微积分基础初步及其在中学物理竞赛中的应用.pdf

微积分初步及其在中学物理竞赛中的应用微积分初步及其在中学物理竞赛中的应用 一 极限 二 导数 三 微分 四 定积分 一 极限 二 导数 三 微分 四 定积分 解 解 观察数列在观察数列在 n时的发展趋势 得 1 对于数列 时的发展趋势 得 1 对于数列 1 n n un 即 即 1 4 3 3 2 2 1 n n 即 u即 un n的极限为 1 2 对于数列 的极限为 1 2 对于数列 n n u 2 1 即 即 2 1 2 1 2 1 2 1 32n 即 u即 un n的极限为 0 的极限为 0 1 极限的概念极限的概念 一 极 限一 极 限 1 n n un n n u 2 1 1 2 引例引例1 观察下列数列的极限 观察下列数列的极限 引例 观察下列函数在引例 观察下列函数在引例 观察下列函数在引例 观察下列函数在x x 时的极限 时的极限 时的极限 时的极限 解 在解 在解 在解 在 x x 时 时 时 时 f xf x 无意义 但可以知道在无意义 但可以知道在无意义 但可以知道在无意义 但可以知道在x x无论怎样接近无论怎样接近无论怎样接近无论怎样接近1 1时时时时 f xf x 的值的值的值的值 5 030 010 05031 01 5 0030 0010 0050031 001 5 00030 00010 000500031 0001 4 9997 0 0001 0 00049997 0 9999 4 997 0 001 0 004997 0 999 4 97 0 01 0 0497 0 99 X 13x2 x 2x 1x 2xx3 2 1x 2xx3 x fy 2 如果当自变量如果当自变量x无限接近某一数值无限接近某一数值x0 记作记作 x x0 时 函数时 函数f x 的数值无限接近某一确定的数值的数值无限接近某一确定的数值a 则 则a叫作叫作 x x0时函数时函数f x 的极限值 记作的极限值 记作 极限的定义极限的定义 axf xx lim 0 函数的变化趋势函数的变化趋势 5 23 lim 1 1 23 lim 1 23 lim 11 2 1 x x xx x xx xxx 设设 limxf及及 limxg都存在 假定都存在 假定x在同一变化过程中 则有下列运算法则 在同一变化过程中 则有下列运算法则 法则 1 法则 1 lim lim lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 法则 法则 lim lim lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 法则 法则 lim lim lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx 0 lim 0 xg xx 2 极限运算法则极限运算法则 1 1 1 sin lim 0 x x x 3 两个重要极限两个重要极限 2 2 e 1 1lim x x x 当x很小时 xx sinxx tan 1 sin lim 0 口 口 口 e 1 1lim 口 口 口 e1lim 1 0 口 口 口 型 1 例 1 求 例 1 求 x x x 4sin 3sin lim 0 00 3040 sin3sin343 limlim sin43sin44 3sin343 limlim 43sin44 xx xx xxxx xxxx xx xx 例 2 求 例 2 求 2 0 cos1 lim x x x 解 解 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 sin2 lim cos1 lim 2 0 2 2 0 2 0 x x x x x x xxx 解解 1 sin lim 0 口 口 口 例 3 求 例 3 求 x x x 3 1lim 解 令解 令u x 3 则 则ux3 3 3 3 311 lim 1lim 1lim1e xuu xuu xuu e 1 1lim 口 口 口 1 导数的概念导数的概念 引例引例1 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 S t0 S t0 t S t tstts t s v 00 当当t 很小时 很小时 