基本计数原理___人教版.ppt

1 1基本计数原理 问题1 某旅游团从南京到上海 可以乘汽车 也可以乘火车 假定汽车每日有3班 火车每日有2班 那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法 上海 宁波 上海 5 3 2 分类加法计数原理幻灯片4 做一件事 完成它有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 做一件事 完成它需要分成n个步骤 做第一个步骤有m1种不同的方法 做第第二个步骤有m2种不同的方法 做第n个步骤有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 N m1 m2 mn 分步乘法计数原理幻灯片5 问题2 后来该旅游团改变行程 增加杭州两日游 先乘汽车从南京至杭州 两天后再乘汽车从杭州至上海 假定南京至杭州的汽车每天有 班 杭州至上海的汽车每天有 班 那么该团从南京经杭州到上海有多少种不同的方法 上海 宁波 杭州 3 2幻灯片3 6 两个基本计数原理理的联系和区别 完成一件事 共有n类办法 方式是 分类 完成一件事 共分n个步骤 方式是 分步 各类办法相互独立 各类办法中的任何一种方法都能独立地完成这件事 各步骤相互依存 缺一不可 只有把各个步骤全部完成 才能完成这件事 每个步骤中的任何一种方法都不能独立地完成这件事 都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法 合作探究一 一个三层书架的上层放有5本不同的数学书 中间放有3本不同的语文书 下层放有2本不同的英语书 1 从书架上任取一本书 有多少种不同的取法 2 从书架上任取三本书 其中数学书 语文书 英语书各一本 有多少种不同的取法 解 1 从书架上任取一本书 有三类办法 第一类办法从书架上层任取一本数学书 有5种不同的方法 第二类办法从书架中层任取一本语文书 有3种不同的方法 第三类办法从书架下层任取一本英语书 有2种不同的方法 只要从书架上任意取出一本书 任务即完成 由分类加法计数原理 可得不同的取法共有N 5 3 2 10 种 2 从书架上任取三本书 其中数学书 语文书 英语书各一本 可以分三个步骤完成 第一步从书架上层任取一本数学书 有5种不同的方法 第二步从书架中层任取一本语文书 有3种不同的方法 第三步从书架下层任取一本英语书 有2种不同的方法 由分步乘法计数原理 可得不同的取法共有N 5 3 2 30 种 所以从书架上任取三本书 其中数学书 语文书 英语书各一本 共有30种不同的取法 探究成果 1 应用两个基本计数原理解题时 要明确是 分类 还是 分步 分类 完成用加法计数原理 分步 完成用乘法计数原理 2 注意解题步骤的规范 解 1 完成 组成无重复数字的四位密码 这件事 可以分四个步骤 第一步选取左边第一个位置上的数字 有5种选取方法 第二步选取左边第二个位置上的数字 有4种选取方法 第三步选取左边第三个位置上的数字 有3种选取方法 第四步选取左边第四个位置上的数字 有2种选取方法 由分步乘法计数原理 可组成不同的四位密码共有N 5 4 3 2 120 个 合作探究二 用0 1 2 3 4这五个数字可以组成多少个无重复数字的 1 银行存折的四位密码 2 四位数 幻灯片9 3 四位奇数 幻灯片10 探究成果 2 完成 组成无重复数字的四位数 这件事 可以分四个步骤 第一步从1 2 3 4中选取一个数字做千位数字 有4种不同的选取方法 第二步从1 2 3 4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字 有4种不同的选取方法 第三步从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字 有3种不同的选取方法 第四步从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字 有2种不同的选取方法 由分步乘法计数原理 可组成不同的四位数共有N 4 4 3 2 96 个 幻灯片8 3 解法一 完成 组成无重复数字的四位奇数 这件事 有两类办法 第一类办法四位奇数的个位数字为1 这件事分三个步骤完成 第一步从2 3 4中选取一个数字做千位数字 有3种不同的选取方法 第二步从2 3 4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百位数字 有3种不同的选取方法 第三步从剩余的两个数字中 选取一个数字做十位数字 有2种不同的选取方法 由分步乘法计数原理 第一类的四位奇数共有N1 3 3 2 18 个 第二类办法四位奇数的个位数字为3 这件事分三个步骤完成 第一步从1 2 