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高考靓题 数形结合求范围 江苏 张杰【高考靓题】（2012江苏14）.已知正数满足：，则的取值范围是 .【好题点睛】“局部以直代曲”是微积分的核心所在，导数的本质就是利用“逼近”的数学思想，将局部曲线化归为直线，其几何意义表示切线的斜率。本题试图在线性规划的基础上有所突破，加以拓展与延伸，将区域边界的局部“以曲代直”，用指数函数表示的曲线替换了直线，从而考查了函数与导数的相关知识，兼顾了知识的覆盖面，具有更明确的区分度，彰显了高考试题的选拔功能.【题目分析】本题中正数可看作三个变元，第一步是能否消元，化归为二个变元，观察其特征，发现利用整体思想换元即可，第二步是新的二元具有哪些约束条件，这可通过已知的三个不等式得之，第三步是围成的区域形状如何，在直角坐标系中作图观察而知，第四步是寻找特殊点的位置，从而确定目标函数的最值.【正确解析】题设条件可转化为，记，则且目标函数为，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形，而目标函数是过原点的一直线斜率，所以由方程组得交点坐标为C， 从而，又过原点作曲线的切线，切点为，因，故切线斜率，切线方程为，而且，解之得，故切线方程为，从而，综上所述的取值范围为.【点评】在本题的解答中，发现含有下列数学思想与方法：其一是整体换元的消元思想，其二是转化与化归的思想，其三是数形结合的思想，其四是特殊到一般的思想.【试题回顾】（2007江苏10）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为（ ）A B C D 分析：本题条件中所给平面区域是以点（0，0）（1，0）（0，1）为顶点的三角形及内部，而目标区域中的点是以原区域中作为横坐标，作为纵坐标，错误的思路是由已知条件得，从而，再结合这一条件，得平面区域B可化归为，从而围成的区域面积为2. 事实上，本题条件中的受到的约束，其取值范围不可能为，应通过换元，设，从而满足平面区域B中的点满足下列不等式，于是所求面积为1，故选B.【对比分析】题号2007江苏102012江苏14相同点图形均为平面区域，解题方法均为数形结合与换元化归相异点图形三角形曲边形目标函数区域面积过原点的直线斜率知识点不等式、三角形面积导数、直线的斜率【规律总结】换元法是中学数学教学中一种重要的方法，通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选
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