4第四章流体动力学(积分方程).ppt

第四章流体动力学的基本方程 积分形式 前面我们分析了流体运动学的问题 并试图去求解流场 但是在所有这些分析中 我们都没有涉及导致流体运动发生的原因 而流体力学要解决的问题是 流体与存在着相对运动的物体之间的力的相互作用 以及由此相互作用而引起的流体运动的规律 这在运动学中是解决不了的 它需要我们开展动力学的研究 这就是我们将要学习的 流体动力学 流体是物质的一种 流体运动也是物质运动的一种 因此 对于物质的运动所要遵守的普遍规律 流体在运动过程中也应无条件遵守 那么 描述这些需无条件遵守的规律的数学方程 我们就称其为基本方程 比如流体在运动过程中的质量守恒 动量守恒和能量守恒 这些守恒关系都是要无条件遵守的 除此之外 还有如熵增原理 虽然要被普遍遵守却没有明确的数学公式 而像p v T关系 过程关系 流体性质不同它们是不同的 基本方程所描述的这些守恒关系 可以是积分形式的也可以是微分形式的 虽然他们所要反应的规律在本质上是一样的 但积分方程是在宏观上 整体上对流体流动过程中的守恒关系及参变量加以描述 如合力 总能量等 而微分方程则是对流场中微元体的平衡细节加以描述 因此它的解就能给出场的分布 如速度场 温度场 这两种形式的基本方程可以互相导出 各有应用的地方 我们的思路是 先建立积分形式的基本方程 它的优点是物理概念很清楚 容易被接收 在认可了积分形式的方程后 只要对其稍做处理 就可以得到微分形式的基本方程 这比直接建立微分方程要简单些 书上介绍的是直接建立微分方程的方法 可以互为补充 在建立基本方程时守恒关系都是针对 物体 写出来的 我们应用拉格朗日观点分析流体运动描述这种守恒关系时 自然会方便得多 但流体动力学最终要用欧拉的方法加以分析 所以也必须在这两者之间建立关系 为了今后的学习 首先我们要明确系统与控制体概念 第一节系统与控制体 一 系统包含着确定不变的流体物质的集合 称之为系统 系统之外的集合称之为外界 系统与外界的交界称为边界 在流体力学中 系统是确定的流体质点组成的流体团 系统的特点 1 系统的边界随流体一起运动 大小形状可变 2 在系统的边界上没有质量交换 3 在系统的边界上可受外界表面力作用 4 在系统的边界上可以有能量交换 显然 当我们以系统作为研究对象来分析守恒关系时 就意味着采用拉格朗日的观点和方法 而当我们要用欧拉的观点来研究流动过程的守恒关系时 就应该以控制体作为研究对象 二 控制体被流体流过的相对于某个坐标系固定不变的任何体积 称之为控制体 控制体的边界面称之为控制面 是封闭面 不同的时间占据控制体空间的流体质点是不同的 控制体的特点 1 控制体相对于坐标系是固定的 大小形状不变 2 在控制面上有质量的交换3 在控制面上可受外界表面力的作用4 在控制面上可以有能量交换 既然立足于系统的基本方程直接传承于理论力学的方法 我们先建立拉格朗日型的积分形式的基本方程 第二节拉格朗日型基本方程 取如图任意一个封闭表面所包围的体积中的流体作为系统加以考察 一 连续方程连续方程是建立系统的质量守恒关系 设中的流体总质量为M 按系统的定义 系统内的流体质量M将不随时间改变而守恒 即M const或 系统中流体密度的分布可以是不均匀的 并且可以随时间改变 即有 则系统内的总质量为 反映质量守恒的连续方程为 二 动量方程单位体积的流体的动量定义为 则系统内流体的总动量是对系统体积的积分 根据动量守恒定律或牛顿第二定律 系统的动量对时间的变化率等于外界作用在系统上的合力 其中合外力可分为质量力和表面力 质量力 表面力 所以反映牛顿第二定律的动量守恒方程为 三 动量矩方程将动量方程的各项对o点取矩 即能得到动量矩方程 动量矩守恒定律可表述为 系统对某点的动量矩随时间的变化率等于外界作用在系统上的所有外力对同一点的力矩之和 其中 是系统对o点的动量矩 是以o点为原点的向径 动量矩方程一般用在有转动部件时 三 能量方程定义系统的总能量为 其中 e是单位质量流体所含的内能 是单位质量流体所具有的动能 根据能量守恒原理或热力学第一定律 单位时间内由外界传入系统的热量Q与外力对系统所作的功W之和 等于该系统的总能量E对时间的变化率 即 下面逐项分析传热和作功 这里传给系统的热量可以通过以下两种途径 热传导和热辐射 