v可作为物体在 可作为物体在 0 t时刻的瞬时速度的近似值 且时刻的瞬时速度的近似值 且 t 越小 越小 v就越接近物体在 就越接近物体在 0 t时刻的瞬时速度 即 时刻的瞬时速度 即 平均速度平均速度 t tstts lim t s limvlim t v 00 0t0t0t 0 物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当 时间增量趋于零时的极限 物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当 时间增量趋于零时的极限 二 导数二 导数 A B T N L M o y x x f y 0 M 在曲线在曲线 L 上点上点 0 M附近 再取一 点 附近 再取一 点M 作割线 作割线 0 M M 当点 当点 M沿曲 线 沿曲 线 L 移动而趋向于移动而趋向于 0 M时 割线时 割线 0 M M的极限位置的极限位置 0 M T就定义为曲 线 就定义为曲 线 L 在点 在点 0 M处的切线 斜率为处的切线 斜率为 引例引例2 平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 0 00 000 limlimtanlimtan xx xfxxf x y xxx 曲线曲线 xfy 在点在点 0 M处的纵坐标处的纵坐标 y 的增量 的增量 y 与横坐标与横坐标 x的增量的增量x 之比 当之比 当0 x时的极限即为曲线在时的极限即为曲线在 0 M点处 的切线斜率 点处 的切线斜率 设函数设函数 xfy 在点 在点 0 x的某一邻近区间内有定义 当自 变量 的某一邻近区间内有定义 当自 变量 x在在 0 x处有增量处有增量 0 0 xxxx 仍在该邻域内 时 相 应地函数有增量 仍在该邻域内 时 相 应地函数有增量 00 yf xxf x 如果 如果 y与 与 x之比之比 y x 当当 0 x 时 极限 时 极限 导数的定义导数的定义 00 0 0 limlim xx f xxf xy xx 存在 那么这个极限值称为函数 存在 那么这个极限值称为函数 xfy 在点在点 0 x的导数 并且说 函数 的导数 并且说 函数 xfy 在点在点 0 x处可导 处可导 导数 增量比的极限 反映了函数的变化率 快慢 导数 增量比的极限 反映了函数的变化率 快慢 1 如果 1 如果 xf在在 b a内可导 那么对应于内可导 那么对应于 b a中的每一个确定的中的每一个确定的x 值 对应着一个确定的导数值 值 对应着一个确定的导数值 x f xfy 的导函数 导数 的导函数 导数 记为 记为 x f 0 0 xx y 0 d d xx x xf 或或 0 d d xx x y 即 即 00 0 00 limlim xx f xxf xy fx xx 2 高阶导数 函数 2 高阶导数 函数 xfy 的导函数的导函数 x f 再对 x 求导 可得二阶导数 即 再对 x 求导 可得二阶导数 即 0 xx0 x f x f 依次类推 可得三阶 四阶导数等 依次类推 可得三阶 四阶导数等 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义 A B T N L M o y x x f y 0 M xfy 导数的几何意义 导数的几何意义 在点x在点x0 0处的导数等于函数所函数处的导数等于函数所函数 表示的曲线表示的曲线L在相应点 在相应点 x0 y0 处的切线斜率处的切线斜率 导数的物理意义 导数的物理意义 变速直线运动的速率变速直线运动的速率 设函数 设函数 xuu 与 与 xvv 在点 在点 x处可导 则 1 处可导 则 1 xvxuxvxu 2 2 xvxuxvxuxvxu 特别地 特别地 xuCxCu C为常数 3 为常数 3 x xxuxxu x xu 2 0 xv 特别地 当 特别地 当Cxu C为常数 时 有 为常数 时 有 xv xvC xv C 2 2 导数的运算法则导数的运算法则 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 xxx xx xx C tansec sec sec tan cos sin 0 2 xxx xx xx xx cotcsc csc csc cot sin cos 2 