高中数学第二章数Ⅰ2.3幂函数命题与探究1.docx_第1页
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2.3 幂函数问题探究 问题 如何理解分数指数幂的意义? 探究:分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.规定= (a0,m、n都是正整数,n1), = (a0,m、n都是正整数,n1),在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意义的量,它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义,负数的分数指数幂是否有意义,应视m、n的具体数而定.典题精讲例1:若(a+1(3-2a,则a的取值范围是_.思路解析: 因为函数y=在0,+上单调，所以y=在0,+上单调减，所以解得a.答案:( ,)例2:已知0a1,试比较aa,(aa)a,的大小.思路分析:利用幂函数和指数函数的性质求解.解:为比较aa与(aa)a的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa(0a1)在区间0，+上是增函数，因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y=az(0a1)是减函数,且a1,所以aaa从而aa(aa)a.比较aa与(aa)a的大小,也可将它们看成底数相同(都是aa)的两个幂,于是可以利用指数函数y=bx(b=aa,0b1)是减函数,由a1,得到aa(aa)a. 由于aaa,函数y=az(0a(aa).综上,得 aa(aa)a.例3:图2-3-2中曲线是幂函数y=x在第一象限的图象,已知取2,四个值,则对应于曲线C1,C2,C3,C4的指数依次为( )图2-3-2A.-2,- ,2 B.2, ,-,-2C.- ,-2,2, D.2, ,-2,- 思路解析: 要确定一个幂函数y=x在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数y=x随着值的改变图象的变化规律.随着的变大,幂函数y=x的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出,直线x=1右侧的图象,由低向高依次为C1,C2,C3,C4,所以依次为2, ,-,-2,故选择答案B.答案:B例4:画函数y=1+的草图,并求出其单调区间.思路分析:此函数的作图有两个途径,一是根据描点的方法作图,二是利用坐标系的平移来作图.一般说来,作草图时,利用坐标平移较为方便.解:由y=1+,得y-1=,y=+1.此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=的图象,作其关于y轴的对称图象,即y=的图象,将所得图象向右平移3个单位,向上平移1个单位,即为y=1+的图象(如图2-3-3所示).图2-3-3例5:若幂函数f(x)=(mZ)的图象与坐标轴没有公共点,且关于y轴对称,求f(x)的表达式.思路分析:要求幂函数y= (mZ)的解析式,也就是求整数m,考虑到该幂函数的图象特征:1与坐标轴无公共点,2关于y轴对称,可知指数m2-2m-30且m2-2m-3为偶数(mZ),容易解得m的值,进而得到f(x).解:由题意知,幂函数f(x)= (mZ)在第一象限内递减(或无增减性),且为偶函数,m2-2m-30,且m2-2m-3为偶数,mZ.由得m=0,1,2,-1,3
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