其中 热传导是通过表面进行的 而热辐射是可以穿透流体作用到系统内部的 而外力对系统作功也可以分为质量力作功和表面力作功 前者是长程作用 后者是表面作用 将单位时间内通过单位面积的热传导量记为 则单位时间内通过系统边界的总的热传导量 将单位时间内辐射到系统单位质量流体上的热记为 则单位时间内系统所吸收的总辐射量为 单位时间作的功就是功率 则质量力作功的总功率为 表面力作功的总功率 由能量守恒定律 代入前面的关系即可得到能量方程 至此 我们建立了基于系统的拉格朗日型的积分形式的基本方程组 他们包括 连续方程 动量方程 动量矩方程和能量方程 其中 动量矩方程在有关旋转系统的流动问题中有应用 但是 在工程中更常用到的是基于控制体的欧拉型方程 那么 基于系统的守恒方程与基于控制体的守恒方程之间有什么关系呢 这就是我们将要讨论的问题 第三节输运公式 前面我们也已讲到 拉格朗日形式的方程虽然它很容易建立 也很容易理解 但我们并不常用 我们的最终目的是要建立欧拉型的积分方程 那么 怎样建立欧拉方程 两者在形式上又有什么不同呢 现在回过头来看一下拉格朗日型的基本方程 可以发现它能写成如下的通式 注意 这里的积分是对系统的体积和表面积进行积分 用欧拉方法时 可以取t0时刻的系统所占的体积为控制体 这样 等式的右边就变换为对控制体的积分 但是 等式左边是系统体积积分随时间的变化率 随着时间的改变 系统体积的形状和位置是在改变的 它是系统的总质量 总动量或总能量随时间的变化率 我们称之为系统导数 也称其为输运项 而控制体不能直接对其进行描述 等式的右边可以将其称为动力项或源项 是左边的输运过程产生的原因 这样我们可以认识到 建立欧拉型方程的关键是导出控制体描述的系统导数的形式 也就是输运项的控制体描述形式 我们可以把拉格朗日方程中的输运项写成统一的形式 这样当时 当时 当时 总能量 我们的工作是要将系统导数转换成适合于控制体描述的形式 首先系统导数描述的是被输运的量随时间变化的变化率 由于控制体是不动的 当其描述确定物质的变化率时 我们可以猜想 这种描述与欧拉加速度一样 应该由两部分组成 一部分是控制体内参数I随时间的变化 另一部分是由于I的空间分布不同 使得I在随流体流过控制体时 他所发生的变化 为了确定系统导数在控制体中的描述 我们在t时刻 在流场中取系统如图 它的体积为 表面积为 经过时间 该系统随流体运动到下一位置如图 此时的体积为 表面积 同时我们定义控制体为t时刻的系统 即控制体的体积 其表面积 当足够小时 两个时刻的系统边界将空间分为三个区域 公共部分为 则 为与的交界面 为与的交界面 则 这一几何关系要搞清楚 没有立体概念的可以想象一个二维问题 当系统随流体运动时 系统的输运函数I也在发生变化 其在时间内的变化量为 由系统导数的定义 注意 当时 控制体 只要在体积积分量的外面没有 对时间求导 对系统的积分就可以变换为对控制体的积分 我们来看这三项描述的物理意义 a 根据微分中值定理 a 式中右边第一项的被积函数可写为 因此 又体积内的积分 当时可以看作是由表面上的函数在速度的作用下 时间内移动占据空间的积分 当流体运动时 在时间内走了距离 该微元体积为 b 所以 的积分又可表示为 同理 上面两项 一项是对A01的积分 一项是对A02的积分 合起来正好是对t0时刻封闭曲面A0 A的积分 这样 a 式中的第二项就变为 c 将 b 式和 c 式代入 a 式 最后我们得到输运公式 这就是系统导数在控制体中的描述 也称系统导数的欧拉表示法 其物理意义可以这样来理解 是在控制体内随时间的变化量 是流出控制体的 净流量 与加速度的质点导数一样 第一项是由于流场的非定常性造成的 而第二项是由于流场的不均匀性造成的 整个输运公式的物理意义可描述为 某物理量的系统导数 等于单位时间内 控制体内所含物理量的增量与通过控制面流出的相应的物理量之和 输运公式的另一种形式 由上面的分析推导过程我们发现 只适于系统描述是由于它表示的是系统体积积分的时间变化率 而系统的体积是随时间变化的 如果能将积分号放到微分号的外边 这种求导就与体积无关 那么就无所谓是对还是对积分了 我们可以试着这样做一下 在讨论流体微团运动分析时 曾对体积变形速率进行过描述 最终得到 输运公式的推导 思路还是很清晰的 