空间向量法解决立体几何问题全面总结.ppt

学习提纲 二 立体几何问题的类型及解法 1 判断直线 平面间的位置关系 1 直线与直线的位置关系 2 直线与平面的位置关系 3 平面与平面的位置关系 2 求解空间中的角度 3 求解空间中的距离 1 直线的方向向量 2 平面的法向量 一 引入两个重要空间向量 一 引入两个重要的空间向量 1 直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量 如图 在空间直角坐标系中 由A x1 y1 z1 与B x2 y2 z2 确定的直线AB的方向向量是 2 平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面 称这个向量垂直于平面 记作n 这时向量n叫做平面 的法向量 n 3 在空间直角坐标系中 如何求平面法向量的坐标呢 如图 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 是平面 内的两个不共线的非零向量 由直线与平面垂直的判定定理知 若n a且n b 则n 换句话说 若n a 0且n b 0 则n a b n 1 求平面的法向量的坐标的一般步骤 第一步 设 设出平面法向量的坐标为n x y z 第二步 列 根据n a 0且n b 0可列出方程组第三步 解 把z看作常数 用z表示x y 第四步 取 取z为任意一个正数 当然取得越特殊越好 便得到平面法向量n的坐标 例1在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 O是面AC的中心 求面OA1D1的法向量 A B C D O A1 B1 C1 D1 z x y 解 以A为原点建立空间直角坐标系O xyz 设平面OA1D1的法向量的法向量为n x y z 那么O 1 1 0 A1 0 0 2 D1 0 2 2 取z 1 解得 得 由 1 1 2 1 1 2 2 求平面的法向量的坐标的特殊方法 第一步 写出平面内两个不平行的向量a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 第二步 那么平面法向量为 二 立体几何问题的类型及解法 1 判定直线 平面间的位置关系 1 直线与直线的位置关系不重合的两条直线a b的方向向量分别为a b 若a b 即a b 则a b 若a b 即a b 0 则a b a b a b 例2已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形 C1CB C1CD BCD 求证 CC1 BD A1 B1 C1 D1 C B A D 证明 设a b c 依题意有 a b 于是a b c a b c a c b c a cos c b cos 0 CC1 BD 2 直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a 平面 的法向量为n 且L 若a n 即a n 则L 若a n 即a n 0 则a n a n a L L 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC A1B1C1 D E分别是AC CC1的中点 求证 1 A1E 平面DBC1 2 AB1 平面DBC1 A1 C1 B1 A C B E D z x y 解 以D为原点 DA为x轴 DB为y轴建立空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 B 0 0 E 1 0 1 A1 1 0 2 B1 0 2 C1 1 0 2 设平面DBC1的法向量为n x y z 则解之得 取z 1得n 2 0 1 1 n 从而A1E 平面DBC1 2 而n 2 0 2 0 AB1 平面DBC1 3 平面与平面的位置关系平面 的法向量为n1 平面 的法向量为n2 若n1 n2 即n1 n2 则 若n1 n2 即n1 n2 0 则 n2 n1 n1 n2 例4正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 求证 平面AED 平面A1FD 证明 以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A xyz 平面AED 平面A1FD 解得 于是 设 正方体的棱长为2 那么E 2 0 1 A1 0 0 2 F 1 2 0 D 0 2 0 2 求空间中的角 1 两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角 不用再把这两条异面直线平移 求出两条异面直线的方向向量 则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补 我们仅取锐角或直角就行了 例5如图在正方体ABCD A1B1C1D1中 M是AB的中点 则对角线DB1与CM所成角的余弦值为 z y B1 C1 D1 A1 C D 解 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A xyz 设正方体的棱长为2 那么M 1 0 0 C 2 2 0 B1 2 0 2 D 0 2 0 cos cos 设DB1与CM所成角为 与所成角为 于是 2 直线与与平面所成的角若n是平面 的法向量 a是直线L的方向向量 设L与 所成的角 n与a所成的角 则 或 于是 因此 n n a a 例6正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 高为 求AC1与侧面ABB1A1所成的角 解 建立如图示的直角坐标系 则A 0 0 B 0 0 A1 0 C 0 设面ABB1A1的法向量为n x y z 得由 解得 取y 得n 3 0 设与n夹角为 而 故 AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30 3 二面角设n1 n2分别是二面角两个半平面 的法向量 由几何知识可知 二面角 L 的大小与法向量n1 n2夹角相等 选取法向量竖坐标z同号时相等 或互补 选取法向量竖坐标z异号时互补 于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角 这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦 例7在四棱锥S ABCD中 DAB ABC 90 侧棱SA 底面AC SA AB BC 1 AD 2 求二面角A SD C的大小 解 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz 则B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 S 0 0 1 设平面SCD的法向量n1 x y z 则由得n1 1 1 2 而面SAD的法向量n2 1 0 0 于是二面角A SD C的大小 满足 二面角A SD C的大小为 3 求解空间中的距离 1 异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段 只需利用向量的正射影性质直接计算 如图 设两条异面直线a b的公垂线的方向向量为n 这时分别在a b上任取A B两点 则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a b的距离 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值 例8在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 求异面直线AC1与BD间的距离 z x y A B C D D1 C1 B1 A1 解 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 则A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 C1 1 1 1 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n x y z 则由 得n 1 1 2 异面直线AC1与BD间的距离 2 点到平面的距离A为平面 外一点 如图 n为平面 的法向量 过A作平面 的斜线AB及垂线AH 于是 点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值 n A B H 例9在直三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 AC BC 1 ACB 90 求B1到面A1BC的距离 z x y C C1 A1 B1 A B 解 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 则C 0 0 0 A1 1 0 B 0 1 0 B1 0 1 设面A1BC的法向量n x y z 由得n 0 1 或 或 可见 选择平面内外两点的向量时 与平面内的点选择无关 会求了点到平面的距离 直线到平面 平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求 例10四棱锥P ABCD的底面ACBD是菱形 AB 4 ABC 60 侧棱PA 底面AC且PA 4 E是PA的中点 求PC与平面PED间的距离 z y P B E A D C F 解 以A为原点 AB为x轴 ACD中CD边上的高AF为y轴 AP为z轴建立空间直角坐标系 则F为CD的中点 于是A 0 0 0 B 4 0 0 F 0 2 0 C 2 2 0 D 2 2 0 P 0 0 4 E 0 0 2 设面BED的法向量n x y z 由得n 1 2 n 2 6 8 0 故PC 面B