高中数学数列通项公式的求法论文新课标人教B版必修5.doc

论数列通向公式的求法摘要：数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，高考对数列知识的考察在八十年代末发展到了极致，以后逐渐冷落，但最近几年又逐渐升温，随着与大学知识的接轨，竞赛题的释放，很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题，而数列通向公式的求法又成为一个热点。本文想总结一下在高中阶段，求数列的通项公式的常用方法和策略。关键词：数列 通向公式 递推公式 求法1 观察法观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。例1 在数列中且成等差数列，成等比数列。求及，由此猜测的通向公式，并证明你的结论。解：有题设条件得， 由此得， 猜测 用数学归纳法证明： (1) 当n=1时，有以上知结论成立； (2) 假设n=k时，结论成立；即，那么当时，所以当时，结论也成立，由(1)( 2) ，可知对一切正整数都成立1点评：采用数学归纳法证明多是理科教学内容，较为容易，好掌握。2 定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例2 等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式. 解：设数列公差为d(d0)成等比数列，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。3公式法 若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。 例3 已知数列的前n项和满足求数列的通项公式。 点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并24由递推公式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。341 类型1 递推公式为 ，其中的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例4 已知数列中，求的通向公式解： 由已知得， 令，代入个等式累积，即 42 类型2 递推公式为。解法： （1）把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例5 已知数列满足，求的通向公式。 解：由条件知，分别令n=1，2，3，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即 （2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，依次向前代入，得，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。例6 已知，求。解： 。443类型3 递推公式为（p,q,s,为常数）。解法： 利用两边取倒数求通向公式。例7 已知数列的首项，求的通向公式解 ， 是以为首项，为公比的等比数列 ，另解： 设，解得方法1：，整理得， 则 即故数列是以为首项，为3公比的等比数列 则，即方法2： 由，可得，故数列是以为首项，3为公比的等比数列 则，即。点评：形如（ 为常数）的数列可用方程解得两根，然后利用或，直接整理转化求解，也可将两式作比进行求解，此种方法称为“特征根法”。544类型4 递推公式为型的。 解法：（1）用“退一相减法”；（2）利用；（3）归纳，猜想，证明。方法（1）和方法（2）的实质是由混合型的转化为纯粹型的，也就是“减元思想”的应用。 例8 已知数列的前n项和与之间满足，求的通向公式解 ， (1)下面用三种方法解答：方法一：下标退一，可得 (2)(1)-(2)得即，由，得数列是以为首项，以为公比的等比数列方法二：由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列。所以，则，当时，又适合此式，所以方法三：易得，故猜想下面用数学归纳法证明（证略）45类型5 递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。6例9 已知数列中，求。解： 令与已知比较，得，所以，数列是以为首项，2为公比的等比数列所以 即746类型6 递推公式为=p+q (p、q均为常数)（又称二阶递归）解法： 将原递推公式=p+q，转化为-（-）并且由解出、因此可以得到数列-是等比数列。特殊地对于 型的递推公式，我们可以的这样分析： 是以为首项，公比为的等比数列例10 已知数列中a1=1，a2= =-,求数列的通项公式。解： 令-（-）由解得：1、则由此可得-（-）， a2-a1= -= （-）+（-）+（a2-a1）+a1=+1=3-.3-总之，求数列通向公式的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法，只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结，将知识与方法学活，才可以做到游刃有余。参考文献1高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示.J试题与研究,2008,20.2龙志明.数列通项公式的九种求法.J求学,2005,11.3陈云烽.递推数列通项的求解.J中学数学教学参考,2007,6.4刘有路.叠加叠乘在高考数列解题中的应用.J试题与研究,2005,14.