1 ax x aaa a xx ln 1 log ln x x ee xx 1 ln 定理 2 如果函数定理 2 如果函数 ux 在点在点 x 处可导 而函数处可导 而函数 ufy 对应的 点 对应的 点u处可导 那么复合函数处可导 那么复合函数 yfx 也在点也在点x处可导 且有处可导 且有 x u u y x y d d d d d d 或 或 fx fux 3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 sin 2 dx dy x y问题问题 例如 求例如 求 xy 2 sin 的导数 的导数 sinxu uy 2 xcosxsin2xcosu2 x u u y dx dy 解 函数解 函数xysin 可以看作由函数可以看作由函数uysin 与与xu 复合而成 因此 复合而成 因此 x x x uxuy 2 cos 2 1 cos sin 例 8 求例 8 求xysin 的导数 的导数 csc sin 1 2 1 2 cos 1 2 sin 2 cos 2 2 sec 2 tan 1 2 tan 2 tan 1 2 tan ln 2 2 x x xx x xx x x x x y 例 9 求函数例 9 求函数 2 tanln x y 的导数 的导数 解解 定理 极值的必要条件 设 定理 极值的必要条件 设 xf 在点在点 0 x处具有导数 且在点处具有导数 且在点 0 x取得极值 那么取得极值 那么0 0 x f x y O 4 导数的应用导数的应用 4 1 判断极值条件判断极值条件 x0 例 一质点自倾角为例 一质点自倾角为 的斜面的上方 O 点 沿一光滑斜槽 OA 下降 如欲使质点到达斜面上所需的时间为最短 问斜槽 OA 与竖直 线所成之角 的斜面的上方 O 点 沿一光滑斜槽 OA 下降 如欲使质点到达斜面上所需的时间为最短 问斜槽 OA 与竖直 线所成之角 应为何值 应为何值 2 OBA 2sin 2 sin OAOB cos OA cos OB cos cos OBOA 2 cos 2 1 tgOA OB cos cos cosg 2 t 2 解解I 在 在 OAB中 由正弦定理得 中 由正弦定理得 即 又 因为因为 OB为定值 为定值 为变量 要使 t 最小 只要分母最大 即分 母对 为变量 要使 t 最小 只要分母最大 即分 母对 的一阶导数为零 即 的一阶导数为零 即 cos sin cos sin 2 即即 2 时 t 最小 时 t 最小 0 d d sincoscossin 1sincoscossincoscos 解法 模型模型 质点从质点从O点沿不同倾角的光滑斜面到 达 点沿不同倾角的光滑斜面到 达A C点 所需时间相同 点 所需时间相同 在在OB上取一点上取一点O 为圆心 作过为圆心 作过O并与 斜面相切的圆 切点为 并与 斜面相切的圆 切点为A 则质点沿 则质点沿 OA斜面下滑到斜面时所需时间最短 此时 斜面下滑到斜面时所需时间最短 此时 2 光学费马原理光学费马原理 极值 B A dsn 光在均匀介质中总是沿直线传播的 光在非均匀介质中又是怎 样传播的 光在均匀介质中总是沿直线传播的 光在非均匀介质中又是怎 样传播的 费马原理费马原理 光在空间两定点光在空间两定点A B间传播时 实际光程为一特定 的极值 间传播时 实际光程为一特定 的极值 极小值 极大值 恒定值 极小值 极大值 恒定值 i 用费马原理证明直线传播定律i 用费马原理证明直线传播定律 B A B A dsndsn constn ABds B A 的极小值为直线 在均匀介质中 几何公理 两点之间直线距离最短 在均匀介质中 几何公理 两点之间直线距离最短 光在均匀介质中沿直线传播光在均匀介质中沿直线传播 证证 通过空间两点通过空间两点A B可以作无数个 平面 其中必有一个平面垂直于两 种介质 可以作无数个 平面 其中必有一个平面垂直于两 种介质 n1和和n2之间的界面 之间的界面 OO 是 它们的交线 通过 是 它们的交线 通过A点折射到点折射到B点的 入射线交界面于 点的 入射线交界面于C点 求点 求C点的位置 点的位置 ii 用费马原理证明折射定律用费马原理证明折射定律 a C点必在点必在OO 上上 如果有另一点C 位于线外 则对应于C如果有另一点C 位于线外 则对应于C 必可在OO 必可在OO 线上找 