对于系统 讨论时刻与时刻系统参数的变化量 其中 时刻的系统同时取为控制体 将两个时刻系统所占据的空间体积分为三个部分 和 在共有体积内分析随时间的变化 在个有体积内分析的输运 最终得到全部体积内的变化关系 为了更简单的得到输运公式的关系 同学们可以对如图的流管流动过程进行分析 来推导基于流管的输运方程 第四节欧拉型基本方程 有了输运公式以后 就可以很方便的由拉格朗日型的积分方程转化为欧拉型的积分方程 注意这种转换是对输运项或系统导数进行 而对动力项 由于不涉及到系统积分的时间变化率 所以可直接将对系统的积分转换成对控制体的积分 这里我们先利用第一种输运公式来进行转换 由此得到的欧拉积分方程可以用于实际工程应用问题的分析 一 连续方程在输运公式中令 则连续方程为 即 物理意义 单位时间内通过控制面A流入的净质量 等于控制体内质量的增加量率 注意 利用高斯定律可以将上式中的表面积分转换成体积积分 代入连续方程 当流动为定常流动时 有 所以对于定常的可压缩流动 有 取如右图的流管为控制体 假设流动为定常流动 则连续方程中的时间导数项为零 流管的连续方程 在流管侧表面上 流速与表面外法线方向垂直 所以A0表面上的积分为零 所以有 如果在进 出口界面上各参数分布均匀 上式可积分得 二 动量方程令 则动量方程为 整理后即得 物理意义 作用在控制体上的合外力加单位时间内通过控制面流入的净动量 等于控制体内动量的增加率 同理可以得到动量矩方程 流管的动量方程 仍取如右图的流管为控制体 假设流动为定常流动 则动量方程中的时间导数项为零 控制体内的流体所受的合外力为 则合外力与动量输运的关系 忽略质量力 并假设流体是理想流体 则控制体所受表面力为 截面处参数均匀分布 三 能量方程令 同样的道理 可得能量方程 物理意义 单位时间内传给控制体内的热量及外界对控制体所作的功与通过控制面流入的总能量之和 等于控制体内流体总能量的增加率 四 能量方程的简化形式 不可压缩理想流体在有势质量力场中作绝热定常流动时的能量方程 绝热流动 理想流体 质量力有势 定常流 将以上结果代入能量方程中 因为各项是对同一控制体的控制面积分 即有 对于不可压缩流体 由于绝热 所以流动是等温的 内能与密度均为常数 最终得到简化形式的能量方程为 流管的简化能量方程 我们首先得到的能量方程是不受任何限制的一般形式 在引入了五个方面的假设后 方程变成了如上的简化形式 注意这是一个表面积分 我们不能因此得出被积函数等于零的结论 五 欧拉型积分方程的另一种形式 利用另一种形式的输运公式 可以得到另一种形式的欧拉基本方程 如令 可得连续方程 当令时 总动量系统导数的控制体表示为 将其代入动量方程有 同理可以证明 当时 总能量的系统导数为 有能量方程 第二种形式的欧拉方程 从物理意义上讲并不如第一种形式那么清晰 从应用上讲也不如第一种方便 但它是将来建立微分方程的工具 第五节欧拉型积分方程的应用 欧拉型的积分方程可以用来分析和解决一些典型的工程流体力学的问题 主要是求物体所受流体作用的合力 以及在此力作用下导致的运动 而应用的关键在于正确选取控制面 确定控制面的主要原则包括 1 所研究的 包括待求合力作用的 边界面 2 全部或部分物理量已知的面 3 流面 例1 不可压缩流体对弯管管壁的作用力 不可压缩流体流过如图的固定弯管 设流动是定常的 质量力为重力 若已知进出口截面积为A1 A2 且其上流速 压力为均匀分布 如图选取控制体 并将坐标系固联于弯管 以表示流体作用于弯管管壁的合力 则是弯管壁作用于流体的合力 由牛顿第三定律 由于是定常流动 由动量方程 有 其中 a 代入 a 式即有 上式就是本问题的一般解 如进一步假设是理想流体作绝热流动且忽略质量力 又设 由连续方程 能量方程 则结果简化为 利用上式分析如右图的情况 例2 不可压缩射流冲击挡板 一股理想不可压缩流体的平面射流流束以速度V成角 射向平板AB 其后流动分成两束 足够远后的宽度为d1 d2 初始来流宽为d3 设流动绝热 定常 忽略质量力 求平板所受合力 取oxy坐标系及控制体如图 其中A0为流管侧面 Ab位于流体接触的壁面 由简化形式的能量方程 有 由于 积分上式即有 由连续方程 由于A0面的压力也为pa 仅有Ab面的压力pb未知 设 有 