4中选取一个数字做千位数字 有3种不同的选取方法 第二步从1 2 4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百位数字 有3种不同的选取方法 第三步从剩余的两个数字中 选取一个数字做十位数字 有2种不同的选取方法 由分步乘法计数原理 第二类的四位奇数共有N2 3 3 2 18 个 最后 由分类加法计数原理 符合条件的四位奇数共有N N1 N2 18 18 36 个 3 解法二 完成 组成无重复数字的四位奇数 这件事 可以分四个步骤 第一步确定个位数字 从1 3中选取一个数字做个位数字 有2种不同的选取方法 第二步确定千位数字 从1 2 3 4剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字 有3种不同的选取方法 第三步确定百位数字 从1 2 3 4剩余的两个数字和0共三个数字中 选取一个数字做百位数字 有3种不同的选取方法 第四步确定十位数字 从剩余的两个数字中 选取一个数字做十位数字 有2种不同的选取方法 由分步乘法计数原理 符合条件的四位奇数共有N 2 3 3 2 36 个 幻灯片8 探究成果 2 对于有特殊元素或特殊位置的问题 可优先安排 3 对于同一个事件的处理 可以采用不同的解法 但结果肯定是相同的 用这种方法可以起到很好的检验效果 1 应用两个基本计数原理解题时 首先必须弄明白怎样就能 完成这件事 其次要做到合理分类 准确分步 按元素的性质分类 按事件发生的过程分步是计数问题的基本方法 变式练习 用0 1 2 3 4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数 解 完成 组成无重复数字的四位偶数 这件事 有两类办法 第一类办法四位偶数的个位数字为0 这件事分三个步骤完成 第一步从1 2 3 4中选取一个数字做千位数字 有4种不同的选取方法 第二步从1 2 3 4中剩余的三个数字中选取一个数字做百位数字 有3种不同的选取方法 第三步从剩余的两个数字中 选取一个数字做十位数字 有2种不同的选取方法 由分步乘法计数原理 第一类的四位偶数共有N1 4 3 2 24 个 升华提高 很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决 此时可根据需要先分类再分步 或者先分步再分类 第二类办法四位偶数的个位数字为2或4 这件事分四个步骤完成 第一步从2 4中选取一个数字做个位数字 有2种不同的选取方法 第二步从1 2 3 4中剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字 有3种不同的选取方法 第三步从1 2 3 4剩余的两个数字与0共三个数字中 选取一个数字做百位数字 有3种不同的选取方法 第四步从剩余的两个数字中 选取一个数字做十位数字 有2种不同的选取方法 由分步乘法计数原理 第二类的四位偶数共有N2 2 3 3 2 36 个 最后 由分类加法计数原理 符合条件的四位偶数共有N N1 N2 24 36 60 个 合作探究三 我们把一元硬币有国徽的一面叫正面 有币值的一面叫反面 现依次抛出5枚一元硬币 按照抛出的顺序得到一个由5个 正 或 反 组成的序列 如 正 反 反 反 正 问一共可以得到多少个不同的这样的序列 解 分5个步骤完成这件事 每个步骤都有 正 或 反 两种不同的情况 有分步乘法计数原理 得N 2 2 2 2 2 25 32 所以一共可以得到32个不同的序列 探究成果 应用两个计数原理解题时 要注意判断是否重复 当堂检测 1 一个科技小组中有3名女同学 5名男同学 从中任选一名同学参加学科竞赛 共有不同的选派方法 种 若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛 共有不同的选派方法 种 8 15 3 3位旅客到4个旅馆住宿 有种不同的住宿方法 幻灯片19 2 从甲地到乙地有2条路可通 从乙地到丙地有3条路可通 从甲地到丁地有4条路可通 从丁地到丙地有2条路可通 从甲地经过乙地或丁地到丙地共有种不同的走法 幻灯片18 14 64 课堂总结 甲地 乙地 丙地 丁地 解 如图所示 从总体上看 由甲到丙有两类不同的走法 第一类 由甲经乙去丙 又需分两步 所以m1 2 3 6种不同的走法 第二类 由甲经丁去丙 也需分两步 所以m2 4 2 8种不同的走法 所以从甲地到丙地共有N 6 8 14种不同的走法 幻灯片16 2 从甲地到乙地有2条路可通 从乙地到丙地有3条路可通 从甲地到丁地有4条路可通 从丁地到丙地有2条路可通 从甲地经过乙地或丁地到丙地共有种不同的走法 解 分3个步骤完成这件事 每位乘客都有4种不同的住宿方法 由分步乘法计数原理