到它的垂足C 线上找 到它的垂足C BCACBCAC ACAC BCBC 因为 而非极小值 因为 而非极小值 b 确定确定C x 0 点在点在OO 上的位置上的位置 使为极值的条件为使为极值的条件为 通过通过A x1 y1 和和B x2 y2 两点的入射和折射的光程两点的入射和折射的光程 2 2 2 2 22 2 1 2 1 11 d d yxx xxn yxx xxn x 2 2 2 22 2 1 2 11 21 yxxnyxxn CBnACn 0sinsin 2211 21 inin CB CBn AC CAn 2211 sinsininin 即 5 2 求曲线的曲率半径求曲线的曲率半径 曲线 曲线 xfy x y x y1 R 0 23 0 2 例 一飞机沿抛物线路径例 一飞机沿抛物线路径 4000 2 x y 做俯冲飞行 在原点做俯冲飞行 在原点O处的速度为处的速度为 400 v m s 飞行员体重 70 kg 求此时飞行员对座椅的压力 m s 飞行员体重 70 kg 求此时飞行员对座椅的压力 解 设支持力为 N 于是 解 设支持力为 N 于是 R mv mgN 2 R为原点 o 处的曲率半径 为原点 o 处的曲率半径 y mg O x N Nmg R mv N6300 2 0 2000 x y 0 x 2000 1 y 2000 y y1 R 232 5 3 已知运动学方程已知运动学方程 位移位移 时间关系时间关系 求速率求速率 dt dv a limlimlim 00 000 0 t tstts t s vtv ttt dt ds v 例如例如 2 000 2 1 tatVss taV dt ds v 00 0 a dt dv a t tvttv lim t v limalim t a 00 0t0t0t 0 例如例如 匀加速直线运动匀加速直线运动 2 000 2 1 tatVss taV dt ds v 00 0 a dt dv a 例如 圆周运动的角量描述例如 圆周运动的角量描述 t 1 运动方程 角量与线量的关系 1 运动方程 角量与线量的关系 dt d t lim 0t dt d t lim 0t 匀速圆周运动角加速度 为零 2 角位移 匀速圆周运动角加速度 为零 2 角位移 角速度 角加速度角速度 角加速度 ABR Rv Ra R t R lim t L limv 0t0t RRva 22 n R t R lim t v lima 0t0t 角位移 角速度 角加速度 角位移 角速度 角加速度 例如 简谐振动的速度 加速度表达式例如 简谐振动的速度 加速度表达式 x tcos A dt dv a tsin A dt dx v tcos Ax 2 0 2 0 0 kxF x m k a 例 如图所示 人在竖直岸上通过绳子拉小船 岸高为例 如图所示 人在竖直岸上通过绳子拉小船 岸高为h 人 以速率 人 以速率V0匀速运动 求绳子与水平面夹角为 时小船的速 率 匀速运动 求绳子与水平面夹角为 时小船的速 率V 解一 由于绳子不可伸长 故小船沿绳的分速 度应等于人的速度 即将船的速度沿绳方 向和垂直于绳方向分解 如图所示 可得 解一 由于绳子不可伸长 故小船沿绳的分速 度应等于人的速度 即将船的速度沿绳方 向和垂直于绳方向分解 如图所示 可得 cosVV0 cosVV 0 说明 小船绕绳子的转动速度为说明 小船绕绳子的转动速度为 V tanVsinVV 0 解法二解法二 222 xhs dt dx x2 dt ds s2 0 svxv secv cos v sx v v 0 00 0 0 dvdsdxdv vsv x dtdtdtdt 22 0 vvxa 22222223 0000 sec1 tantan vvvvv a xxxh 23 0 tan v a h 例例 2007复赛 图中所示为用三角形刚性细杆复赛 图中所示为用三角形刚性细杆AB BC CD连 成的平面连杆结构图 连 成的平面连杆结构图 AB和和CD杆可分别绕过杆可分别绕过A D的垂直于 纸面的固定轴转动 的垂直于 纸面的固定轴转动 A D两点位于同一水平线上 两点位于同一水平线上 BC杆的 两端分别与 杆的 两端分别与AB杆和杆和CD杆相连杆相连 可绕连接处转动 类似铰链 可绕连接处转动 类似铰链 当当AB杆绕杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时 轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时 AB 杆处于竖直位置 杆处于竖直位置 BC杆与杆与CD杆都与水平方向成杆都与水平方向成45 角 已知 角 已知 AB杆的长度为杆的长度为L BC杆和杆和CD杆的长度由图给定 求此时杆的长度由图给定 求此时C点 加速度 点 加速度ac的大小和方向 用与的大小和方向 用与CD杆之间的夹角表示 杆之间的夹角表示 解 用导数方法求解解 用导数方法求解 2BCl 2 2CDl 3ADl ABl 建立图示坐标系 建立图示坐标系 任意时刻任意时刻t 连杆 的位形如图所示 此时各杆的位置 分别用 和 表示 连杆 的位形如图所示 此时各杆的位置 分别用 和 表示 d dt C点坐标表示为点坐标表示为 cos2 cos C xll sin2 sin C yll ddd sin2sin ddd C x l ttt ddd cos2cos ddd C y l ttt 设顺时针转 ddd sin2sin ddd C x l ttt ddd cos2cos ddd C y l ttt 22 222 222 ddddd cossin2cos2sin ddddd C x l ttttt 22 222 222 ddddd sincos2sin2cos ddddd C y l ttttt sinsinsinCDABBC coscoscos3CDABBCl 又 又 2 2sinsin2sin 2 2cos3cos2cos 即即 02cos23cos3coscos2sinsin2 22 22 cos2cos2 cos3 2coscos69 sin2sinsin22sin8 02cos23cos3coscos2sinsin2 02cos23cos3 cos 2 0 dt d sin3 dt d sin 2 3 dt d dt d sin 0 90 0 45 033 dt d dt d 2 1 dt d 0 dt d sin3 dt d cos3 dt d sin 2 3 dt d cos 2 3 dt d dt d sin dt d dt d cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d dt 0 90 0 45 2 1 dt d 又 又 0 dt d 2 2 dt d 0 dt d 4 sin3 24 cos3 dt d 4 sin 4 3 4 cos 2 2 2 2 2 2 0 dt d sin3 dt d cos3 dt d sin 2 3 dt d cos 2 3 dt d dt d sin dt d dt d cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 dt d 3 2 3 dt d 4 3 2 2 2 2 2 2 0 dt d 4 2 3 2 22 8 3 dt d 2 2 2 22 222 222 ddddd cossin2cos2sin ddddd C x l ttttt 22 222 222 ddddd sincos2sin2cos ddddd C y l ttttt 2 1 dt d 8 3 dt d 2 2 2 d dt 0 90 0 45 0 dt d 2 2 将 代入前面得到的表达式 可得 将 代入前面得到的表达式 可得 8 L5 dt xd a 2 2 c 2 cx 8 L7 dt yd a 2 2 c 2 cy 7 L84 dt yd dt xd a 2 2 2 c 2 2 2 c 2 46 54 a a arctan cx cy 54 8546 54135 导数的其他应用 导数的其他应用 dt dq i t qq t dt d 自变量 x 的微分 趋向于零的变化量自变量 x 的微分 趋向于零的变化量x 记为 dx 函数 记为 dx 函数 xfy 在点在点 x 处的微分 自变量由 x x dx 时函数 y 的变化量 处的微分 自变量由 x x dx 时函数 y 的变化量yd或或 dxf dxxfy d d d xf x y A B T N L M o y x x f y 0 M xy 3 例如 dx xdy 2 3 x y2cos dxx xxddy 2sin2 2 2sin 三 微分三 微分 微分的应用 