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真空中的静电场 第九章 1 点电荷的电场 四 电场强度的计算 球对称分布 2无限长均匀带电直线的场强 2 点电荷系的电场 设真空中有n个点电荷q1 q2 qn 则P点场强 场强在坐标轴上的投影 3 连续带电体的电场 电荷元随不同的电荷分布应表达为 体电荷 面电荷 线电荷 3求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场 讨论 2 当x 0 即在圆环中心处 4均匀带电圆板 半径为R 电荷面密度为 求轴线上任一点P的电场强度 R 当R x 相当于无限大带电平面附近的电场 可看成是均匀场 场强垂直于板面 正负由电荷的符号决定 结论 一 静电场中的高斯定理 在真空中的任意静电场中 通过任一闭合曲面S的电通量 e 等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以 0 而与闭合曲面外的电荷无关 3 高斯定理的理解 a 是闭合面各面元处的电场强度 是由全部电荷 面内外电荷 共同产生的矢量和 而过曲面的通量由曲面内的电荷决定 因为曲面外的电荷 如 对闭合曲面提供的通量有正有负才导致对整个闭合曲面贡献的通量为0 二 高斯定理应用举例 高斯定理的一个重要应用 是用来计算带电体周围电场的电场强度 实际上 只有在场强分布具有一定的对称性时 才能比较方便应用高斯定理求出场强 求解的关键是选取适当的高斯面 常见的具有对称性分布的源电荷有 球对称分布 包括均匀带电的球面 球体和多层同心球壳等 无限大平面电荷 包括无限大的均匀带电平面 平板等 轴对称分布 包括无限长均匀带电的直线 圆柱面 圆柱壳等 解题要点 3 计算 4 计算 1 进行对称性分析 由电荷分布的对称性 分析场强分布的对称性 判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 2 根据场强分布的特点 作适当的高斯面 要求 待求场强的场点应在此高斯面上 穿过该高斯面的电通量容易计算 一般高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直 n与E平行时 要求E的大小处处相等 使得E能提到积分号外面 例1 无限长均匀带电直线的场强 解 以带电直导线为轴 作一个通过P点 高为h的圆筒形封闭面为高斯面S 通过S面的电通量为圆柱侧面和上 下底面三部分的通量 其中上 下底面的电场强度方向与面平行 电通量为零 所以式中后两项为零 此闭合面包含的电荷总量 解 对称性分析 作高斯面 球面 电量 用高斯定理求解 例2 均匀带电球面的电场 已知R q 0 R q 解 r R 场强 例3 均匀带电球体的电场 已知q R R r R 电量 高斯定理 场强 电通量 均匀带电球体电场强度分布曲线 解 具有面对称 高斯面 柱面 例4 均匀带电无限大平面的电场 已知 解 场具有轴对称高斯面 圆柱面 例5 均匀带电圆柱面的电场 沿轴线方向单位长度带电量为 1 r R 2 r R 二 静电场的环路定理 在静电场中 将试验电荷沿闭合路径移动一周时 电场力所作的功为 电场力作功与路径无关 定义 电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流 静电场环路定理 在静电场中 电场强度的环流为零 电荷在电场的一定位置上 具有一定的能量 叫做电势能 静电场力对电荷所作的功等于电势能增量的负值 电势能的参考点选择也是任意的 若WPB 0 则电场中A点的电势能为 结论 试验电荷q0在电场中点A的电势能 在取值上等于把它从点A移动到零电势能处的电场力所作的功 9 5电势与电势差 一 电势能 二 电势 定义电势 电势是标量 有正有负 电势的单位 伏特1V 1J C 1 电势具有相对意义 它决定于电势零点的选择 在理论计算中 通常选择无穷远处的电势为零 在实际工作中 通常选择地面的电势为零 但是对于 无限大 或 无限长 的带电体 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点 比值 WpA WPB q0与q0无关 只决定于电场的性质及场点的位置 所以这个比值是反映电场本身性质的物理量 称之为电势 定义电势差 a b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移到b时 电场力所做的功 三 电势差 在静电场中 任意两点A和B之间的电势之差 称为电势差 也叫电压 将电荷q从a b电场力的功 1 点电荷电场中的电势 如图P点的场强为 由电势定义得 讨论 对称性 大小 以q为球心的同一球面上的各点电势相等 四 电势的计算 3 电势的计算 计算电势的方法有两种 利用电势的定义式 要注意参考点的选择 只有电荷分布在有限的空间时 才能选无穷远点的电势为零 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求 利用电势的叠加原理 要求电荷的分布区域是已知的 当电荷分布在有限的区域内 可以选择无穷远点作为电势的零点的 而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时 只能根据具体问题的性质 在场中选择某点为电势的零点 步骤 1 先算场强 2 选择合适的路径L 3 积分 计算 步骤 1 把带电体 分为无限多dq 2 由dq dV 3 由dV V dV 例1 求电偶极子电场中任一点P的电势 由叠加原理 其中 例2 求均匀带电圆环轴线上的电势分布 已知 R q 解 方法一微元法 方法二定义法 由电场强度的分布 例3 求均匀带电球面电