用法向量求二面角的大小.ppt

教材106页例2 求二面角 l 的余弦值 教材109页例4 求二面角C PB D的大小 改编教材109页例4 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 点E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 求证 PA 平面EDB 2 求证 PB 平面EFD 3 改 求二面角F BD E的余弦值 用法向量求二面角的大小 成都七中高新校区康盛 两半平面的法向量与二面角有怎样的关系 根据上图 分小组进行讨论 两法向量的夹角与二面角的关系 两法向量的夹角与二面角的关系 互补 相等 如何判别互补还是相等 根据教材109页例4改编 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 点E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 求证 PA 平面EDB 2 求证 PB 平面EFD 3 改 求二面角F BD E的余弦值 解 建立如图空间直角坐标系 A 2 0 0 C 0 2 0 B 2 2 0 E 0 1 1 易得平面BDF的法向量设平面BDE的法向量根据观察 二面角为锐二面角 故二面角F BD E的余弦值为 判断互补还是相等的简单的方法是 观察二面角的大小来判定 练习题1 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 A1A 4 AB 2 点E在CC1上 且C1E 3EC 求二面角A1 DE B的余弦值 练习题1 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 A1A 2AB 4 点E在CC1上 且C1E 3EC 求二面角A1 DE B的余弦值 解 建立如图空间直角坐标系 D 0 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 E 0 2 1 A1 2 0 4 平面BDE的法向量平面A1DE的法向量根据观察 二面角为 齐相国老师刊登在 数学通讯 2009年第4期的 法向量求二面角时法向量方向的判定方法 李峰老师发表在 数学通讯 2010年第9期的 对 法向量求二面角时法向量方向的判定方法 一文的改进 规定 如图 分别在半平面 内各取一点M N 不在棱上取 我们称 与法向量不共线 为内部向量 内部向量MN判定法 异号互补 同号相等 内部向量MN判定法 练习题1 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 A1A 2AB 4 点E在CC1上 且C1E 3EC 求二面角A1 DE B的余弦值 解 建立如图空间直角坐标系 D 0 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 E 0 2 1 A1 2 0 4 求得平面BDE的法向量 平面A1DE的法向量取内部向量故二面角A1 DE B的余弦值为 1 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 用法向量求二面角的大小的一般步骤 2 求出两半平面的法向量 并求出其夹角 3 用观察法 确定二面角的大小 或取内部向量 同号相等 异号互补 判定二面角的大小 4 下结论 练习题2 如图 底面为直角梯形的四棱锥S ABCD中 AD BC ABC 900 SA 面ABCD SA AD 1 AB BC 2 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 练习题2 如图 底面为直角梯形的四棱锥S ABCD中 AD BC ABC 900 SA 面ABCD SA AD 1 AB BC 2 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 解 建立如图空间直角坐标系 A 0 0 0 B 0 2 0 C 2 2 0 D 1 0 0 S 0 0 1 易知平面SAB的法向量 求出平面SDC的法向量取内部向量故二面角的余弦值为 课堂小结 1 弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系 2 利用内部向量判定二面角的大小 5 分析 归纳问题的能力 4 感