微元法微分的应用 微元法 例 例 0 1mol单原子理想气体 经历图所示单原子理想气体 经历图所示ABCA的循环过程 求 的循环过程 求 1 此过程中 气体所能达到的最高温度状态在何处 此过程中 气体所能达到的最高温度状态在何处 2 从 从B到到C过程中 气体从外界吸收的热量是多少 不包 括放出的 过程中 气体从外界吸收的热量是多少 不包 括放出的 解 1 可以求出直线方程解 1 可以求出直线方程 kVP 7 105 k Pa 5 102 RTPV 0RTVkV 2 0 0kRT4 2 K7 240 kR4 TT 2 H 0 k2 V 2 H 33 H m102 k2 V Pa101kVP 5 HH 即最高温度点为即最高温度点为BC中点 中点 2 根据热一定律 每一元过程中 2 根据热一定律 每一元过程中 PdVdQdWdQdE PdVdEdQ PVdVVdPP 2 3 T dTT R 2 3 RdT 2 3 dE 2 3 VdPPdV 又又 略去二阶小量 略去二阶小量 dTT dVV dPP T V P 对本过程对本过程 kVP kdVdP dVVkdPP VkdVdVkVVkdVPdVdE 2 3 2 3 dV kV2 2 3 放热 吸热 0dQ 0dQ dVkV4 2 5 dVkVdV kV2 2 3 pdvdEdQ 0425 0425 kV kV 放热 吸热 k 0 Vk Vk 425 425 放热 吸热 33 33 m105 2 k8 5 V m105 2 k8 5 V 放热 吸热 33 M m105 2VV Pa1075 0kVP 5 MM 是吸热与放热的转折点 是吸热与放热的转折点 M点压强为 点压强为 引例 变速直线运动的路程 引例 变速直线运动的路程 ttvs n i i 1 面积 t tvs n i i n t lim 1 0 四 定 积 分四 定 积 分 t t t t vv 21 引例 变力的功引例 变力的功 s s FW n 1i i 面积 s s FlimW n 1i i n 0t s s s s FF ba 321 xxxa nn xx 1 b 分分 ba为为 n 个小区间个小区间 1 ii xx 2 1 ni 记 记 2 1 1 nixxx ii 定义定义 设函数设函数 xfy 在在 ba 上有定义 任取分点上有定义 任取分点 上的定积分 记为 在 的极限称为在则 b a x f 0 x nx x f n 1i i 4 1 定积分的概念定积分的概念 称为积分下限和上限 b a x x flimdx x f n 1i i 0 x b a 于是 于是 tt V dt t vS ab V t t b a 匀速直线运动 是常量 VV P dV V PW 12 P V V 2 1 等压过程 是常量 ss F ds s FW ab F s s b a 恒力做功 是常量 外界对气体做功外界对气体做功 定理 牛顿 莱布尼茨公式 设函数 定理 牛顿 莱布尼茨公式 设函数 xf在区间在区间 ba上连续定义 若存在原函数上连续定义 若存在原函数 x xf dx xd 则有 则有 d abxxf b a 1 f x 称为被积函数 2 求定积分 先找原函数 然后求原函数在上 下 限之间的增量 3 求原函数的过程是求导数的逆过程 4 若是f x 的原函数 则也是f x 的原函数 x Cx cxc 常数 ex 1 x sinx cosx xn n 1 原函数被积函数f x 1 1 n x n xsin xcos xln x e 4 2 常见被积函数常见被积函数f x 的原函数列表的原函数列表 1 1 b a b a b a xxgxxfxxgxfd d d 2 2 b a b a xxfkxxkfd d k为常数 为常数 3 3 若若 bca 1 当即 时 整个ACB段管内壁外侧部分对小球 有向心的弹力 因而有摩擦力 cosmg R mv N 2 Nf 0 2 当 R mv mg 2 即gRv 时 cosmg R mv N 2 R mv cosmgNf 2 0 22dLfmgRWmgRW fF 0 2 0 cos2Rd R mv dmgRmgR 2 2mvmgR 0 RddL 2 当gRv 时 0 gr v cosar 2 cosmg R mv N 2 R mv cosmgNf 2 0 22dLfmgRWmgRW fF 0 2 0 cos2Rd R mv