD BD的长 又在Rt ABD中 AD2 BD2 AB2 解 AB是直径 ACB ADB 90 在Rt ABC中 CD平分 ACB AD BD 例题 3 求证 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 提示 作出以这条边为直径的圆 A B C O 求证 ABC为直角三角形 证明 CO AB 以AB为直径作 O AO BO AO BO CO 点C在 O上 又 AB为直径 ACB 180 90 ABC为直角三角形 课本练习 课堂练习 1 如图 OA OB OC都是 O的半径 AOB 2 BOC ACB与 BAC的大小有什么关系 为什么 2 如图 A B C D是 O上的四个点 且 BCD 100 求 BOD 所对的圆心角 和 BAD的大小 探究 3 如图 AB是 O的直径 BD是 O的弦 延长BD到点C 使DC BD 连接AC交 O于点F 点F不与点A重合 1 AB与AC的大小有什么关系 为什么 2 按角的大小分类 请你判断 ABC属于哪一类三角形 并说明理由 ABC是锐角三角形 解 1 AB AC 证明 连接AD 又 DC BD AB AC 2 ABC是锐角三角形 由 1 知 B C 90 连接BF 则 AFB 90 A 90 AB是直径 ADB 90 1 AB AC为 O的两条弦 延长CA到D 使AD AB 如果 ADB 35 求 BOC的度数 BOC 140 A 21