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第九章多元函数微分法及其应用 前面介绍了一元函数关于自变量x的变化率与函数的微小变化 即导数与微分 作为推广 下面介绍二元函数关于两个自变量的变化率以及沿任意方向的函数的微小变化 即偏导数和全微分 多元函数偏导数和全微分统称为多元函数微分学 第一节多元函数基本概念 二多元函数的概念 三多元函数的极限 四多元函数的连续性 五进一步思考题 一平面点集 回顾 一元函数 集合 实数子集邻域 区间函数 初等函数分段函数 介绍 二元函数 集合 平面点集邻域 区域函数 初等函数分段函数 一平面点集 1 邻域 2 区域 例如 即为开集 连通的开集称为区域或开区域 例如 例如 例如 有界闭区域 无界开区域 3 聚点 内点一定是聚点 说明 边界点可能是聚点 例如 0 0 既是边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E 也可以不属于E 例如 0 0 是聚点但不属于集合 例如 边界上的点都是聚点也都属于集合 4 三维立体空间的相关概念 如 两点间距离 邻域 区间等 自行推广 1 定义 类似地可定义三元及三元以上函数 二 多元函数的概念 例1求的定义域 解 2 二元函数的图形 如下页图 二元函数的图形通常是一张曲面 例如 图形如右图 例如 右图球面 单值分支 三 多元函数的极限 说明 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 如 四则运算法则 复合函数求极限法则 特别地 变量替换法则 无穷小无穷大性质 洛必达法则等 例2求证 证 例3求极限 解 例4证明不存在 证 确定极限不存在的方法 z a y x 那么 曲面在点 0 0 附近的形状是怎样的呢 曲面与z轴无交点 曲面关于平面y x对称 曲面关于平面y x对称 y x 二重极限不存在的例子 y x z a D 那么 曲面在点 0 0 附近的形状是怎样的呢 曲面与z轴无交点 曲面关于平面y x对称 曲面关于平面y x对称 y 0 二重极限不存在的例子 y kx y x z a D 那么 曲面在点 0 0 附近的形状是怎样的呢 曲面与z轴无交点 曲面关于平面y x对称 曲面关于平面y x对称 y 0 二重极限不存在的例子 y kx y x z a y x D 那么 曲面在点 0 0 附近的形状是怎样的呢 曲面与z轴无交点 曲面关于平面y x对称 曲面关于平面y x对称 y 0 二重极限不存在的例子 自行推广 四 多元函数的连续性 定义3 解 例6讨论函数 在 0 0 的连续性 解 多元初等函数 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 例 解 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多
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