dmgRmgR gR v arccos mvsinmgRmgR2 2 2 0 sin 2 2 mgRmvmgR 422 2 2 VRg gR v arccosvmmgR2 gR v arccossinmgR gR v arccos mvmgR2 22 2 例 如图所示例 如图所示 在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管 管上端封闭管上端封闭 下 端开口 下 端开口 已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度L 76cm 管 内封闭有的空气 保持水银槽与玻璃管都不动而设法使 玻璃管内空气的温度缓慢地降低 管 内封闭有的空气 保持水银槽与玻璃管都不动而设法使 玻璃管内空气的温度缓慢地降低10 T2 T1 10 问在此过程 中管内空气放出的热量为多少 已知管外大气的压强为 问在此过程 中管内空气放出的热量为多少 已知管外大气的压强为76cmHg 每摩尔空气的内能 每摩尔空气的内能U CvT 其中 其中T为绝对温度 常量为绝对温度 常量 mol101 3 1 V 20 5J mol K C 1 8 31J mol K R dV V PW 2 1 V V 3 外界对气体的功 外界对气体的功 解 解 设玻璃管内空气柱的长度为h 大气压强为P0 管内空气 的压强为P 水银密度为 重力加速度为g 由图可知 0 Pg hL P gLP0 ghP vv s2 g vdv S g pdvW 2 2 2 1 V V V V 2 1 2 1 ShV RTPV RT S V g 2 g S V P TT 2 R W 21 非等温 等压 等容过程非等温 等压 等容过程 又 TT CE 12V TT 2 R W 21 WQE J247 0R 2 1 C TT WEQ V12 负号表示放出热量负号表示放出热量 4 转动惯量 4 转动惯量 质点组绕某轴转动的转动惯量 单个质点绕某轴转动的转动惯量 质点组绕某轴转动的转动惯量 单个质点绕某轴转动的转动惯量 m 2 mI 质量连续分布的刚体绕某轴转动的转动惯量 质量连续分布的刚体绕某轴转动的转动惯量 2 1 n ii i Im mdI 2 例 均质细杆对过其一端的垂直轴Z的转动惯量例 均质细杆对过其一端的垂直轴Z的转动惯量 dd m mx l 2 l z1 dxx x C z dx x x O l 解 设均质细杆长 l 质量 为m 取微段 dx 则 2 0 2 z m 3 1 dx m xI 若垂直轴过中点 则若垂直轴过中点 则 2 2 2 2 z m 12 1 dx m xI 例 求均质薄圆环及薄圆盘对于中心轴的转动惯量例 求均质薄圆环及薄圆盘对于中心轴的转动惯量 z R 解 解 1 设细圆环的质量为 设细圆环的质量为m 半径为 半径为R 则 则 x y R r dr 2 设圆板的质量为 设圆板的质量为m 半径为 半径为R 面密度为 将圆板分为无 数同心的薄圆环 对 面密度为 将圆板分为无 数同心的薄圆环 对 r r dr处的一圆环 其转动惯量为处的一圆环 其转动惯量为 2 i 22 iiz mRmRmI rdr2rdmrdI 22 z 2 mR 2 R 4 r 2drr2dmrI 24 R 0 4 R 0 3 R 0 2 z 例例 一根质量均匀分布的弹簧质量为一根质量均匀分布的弹簧质量为m 长为 长为L 劲度 系数为 劲度 系数为K 求该弹簧竖直悬挂时由于自重而引起的 伸长量 求该弹簧竖直悬挂时由于自重而引起的 伸长量 弹簧的线密度为 弹簧的线密度为 L mg x处dx段弹簧的劲度系数 k dx L k x处dx段弹簧的伸长量为 dx kL mgx k x Ld 2 整个弹簧的伸长量为 k mg xdx kL mg dx kL mgx LdL LLL 2 0 2 0 2 0 解 弹簧串并联 3223 3 x x x3xx3xxx 注 注 例例 2005预赛 如图所示 水平放置的金属细圆环半径为预赛 如图所示 水平放置的金属细圆环半径为a 竖直 放置的金属细圆柱 其半径比 竖直 放置的金属细圆柱 其半径比a小得多 的端面与金属圆环的上表 面在同一水平面内 圆柱的细轴通过圆环的中心 小得多 的端面与金属圆环的上表 面在同一水平面内 圆柱的细轴通过圆环的中心O 一质量为 一质量为m 电阻为 