而挡板所受的力是流体在Ab面所受力的反作用力 动量方程 且 又因为 由于是理想流体 无粘性 在的投影为零 有 联立 有 并最终得到 利用动量矩守恒还可确定作用点e 类似问题 不可压所射流冲击固定叶片如图所示 一股射流冲击一个固定的叶片后 流速方向改变了一个角度 射流体为不可压缩的理想流体 且流动是绝热 定常的 质量力可忽略不计 又已知p1 p2 pa 且流管截面上的流动参数均匀分布 求射流作用于叶片上的合力 本题的求解方法及思路与上题类似 如图取控制体与坐标系 可以证明在流管的进口与出口有 V1 V2 于是 或者 例3 平面叶栅的受力分析 为了研究叶轮机械或螺旋桨等的叶片与流体间的相互作用力 通常先研究比较简单的平面叶栅流动 所谓平面叶栅 就是周期性的放置在空间的一排无穷多个形状完全相同的 无穷翼展的叶片 其中每一个叶片与相邻叶片的方位和栅距完全相同 今考察理想不可压缩流体流过固定平面叶栅的绝热定常流动 忽略其质量力 求流体作用在单位翼展叶片上的力 取控制体如图 注意这时定义域已不是单连通域 取坐标系X Y如图 叶片受力 控制面由流道中心线的流线组成 由对称性可知在这两个面上的压力分布相同 对流动的动量 质量 能量输运没有贡献 问题简化为进出两个面上的输运关系 由连续方程 在流线上 0 由能量方程 由动量方程 绕控制体求叶片环量 叶片受力的方向与速度Vm的方向垂直 这便是平面叶栅的库塔 儒可夫斯基定理 当t增大时 v2 v1会减少 设想这时保持不变 则当时 以换上式中的 从而得到作用在单个翼型上的升力的库塔 儒可夫斯基定理 例4 透平机械的欧拉方程 透平机械的动轮以角速度 转动 在动轮通道中 动轮与流体之间进行能量交换 动轮对于流体作功的机械称为透平压缩机 动轮接受流体的功的机械称为透平发动机 或者透平涡轮 现在让我们从总体上来分析动轮与流体之间的能量交换 假定 1 叶轮的进出口处的流动是均匀的 2 不计重力 3 忽略轮盘 轮盖与流体间的摩擦 如图所示 取固结于机壳的绝对座标系 并将原点放在机轴上 取虚线所围的控制体 其中包括轴及叶轮 设进出口处的绝对速度分别为V1 V2 它们与圆周切线的夹角分别为 1 2 对所取控制体应用动量矩方程 在z轴方向上的分量式 定常 忽略质量力 由于假定进出口流速均匀 因此在进出口无切向应力 只有法向应力 其作用线通过z轴 所以在进口截面A1 出口截面A2 控制体的其它表面 叶轮外壁面 轴端面 所承受的力矩用M表示 由于只有在进出口A1 A2上有流量通过 因此 连续方程 最后得到 这就是著名的关于透平机械的欧拉方程 例5 喷气推进器 求作用于航空喷气发动机上的力 其基本原理是借助于液体或固体燃料燃烧所提供的能量 使工作介质高速向推进器后方喷出 从而产生推动飞行器前进的动力 如图所示 推进器随飞行器一起以等速Vf向左飞行 将坐标与推进器固结一起 则空气以速度V1 Vf向右流向推进器 1 1对应的A1为流入推进器的部分 1 1 对应的A 1 A1为从外部绕过推进器的部分 如图取控制体 可见控制体为一段流管 大气压力为pa 忽略质量力 则对于流入推进器的部分 根据质量守恒原理有 流过推进器外壳体外的空气流量是 因为忽略质量力 并且外部控制面的表面力即为大气压力 其合力为零 所以控制体所受的合外力即是推进器给流体的合力 根据流管的动量方程 因为速度的方向都与x轴平行 所以受力的方向也与x轴平行 其值为 因为在推进器壳体的内外壁上都有流体的作用力 为了更好的看出其受力的构成 我们将动量方程分别应用到内外两个流管上 如图b和c所示 可以分别得到内壁面和外壁面的受力 上式中F2的方向与F1的方向相反 注意到 则推进器所受的合力为 第六节非惯性座标系中的动量方程 有许多实际问题 采用惯性座标系非常不方便 例如 在讨论燃气轮机的动叶轮中的气体流动时 若采用固结于地球的座标系 那么 不仅该座标系中各固定点上的物理量将随时间发生巨大的变化 而且欲把该运动物体的边界 动叶片的表面 轮榖 轮轴等 表示为座标的函数也特是很复杂的 为了避免上述困难 通常采用固结于动轮的座标系 这个座标系显然是非惯性座标系 在非惯性座标系中 原来我们推导的动量方程和动量矩方程就不再适用 为了建立非惯性座标系中的动量方程和动量矩方程 必须首先讨论非惯性座标系中的质点导数 如图所示 设