电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑 棒的一端有小 孔套在细轴 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑 棒的一端有小 孔套在细轴O上 另一端上 另一端A可绕轴线沿圆环做圆周运动 棒与圆环 的动摩擦因数为 圆环处于磁感应强度大小为 可绕轴线沿圆环做圆周运动 棒与圆环 的动摩擦因数为 圆环处于磁感应强度大小为B Kr 方向竖直 向上的恒定磁场中 式中 方向竖直 向上的恒定磁场中 式中K为大于零的常量 为大于零的常量 r为场点到细轴的距离为场点到细轴的距离 金属细圆柱与圆环用导线金属细圆柱与圆环用导线ed连接 不计棒及轴与细圆柱端面间的摩 擦 也不计细圆柱 圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场 问 沿垂直于棒方向以多大的水平力作用于棒的 连接 不计棒及轴与细圆柱端面间的摩 擦 也不计细圆柱 圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场 问 沿垂直于棒方向以多大的水平力作用于棒的A端才能使棒以角速度 匀速转动 端才能使棒以角速度 匀速转动 解解I 将整个导体棒分割成 将整个导体棒分割成n个小线元 小线元端点到轴线的距离 分别为 个小线元 小线元端点到轴线的距离 分别为r0 0 r1 r2 ri 1 ri rn 1 rn a 第 第i个 线元的长度为 当很小时 可以认为该线元上各点 的速度都为 该线元因切割磁感应线而产生的电动势为 个 线元的长度为 当很小时 可以认为该线元上各点 的速度都为 该线元因切割磁感应线而产生的电动势为 1 iii rrr i r ii r v i 2 iiiiiii r rKr rKrr B vE n 1i i 2 i n 1i i r rK EE 3 2233 3 3 rrrrrrrr 3 1 332 rrrrr 33 1n 3 n 3 1 3 2 3 0 3 1 n 1i 3 1i 3 i aK 3 1 rr rr rr K 3 1 rr K 3 1 E 第第i个线元受到的安培力为个线元受到的安培力为 R3 aK R I 3 E 导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反 导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反 i r iiiAi r IKrr BIf 作用于该线元的安培力对轴线的力矩作用于该线元的安培力对轴线的力矩i 2 iiAii r KIrrf M 3 n 1i 3 1i 3 i n 1i i 2 i n 1i i KIa 3 1 rr KI 3 1 r rKIM M R9 aK M 62 因棒因棒A A端对导体圆环的正压力为mg 2 所以摩擦力为 对轴的摩擦力矩为端对导体圆环的正压力为mg 2 所以摩擦力为 对轴的摩擦力矩为 2 mg mga 2 1 M MMFa 力矩平衡力矩平衡 mg 2 1 R9 aK F 52 解解II 采用积分的办法求解采用积分的办法求解 rdrKrdrKrrdBd 2 v 33 a 0 2 aK 3 1 0 a rK 3 1 drrK R3 aK R I 3 rdrKrIdKrrdBdfA I rdKIrrfdMd 2 A 3 a 0 2 KIa 3 1 rdKIrM R9 aK M 62 2 mga MFa 力矩平衡 力矩平衡 mg 2 1 R9 aK F 52 例例 电量为电量为 q的粒子 以角速度做半径为的粒子 以角速度做半径为R的匀速 圆周运动 求在圆心处产生的磁场 的匀速 圆周运动 求在圆心处产生的磁场 R q 4R 2 sinqV 4 B 0 2 0 解I 用运动电荷产生的磁场公式求解解I 用运动电荷产生的磁场公式求解 解II 用环行电流磁场公式求解 等效环行电流 解II 用环行电流磁场公式求解 等效环行电流 2 q T q I R2 I B 0 R4 q B 0 方向 垂直纸面向外方向 垂直纸面向外 例 一个半径例 一个半径R为的塑料薄圆盘 电量为的塑料薄圆盘 电量 q均匀分布其 上 圆盘以角速度 均匀分布其 上 圆盘以角速度 绕通过盘心并与盘面垂直的轴 匀速转动 求圆盘中心处的磁感应强度 绕通过盘心并与盘